Minimalpolynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] A=\pmat{ -2 & -1 & 1 \\ -6 & -1 & 6 \\ -7 & -1 & 6 }
[/mm]
a)Bestimme die Eigenwerte von A und Basen der zugehörigen Eigenräume.
b) Welche Polynome kommen als Minimalpolynom von A in Frage? |
a) Das charaktersitische Polynom lautet:
[mm] X_A(x)=-x^3+3x^2+9x+5
[/mm]
Aus dem charakteristischen Polynom habe ich dann die Eigenwerte ermittelt, den ersten Eigenwert x=-1 durch probieren und die anderen Eigenwerte durch Polynomdivision.
Eigenwerte sind also
[mm] x_{1,2}=-1 [/mm] (doppelte Vielfachheit)
[mm] x_3=5
[/mm]
[mm] Eig(A,-1)=Ker\pmat{ -1 & -1 & 1 \\ -6 & 0 & 6 \\ -7 & -1 & 7 }=Lin(\vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] Eig(A,5)=Ker\pmat{ -7 & -1 & 1 \\ -6 & -6 & 6 \\ -7 & -1 & -1 }=Lin(\vektor{0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Allerdings weiß ich nicht wie man Basen der zugehörigen Eigenräume bestimmt.
b) Könnt ihr mir erklären wie man ein Minimalpolynom bestimmt? Wie macht man sowas?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:56 Sa 17.03.2012 | | Autor: | davux |
Hallo Du,
die Lösungen sehen alle in Ordnung aus. Mit dem Aufgabenteil a) bist du fertig.
[mm] $Eig(A,-1)=Ker\pmat{ -1 & -1 & 1 \\ -6 & 0 & 6 \\ -7 & -1 & 7 }=Lin(\vektor{1 \\ 0 \\ 1}$
[/mm]
[mm] $Eig(A,5)=Ker\pmat{ -7 & -1 & 1 \\ -6 & -6 & 6 \\ -7 & -1 & -1 }=Lin(\vektor{0 \\ 1 \\ 1}$ [/mm]
Hiermit hast du die Eigenräume bestimmt. Die Vektoren am rechten Ende sind jeweils eine Basis des Eigenraums.
Für den Aufgabenteil b) gilt, das Minimalpolynom muss dieselben Nullstellen wie das charakteristische Polynom hat. Es ist ein Teiler des charakteristischen Polynoms. Das ist im Grunde ganz einfach. Schauen wir uns nochmal den Aufgabenteil a) an. Ich weiß nun nicht, wie du die Eigenwerte bestimmt hast. Das charakteristische Polynom ist
[mm] $\chi_A(X)=-X^3+3X^2+9X+5$
[/mm]
Dabei ist 5 die Determinante von A. Wir hatten ein Kriterium im Skript, nachdem, wenn [mm] $\chi_A$ [/mm] normiert ist, d.h. vor dem X mit der höchsten Potenz kein Faktor größer als 1 bzw. (-1) steht, und die sonst auch nur ganzzahlige Faktoren vorkommen, dann sind die Nullstellen ganzzahlige Teiler von 5. So kann man ohne Polynomdivision in diesem Fall auch durch Probieren recht schnell auf die Linearfaktoren kommen.
[mm] $\chi_A(X)=-(5-X) (1+X)^2$
[/mm]
Hier haben wir nun den Vorteil, dass wir zum einen die Nullstellen von [mm] $\chi_A$, [/mm] d.h. die Eigenwerte von A, einfach ablesen können, und zum anderen kann man auch die vermeintlichen Minimalpolynome ganz einfach erraten.
Es kommt hier nur $f(X)=-(5-X)(1+X)$ oder eben [mm] $g(X)=-(5-X)(1+X)^2$ [/mm] als Minimalpolynom in Frage. Damit wäre der Aufgabenteil b) schon erledigt. Wenn du überprüfen willst, ob es sich dabei wirklich um das Minimalpolynom handelt, dann müsstest du A, anstelle von X einsetzen und nachrechnen. Dazu ist noch zu beachten, dass die Zahlen durch entsprechende Vielfache der Einheitsmatrix ersetzt werden müssen. Also im Endeffekt der Satz von Cayley-Hamilton. In diesem Zusammenhang muss gelten, damit z.B. f(X) Minimalpolynom von A ist:
$f(A)=-(5 [mm] E_3-A)(E_3+A)=0$.
