www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Minimalpolynom
Minimalpolynom < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Minimalpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:43 Do 06.01.2011
Autor: Lippel

Aufgabe
Sei [mm] $\alpha$ [/mm] in [mm] $\IC$ [/mm] mit [mm] $\alpha^3+2\alpha-1 [/mm] = 0$. Es ist [mm] $\alpha$ [/mm] algebraisch über [mm] $\IQ$. [/mm] Man bestimme das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] sowie dasjenige von [mm] $\alpha^2+\alpha$, [/mm] jeweils über [mm] $\IQ$. [/mm]

Hallo,

da nach Voraussetzung mit [mm] $f=X^3+2X-1 \in \IQ[X]$ [/mm] gilt: [mm] $f(\alpha)=0$ [/mm] kann man folgern: [mm] $min_\IQ(\alpha) \: [/mm] | [mm] \: [/mm] f$.
Wir reduzieren die Koeffizienten von f modulo 3 und sehen dann, dass f in [mm] $\IF_3[X]$ [/mm] keine Nullstellen hat. Damit ist f, da vom Grad 3, irreduzibel, also gilt bereits [mm] $min_\IQ(\alpha) [/mm] = f$.
Wie kann ich nun eine Aussage über [mm] $\alpha^2+\alpha$ [/mm] treffen? Es wird auf jeden Fall nicht durch f annuliert. Das einzige, das ich weiß, ist, dass [mm] $min_{\IQ(\alpha)}=X-\alpha^2-\alpha$, [/mm] aber das bringt mich nicht wirklich weiter. Kann mir jemand einen Tipp geben?

Viele Grüße, Lippel

        
Bezug
Minimalpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:17 Do 06.01.2011
Autor: felixf

Moin Lippel!

> Sei [mm]\alpha[/mm] in [mm]\IC[/mm] mit [mm]\alpha^3+2\alpha-1 = 0[/mm]. Es ist [mm]\alpha[/mm]
> algebraisch über [mm]\IQ[/mm]. Man bestimme das Minimalpolynom von
> [mm]\alpha[/mm] sowie dasjenige von [mm]\alpha^2+\alpha[/mm], jeweils über
> [mm]\IQ[/mm].
>  
> da nach Voraussetzung mit [mm]f=X^3+2X-1 \in \IQ[X][/mm] gilt:
> [mm]f(\alpha)=0[/mm] kann man folgern: [mm]min_\IQ(\alpha) \: | \: f[/mm].
>  
> Wir reduzieren die Koeffizienten von f modulo 3 und sehen
> dann, dass f in [mm]\IF_3[X][/mm] keine Nullstellen hat. Damit ist
> f, da vom Grad 3, irreduzibel, also gilt bereits
> [mm]min_\IQ(\alpha) = f[/mm].

[ok]

>  Wie kann ich nun eine Aussage über
> [mm]\alpha^2+\alpha[/mm] treffen? Es wird auf jeden Fall nicht durch
> f annuliert. Das einzige, das ich weiß, ist, dass
> [mm]min_{\IQ(\alpha)}=X-\alpha^2-\alpha[/mm], aber das bringt mich
> nicht wirklich weiter. Kann mir jemand einen Tipp geben?

Es gilt ja $3 = [mm] [\IQ(\alpha) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = [mm] [\IQ(\alpha) [/mm] : [mm] \IQ(\alpha^2 [/mm] + [mm] \alpha)] [\IQ(\alpha^2 [/mm] + [mm] \alpha) [/mm] : [mm] \IQ]$. [/mm] Damit hat das MiPo von [mm] $\alpha^2 [/mm] + [mm] \alpha$ [/mm] entweder Grad 1 oder 3 ueber [mm] $\IQ$. [/mm]

Allerdings: eine Basis von [mm] $\IQ(\alpha)$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] ist durch $1, [mm] \alpha, \alpha^2$ [/mm] gegeben. Damit kann [mm] $\alpha^2 [/mm] + [mm] \alpha \not\in \IQ$ [/mm] sein. Also hat das Minimalpolynom Grad $> 1$, also Grad 3.

Um das Minimalpolynom von [mm] $\beta [/mm] = [mm] \alpha^2 [/mm] + [mm] \alpha$ [/mm] jetzt zu bestimmen, gehst du wie folgt vor:
* Berechne [mm] $\beta^3, \beta^2, \beta, [/mm] 1$ und schreibe es jeweils in der Form $a [mm] \alpha^2 [/mm] + b [mm] \alpha [/mm] + c$ mit $a, b, c [mm] \in \IQ$. [/mm] Dazu benutzt du, dass [mm] $\alpha^3 [/mm] = 1 - 2 [mm] \alpha$ [/mm] ist.
* Jetzt bestimme eine Linearkombination [mm] $\beta^3 [/mm] = A [mm] \beta^2 [/mm] + B [mm] \beta [/mm] + C$ mit $A, B, C [mm] \in \IQ$. [/mm] Das kannst du etwa mit einem linearen Gleichungssystem machen (benutze dafuer, dass $1, [mm] \alpha, \alpha^2$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] linear unabhaengig sind).
* Wenn du $A, B, C$ haat, dann ist [mm] $X^3 [/mm] - A [mm] X^2 [/mm] - B X - C [mm] \in \IQ[X]$ [/mm] ein Polynom, welches [mm] $\alpha^2 [/mm] + [mm] \alpha$ [/mm] als Nullstelle hast. Da wir wissen, dass das MiPo Grad 3 hat und normiert ist, und unser Polynom ein Vielfaches des MiPos ist, muss unser Polynom bereits gleich dem MiPo sein.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Minimalpolynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:39 Do 06.01.2011
Autor: Lippel

Riesen Dank. Habs mit deiner Anleitung hinbekommen.

LG Lippel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de