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Hallo ihr, ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:
Sei A [mm] \in M_n(K)
[/mm]
Sei r der Grad des Minimalpolynoms [mm] \mu_A [/mm] von A. Zeigen Sie: [mm] E_n, [/mm] A, [mm] A^2,...., A^{r-1} [/mm] sind linear unabhängige Elemente des K-Vektorraums [mm] M_n(K).
[/mm]
Also mir ist es eigentlich schon Klar, da ja dann eigentlich gilt bei [mm] deg(\mu_A) [/mm] = r:
[mm] A^r [/mm] = 0 (wobei mit 0 die Nullmatrix gemeint ist.
Somit ist ja klar, dass alle [mm] A^i [/mm] mit i<r linear unabhängig sind.
Aber wie zei ich das korrekt?
Kann mir da jemand weiterhelfen?
MfG euer Andi
PS: Im Voraus schon einmal besten Dank.
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Hallo!
> [mm]A^r[/mm] = 0 (wobei mit 0 die Nullmatrix gemeint ist.
Das wäre nur richtig, wenn $A$ nilpotent wäre! Sobald aber ein Eigenwert ungleich 0 ist, stimmt das nicht!
Die Überlegung ist eigentlich ganz einfach. Angenommen, es gäbe Skalare [mm] $a_0,\dots, a_{r-1}$, [/mm] wovon mindestens einer ungleich 0 ist, mit [mm] $a_{r-1}A^{r-1}+\cdots+a_1 [/mm] A+a_0I=0$.
Dann wäre [mm] $p(x)=a_{r-1}x^{r-1}+\cdots+a_1x+a_0$ [/mm] ein Polynom vom Grade $r-1$ mit $p(A)=0$. Das aber ist ein Widerspruch, denn der Grad des Minimalpolynoms ist $r$!
Gruß, banachella
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