[/mm]
Gruss,
Dave
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So kann man ohne Polynomdivision
> in diesem Fall auch durch Probieren recht schnell auf die
> Linearfaktoren kommen.
>
> [mm]\chi_A(X)=-(5-X) (1+X)^2[/mm]
Hier hab ich noch nicht verstanden wie du darauf kommst!
Das 5 die Determinante ist ist klar, auch dass nur ganzzahlige Teiler in Frage kommen auch. Aber wie erhälst du den Ausdruck?
MfG
mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:56 So 18.03.2012 | | Autor: | davux |
Das ist im Grunde nur noch Probieren, habe ich ja geschrieben. Da kenne ich auch keine weitere Hilfestellung, hatte auch meinen Tutor gefragt. Geht eigentlich ganz fix. Als ganzzahlige Teiler von 5 kommen doch nur 1 und 5 in Frage, sowie die deren additive Inversen. Das Problem ist eben, dass du doppelte Nullstellen nicht so einfach erraten kannst. Das sagte zumindest der, der die Übungsaufgaben bei uns gemacht hat, wie ich ihn kurz angebunden vor ein paar Tagen darauf ansprach.
Schau dir in diesem Fall das charakteristische Polynom noch einmal an. Da 5 ein Teile und durch Probieren eine Nullstelle des Polynoms ist, kannst du den Linearfaktor (5-X) schon einmal herausziehen. Dann kannst du auch eine Polynomdivision machen, ohne den Rechenweg aufzuschreiben, behaupte ich jetzt mal. Dabei würdest du auch sehen, dass es sich bei -1, was du als zweite Nullstelle erraten hast, um eine doppelte Nullstelle handelt.
Ohne Faktorisieren kannst du auch einfach die Eigenwerte Linearfaktoren verwandeln, nachdem du sie berechnet hast. Das wäre für das Minimalpolynom schon sinnvoll.
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> Wir hatten ein
> Kriterium im Skript, nachdem, wenn [mm]\chi_A[/mm] normiert ist,
> d.h. vor dem X mit der höchsten Potenz kein Faktor
> größer als 1 bzw. (-1) steht, und die sonst auch nur
> ganzzahlige Faktoren vorkommen, dann sind die Nullstellen
> ganzzahlige Teiler von 5.
Das stimmt für rationale Nullstellen, nicht aber für reelle.
Für rationale kann man das ![[]](/images/popup.gif) hier aus dem dritten Korollar folgern.
Für reelle nehmen wir mal das normierte Polynom:
$p= [mm] x^2 [/mm] - 2$
Dieses hat offensichtlich die zwei Nullstellen [mm] $\pm \sqrt{2}$, [/mm] allerdings sind diese weit davon entfernt ganzzahlig zu sein.
@ Mathegirl:
Es ist nie falsch, ganzzahlige Lösungen auszuprobieren.
Gerade in der Klausur sind die Polynome oft so einfach, dass man alle Nullstellen fast durch hinsehen erhält.
Sollte allerdings eine reelle Matrix gegeben sein, so kann es passieren, dass dies nicht ausreicht.
lg
Schadow
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Hallo,
ich gehe davon aus, daß Ihr Euch gerade auf eine Klausur vorbereitet, die Zeit, die man zum Lösen von Aufgabn benötigt, also eine Rolle spielt. Daher noch ein Hinweis:
Gesucht ist das charakteristische Polynom von A, also die Determinante von
> [mm]A-tE=\pmat{ -2 -t& -1 & 1 \\
-6 & -1 -t& 6 \\
-7 & -1 & 6-t }[/mm].
Man sollte in der Klausur lieber nicht gleich blindlings "irgendwie" die Determinante ausrechnen, denn erstens ist einiges zu multiplizieren, und dann muß man ja auch noch die Nullstellen suchen.
Geschickter ist es, wenn man versucht, durch Spalten/Zeilenumformungen Nullen in der Matrix A-tE zu erzeugen. Je mehr Nullen, desto bequemer wird das Ausrechnen, und die Chance, daß man gleich einen Linearfaktor zum Ausklammern sieht, größer.
Im Idealfall schafft man es, die Matrix schnell auf Dreiecksform zu bringen. Klausuraufgaben sind oft so gemacht.
