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Hallo, meine Aufgabe lautet wie folgt:
Sei K ein Körper und [mm] a_0,a_1,...,a_{n-1} \in [/mm] K (n [mm] \in \IN). [/mm] Die Matrix A [mm] \in [/mm] Mat(n,n;K) sei definiert durch
[mm] A=\pmat{ 0 & & & & & -a_0 \\ 1 & 0 & & & & -a_1 \\ & 1 & &... & & : \\ & & ... & & & : \\ & & & 1 & 0 & -a_{n-2} \\ & & & & 1 & -a_{n-1}} [/mm] (nicht explizit angegebene Matrixeinträge sind sämtlich Null).
(a) Berechnen Sie das Polynom [mm] \mathcal{X}_A(x):=(xE-A).
[/mm]
Bemerkung und Hinweis: [mm] \mathcal{X}_A(x) [/mm] ist normiert und stimmt bis aufs Vorzeichen mit dem charakteristischen Polynom von A überein.
Benutzen Sie den Laplaceschen Entwicklungssatz und Induktion.
(b) Zeigen Sie: [mm] {A^i}^{n-1}_{i=0}={A^0,A^1,...,A^{n-1}} [/mm] ist linear unabhängig über K. Hinweis: Betrachte jeweils erste Spalte der Matrix [mm] A^i.
[/mm]
(c) Zeigen Sie: Das Minimalpolynom [mm] \mu_A(x) [/mm] von A stimmt mit [mm] \mathcal{X}_A(x) [/mm] überein.
(d) Geben Sie eine Matrix B [mm] \in Mat(4,4;\IR) [/mm] mit Minimal- und charakteristischem Polynom
[mm] x^4 [/mm] - [mm] \wurzel{\pi}x³ [/mm] + [mm] \bruch{1267}{863}x² [/mm] + [mm] e^{-17}x [/mm] - 117639 an.
-------------------------------------------------------------------------------------------
Zu a)
Hier habe ich mal ein bisschen an kleineren Beispielmatrizen rumprobiert und als char. Polynome rausbekommen:
Für (2x2) [mm] \Rightarrow x²-xa_1-a_0
[/mm]
Für (3x3) [mm] \Rightarrow -x³+x²a_2+xa_1+a_0
[/mm]
Für (4x4) [mm] \Rightarrow x^4-x³a_3-x²a_2-xa_1-a_0
[/mm]
...
Für (nxn) [mm] \Rightarrow x^n-x^{n-1}a_{n-1}-x^{n-2}a_{n-2}-...-xa_1-a_0
[/mm]
Wie ich hier aber mit Induktion rangehen muss, ist mir noch nicht ganz klar :/
Zu b)
Hier meine ich eine Regelmäßigkeit festgestellt zu haben, dass [mm] A^0 [/mm] (ist die Einheitsmatrix, wenn ich mich net täusche), bei [mm] A^1 [/mm] steht quasi der 2. Einheitsvektor (Vektor mit einer 1 in der 2. Komponente) in der ersten Spalte, bei A² ist es der 3. Einheitsvektor. Die Spalten der Matrix A verschieben sich bei jedemal quadrieren quasi um eine Spalte nach links, bis bei [mm] A^{n-1} [/mm] der Vektor [mm] (-a_0 -a_1 [/mm] ... [mm] -a_{n-1})^T [/mm] übrig bleibt, und diese Spaltenvektoren sind gerade lin. unabh. zueinander.
Zu c)
Man setzt in [mm] \mathcal{X}_A(x) [/mm] die Matrix A ein udn wenn 0 herauskommt ist es das Minimalpolynom.
Zu d)
Das müsste die Nullmatrix sein, wenn ich mich nicht täusche.
Wäre für Ansätze und Korrekturen sehr dankbar!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Fr 01.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallo, meine Aufgabe lautet wie folgt:
> Sei K ein Körper und [mm]a_0,a_1,...,a_{n-1} \in[/mm] K (n [mm]\in \IN).[/mm]
> Die Matrix A [mm]\in[/mm] Mat(n,n;K) sei definiert durch
>
> [mm]A=\pmat{ 0 & & & & & -a_0 \\ 1 & 0 & & & & -a_1 \\ & 1 & &... & & : \\ & & ... & & & : \\ & & & 1 & 0 & -a_{n-2} \\ & & & & 1 & -a_{n-1}}[/mm]
> (nicht explizit angegebene Matrixeinträge sind sämtlich
> Null).
>
> (a) Berechnen Sie das Polynom [mm]\mathcal{X}_A(x):=(xE-A).[/mm]
> Bemerkung und Hinweis: [mm]\mathcal{X}_A(x)[/mm] ist normiert und
> stimmt bis aufs Vorzeichen mit dem charakteristischen
> Polynom von A überein.
> Benutzen Sie den Laplaceschen Entwicklungssatz und
> Induktion.
>
> (b) Zeigen Sie: [mm]{A^i}^{n-1}_{i=0}={A^0,A^1,...,A^{n-1}}[/mm] ist
> linear unabhängig über K. Hinweis: Betrachte jeweils erste
> Spalte der Matrix [mm]A^i.[/mm]
>
> (c) Zeigen Sie: Das Minimalpolynom [mm]\mu_A(x)[/mm] von A stimmt
> mit [mm]\mathcal{X}_A(x)[/mm] überein.
>
> (d) Geben Sie eine Matrix B [mm]\in Mat(4,4;\IR)[/mm] mit Minimal-
> und charakteristischem Polynom
> [mm]x^4[/mm] - [mm]\wurzel{\pi}x³[/mm] + [mm]\bruch{1267}{863}x²[/mm] + [mm]e^{-17}x[/mm] -
> 117639 an.
