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Minimalpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:45 Do 10.12.2009
Autor: johnny11

Aufgabe
Sei c= [mm] e^{\bruch{2\pi*i}{5}}. [/mm] Finde das Minimalpolynom von

a) c + [mm] c^{-1} [/mm] über [mm] \IQ [/mm]

b) c über [mm] \IQ(c [/mm] + [mm] c^{-1}). [/mm]

Habe gerade nich so eine Ahnung, wie ich vorgehen könnte.
also klar ist ja, dass [mm] c^{-1} [/mm] = [mm] c^4 [/mm] ist.
Doch muss ich dann einfach ausprobieren? oder gibt es einen besseren Weg?

        
Bezug
Minimalpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Do 10.12.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Sei c= [mm]e^{\bruch{2\pi*i}{5}}.[/mm] Finde das Minimalpolynom von

Kennst du das Minimalpolynom von $c$ ueber [mm] $\IQ$? [/mm]

> a) c + [mm]c^{-1}[/mm] über [mm]\IQ[/mm]
>  
> b) c über [mm]\IQ(c[/mm] + [mm]c^{-1}).[/mm]
>  
> Habe gerade nich so eine Ahnung, wie ich vorgehen könnte.
>  also klar ist ja, dass [mm]c^{-1}[/mm] = [mm]c^4[/mm] ist.

Ja, da [mm] $c^5 [/mm] = 1$ ist.

>  Doch muss ich dann einfach ausprobieren? oder gibt es
> einen besseren Weg?

Man kann erstmal nachdenken. Da das Minimalpolynom von $c$ ueber [mm] $\IQ$ [/mm] den Grad 4 hat, muss das Minimalpolynom von $c + [mm] c^{-1}$ [/mm] entweder Grad 1, 2 oder 4 haben: betrachte den Koerperturm [mm] $\IQ \subseteq \IQ(c [/mm] + [mm] c^{-1}) \subseteq \IQ(c)$. [/mm]

Versuche also, ein Polynom von Grad 2 zu finden mit $c + [mm] c^{-1}$ [/mm] als Nullstelle. Dazu rechnest du $(c + [mm] c^{-1})^2$ [/mm] aus und versuchst es in der Form $a (c + [mm] c^{-1}) [/mm] + b$ mit $a, b [mm] \in \IQ$ [/mm] zu schreiben: dann ist [mm] $x^2 [/mm] - a x - b$ ein passendes Polynom.

Wenn das so ist, muss das Minimalpolynom von $c$ ueber [mm] $\IQ(c [/mm] + [mm] c^{-1})$ [/mm] ebenfalls Grad 2 haben. Versuche ein normiertes Polynom von Grad 2 mit Koeffizienten in $c + [mm] c^{-1}$ [/mm] zu finden, welches $c$ als Nullstelle hat; dieses ist dann das Minimalpolynom.

Und "versuchen zu finden" heisst, du musst rumprobieren. Mach dir die Finger schmutzig, indem du konkret rumrechnest und probierst.

LG Felix


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