Ich zeige mal, wie ich es meine:
[mm]A-tE=\pmat{ -2 -t& -1 & 1 \\
-6 & -1 -t& 6 \\
-7 & -1 & 6-t }[/mm]
(2./3.Spalte) -->
[mm]\pmat{ -2 -t& 0 & 1 \\
-6 & 5 -t& 6 \\
-7 & 5-t & 6-t }[/mm]
(1./3.Spalte) -->
[mm]\pmat{ -1 -t& 0 & 1 \\
0 & 5 -t& 6 \\
-1-t & 5-t & 6-t }[/mm]
(1./3.Zeile) -->
[mm]\pmat{ -1 -t& 0 & 1 \\
0 & 5 -t& 6 \\
0& 5-t & 5-t }[/mm]
(2./3.Zeile) -->
[mm]\pmat{ -1 -t& 0 & 1 \\
0 & 5 -t& 6 \\
0& 0 & -1-t }[/mm]
Wenn man nun die Determinante ausrechnet, hüpft einem das charakteristische Polynom, nett gekleidet in Linearfaktoren, mit Nullstellen geradezu auf den Schoß.
LG Angela
P.S.:
Noch eine Warnung - weil es immer wieder Leute gibt, die auf solche Ideen kommen:
NIE zuerst A auf Dreiecksform bringen, dann tE subtrahieren und die Det. ausrechnen. Das ist FALSCH.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 So 18.03.2012 | | Autor: | heinze |
Die Geschichte mit dem Minimalpolynom ist mir noch nicht klar.
A= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 3& 2 \\ -1 & 1 & 3}
[/mm]
Das charakteristische Polynom lautet
[mm] X_a(x)=-x^3+7x^2-16x+12
[/mm]
Die Eigenwerte dazu sind [mm] x_1=3 [/mm] und [mm] x_{2,3}=2
[/mm]
Wie stelle ich dazu das Minimalpolynom auf? f(a)= [mm] -(3-x)(2+x)^2 [/mm] funktioniert hier nicht.
LG
heinze
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> Die Geschichte mit dem Minimalpolynom ist mir noch nicht
> klar.
>
> A= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\
-2 & 3& 2 \\
-1 & 1 & 3}[/mm]
>
> Das charakteristische Polynom lautet
>
> [mm]X_a(x)=-x^3+7x^2-16x+12[/mm]
>
> Die Eigenwerte dazu sind [mm]x_1=3[/mm] und [mm]x_{2,3}=2[/mm]
Hallo,
wenn das die Eigenwerte sind, dann ist das charakteistische Polynom nicht so, wie Du unten schreibst, sondern es lautet [mm] X_A(x)=-(x-3)(x-2)^2.
[/mm]
Als Minimalpolynome kommen nur infrage
[mm] p_1(x)=(x-3)(x-2) [/mm] und [mm] p_2(x)=(x-3)(x-2)^2.
[/mm]
Welches Minimalpolynom richtig ist, kannst Du durch Einsetzen von A herausfinden, oder Du liest es aus der JNF ab.
LG Angela
>
> Wie stelle ich dazu das Minimalpolynom auf? f(a)=
> [mm]-(3-x)(2+x)^2[/mm] funktioniert hier nicht.
>
>
> LG
> heinze
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Was genau ist nochmal die Jordanshe Normalform bzw wie erhalte ich die?
Warum kann das Minus vor der ersten Klammer weggelassen werden?
Es wäre wohl leichter, wenn ich das charakteristische Polynom nicht immer in der Form [mm] X_A(x)=-x^3+ax^2+bx+c [/mm] schreiben würde sondern gleich so wie du es schreibst...nur da habe ich irgendwie Probleme das so umzuformen! Kann mir das vielleicht nochmal jemand erklären und auch das mit der JNF?
MfG
Mathegirl
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> Was genau ist nochmal die Jordanshe Normalform
Hallo,
hierzu befrage bitte die Fachliteratur.
> bzw wie
> erhalte ich die?
Wenn Du nach "JNF Kochrezept" googelst, findest Du eine schöne Anleitung.
> Warum kann das Minus vor der ersten Klammer weggelassen
> werden?
Das ergibt sich aus der Definition des Minimalpolynoms. Sie lautet?
>
> Es wäre wohl leichter, wenn ich das charakteristische
> Polynom nicht immer in der Form [mm]X_A(x)=-x^3+ax^2+bx+c[/mm]
> schreiben würde sondern gleich so wie du es
> schreibst...