>
> -------------------------------------------------------------------------------------------
>
> Zu a)
> Hier habe ich mal ein bisschen an kleineren
> Beispielmatrizen rumprobiert und als char. Polynome
> rausbekommen:
> Für (2x2) [mm]\Rightarrow x²-xa_1-a_0[/mm]
> Für (3x3) [mm]\Rightarrow -x³+x²a_2+xa_1+a_0[/mm]
>
> Für (4x4) [mm]\Rightarrow x^4-x³a_3-x²a_2-xa_1-a_0[/mm]
>
> ...
> Für (nxn) [mm]\Rightarrow x^n-x^{n-1}a_{n-1}-x^{n-2}a_{n-2}-...-xa_1-a_0[/mm]
Soweit so gut.
> Wie ich hier aber mit Induktion rangehen muss, ist mir noch
> nicht ganz klar :/
Nun, es soll offenbar [mm] $x^n [/mm] + [mm] a_{n-1} x^{n-1} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_1 [/mm] x + [mm] a_0$ [/mm] herauskommen. Mach doch mal ne Entwicklung nach der ersten Zeile oder so, und versuch die da entstehenden Matrizen auf die Matrix fuer [mm] $(a_1, \dots, a_{n-1})$ [/mm] zurueckzufuehren.
> Zu b)
> Hier meine ich eine Regelmäßigkeit festgestellt zu haben,
> dass [mm]A^0[/mm] (ist die Einheitsmatrix, wenn ich mich net
> täusche), bei [mm]A^1[/mm] steht quasi der 2. Einheitsvektor (Vektor
> mit einer 1 in der 2. Komponente) in der ersten Spalte, bei
> A² ist es der 3. Einheitsvektor. Die Spalten der Matrix A
> verschieben sich bei jedemal quadrieren quasi um eine
> Spalte nach links, bis bei [mm]A^{n-1}[/mm] der Vektor [mm](-a_0 -a_1[/mm]
> ... [mm]-a_{n-1})^T[/mm] übrig bleibt, und diese Spaltenvektoren
> sind gerade lin. unabh. zueinander.
Genau. Jetzt das ganze nur noch etwas formaler aufschreiben.
> Zu c)
> Man setzt in [mm]\mathcal{X}_A(x)[/mm] die Matrix A ein udn wenn 0
> herauskommt ist es das Minimalpolynom.
Das ist schon nach dem Satz von Cauchy-Schwarz so. Zeigen dass das Polynom minimal ist tut es das allerdings nicht. Dazu musst du c) verwenden. Nimm an es gibt ein Polynom von kleinerem Grad; das liefert dir einen Widerspruch zu c).
> Zu d)
> Das müsste die Nullmatrix sein, wenn ich mich nicht
> täusche.
Wie kommst du da drauf? Das stimmt so nicht, die Nullmatrix hat charakteristrisches Polynom [mm] $x^4$ [/mm] und Minimalpolynom $x$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Sa 02.05.2009 | | Autor: | erisve |
Hallo ich sitze gerade an der selben Aufgabe ,
a) habe ich jetzt wohl hinbekommen ,wobei ich in a) nach der 1. Zeile entickelt habe, dann bekommt man ja eine matrix auf die man die Induktionsannahme anwenden könnte, wobei der Index der a's allderigs um einen nach oben verschoben wäre, das macht doch nichts oder?
Ja in b)wird es wohl so sein, dass die erste Spalte immer ein verschiedener Einheitsvektor ist, nur wie begründet man diese Tatsache und reicht es dann zu sagen, dass dadruch die Matrizen l.u. sein müssen?
c) naja ein kleineres Polynom was durch dieses ganze Zeug teilbar kann es wohl kaum geben , nur die Sache ist wieder wie man das formal aufschreibt...
hm und d) da gibts doch sicherlich nen simplen Trick..
vlt die Gleichung gleich Nulls setzten und für ein x lösen...wobei das ja auch nicht wirklich einfach ist...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Sa 02.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> a) habe ich jetzt wohl hinbekommen ,wobei ich in a) nach
> der 1. Zeile entickelt habe, dann bekommt man ja eine
> matrix auf die man die Induktionsannahme anwenden könnte,
> wobei der Index der a's allderigs um einen nach oben
> verschoben wäre, das macht doch nichts oder?
Nein, das verschiebt sich tatsächlich.
> Ja in b)wird es wohl so sein, dass die erste Spalte immer
> ein verschiedener Einheitsvektor ist, nur wie begründet man
> diese Tatsache und reicht es dann zu sagen, dass dadruch
> die Matrizen l.u. sein müssen?
Also man zeigt, was die erste Spalte ist, per Induktion. Dann folgt aus der linearen Unabhängigkeit der ersten Spalte schon die der gesamten Matrizen (denn aus linearen Abh. der Matrizen folgt ja durch Einschrämkung die der Spalten).
> c) naja ein kleineres Polynom was durch dieses ganze Zeug
> teilbar kann es wohl kaum geben , nur die Sache ist wieder
> wie man das formal aufschreibt...
Wieso kann es das nicht geben? Felix meinte in seinem Post übrigens: Widerspruch zur b). Was hieße es denn, wenn es so ein MP von kleineren Grad geben würde? Schreib mal eins hin, setze A ein - und überlege dir, was dies mit b) zu tun hat.
> hm und d) da gibts doch sicherlich nen simplen Trick..
> vlt die Gleichung gleich Nulls setzten und für ein x
> lösen...wobei das ja auch nicht wirklich einfach ist...
Der Trick ist wirklich simpel: du hast die a), du hast die c). Jetzt schreibe eine Matrix nach Muster der Aufgabe mit entsprechenden Koeffizienten hin.
SEcki
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