Ja.
> nur da habe ich irgendwie Probleme das so
> umzuformen!
Grundsätzlich hilft es, niht gleich alles auszumultiplizieren, sondern mal zu gucken, ob man etwas ausklammern kann.
Auch die Sache mit den Zeilen/Spaltenumformungen, die ich hier im Thread ja erklärt hatte, hilft.
Ansonsten, wenn Du das Polynom in der Form wie oben hast: Nullstelle erraten, Linearfaktor ausklammern (Polynomdivision), nächste Nullstelle finden, Linearfaktor ausklammern usw.
LG Angela
> Kann mir das vielleicht nochmal jemand
> erklären und auch das mit der JNF?
>
>
> MfG
> Mathegirl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Do 22.03.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Ich verstehe jetzt gerade nicht, wie man auf die lineare Hülle der jeweiligen Eigenräume kommt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Do 22.03.2012 | | Autor: | davux |
Hallo yangwar,
da sind heinze und Mathegirl auch nicht so offen, was ihre Lösungswege angeht. Dafür habe ich es in den letzten Tagen schon ein paar Mal beschrieben.
https://matheraum.de/read?i=875118
https://matheraum.de/read?t=877133
Im zweiten Link ist die Methode erklärt.
Mir fehlen vielleicht noch die richtigen Begriffe. Aber ich versuche es mal zu beschreiben. Eine Einsicht hat mir da der Satz von Cayley-Hamilton gegeben. Wenn du ein Polynom in Linearfaktoren angegeben ist, nehmen wir uns mal einen der Linearfaktoren raus. Dieser entspricht ja dann dem Operator (in der engl. Literatur ist halt von "operator" in dem Zusammenhang die Rede) [mm] $A-\lambda E_n$ [/mm] mit der quadratischen Matrix A, dem Eigenwert [mm] \lambda [/mm] und der Einheitsmatrix [mm] E_n [/mm] mit Dimension n=dim A, nach dem Satz von CH. Der Kern dieses Operators ist dabei der Eigenraum zum Eigenwert [mm] $\lambda$. [/mm] Um den Kern zu berechnen löst man ein homogenes Gleichunggsystem entsprechend des Operators.
Nehmen wir uns die Matrix A aus der Aufgabe.
$ [mm] A=\pmat{ -2 & -1 & 1 \\ -6 & -1 & 6 \\ -7 & -1 & 6 } [/mm] $
Die Eigenwerte waren -1 mit algebraischer Vielfachheit 2 und 5 mit der algebraischen Vielfachheit 1.
Mit der Schreibweise aus der Vorlesung:
$V(A,-1)=Kern(A+1 [mm] E_3)=Kern(\pmat{ -1 & -1 & 1 \\ -6 & 0 & 6 \\ -7 & -1 & 7 })$
[/mm]
Jetzt wenden wir den Gauß-Algorithmus an
[mm] $\pmat{ -1 & -1 & 1 \\ -6 & 0 & 6 \\ -7 & -1 & 7 }$>$\pmat{ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 6 & 0 }$>$\pmat{ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }$>$\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }$
[/mm]
Es soll gelten:
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }\pmat{x\\y\\z}=0$
[/mm]
An der Stelle schaue ich es mir gern als lineares Gleichungssystem an und forme etwas um. Es sind die Gleichungen
x-z=0 und y=0 geblieben. Die erste lässt sich umformen zu x=z.
Man erhält z als freien Paramter (wegen der Nullzeile, Sprungstelle). Wähle [mm] \mu=z [/mm] als Freiheitsgrad.
Setze [mm] \mu=1, [/mm] dann folgt [mm] v=\pmat{1\\0\\1}. [/mm] Das wäre ein Basisvektor des Kerns unseres Operators. Wenn man den ganzen Kern beschreiben will, dann muss diesen als Lineare Hülle (Span) angeben.
[mm] $V(A,-1)=Lin(\pmat{1\\0\\1})$.
[/mm]
Der Eigenraum von A zum Eigenwert -1 hat also die geometrische Vielfachheit 1. Es gilt nach einem Satz/eine Bemerkung aus der Vorlesung:
[mm] $1\le dim(V(A,\lambda))\le \mu(A,\lambda)\$
[/mm]
oder wie die Notation noch genau war. Die geometrische Vielfachheit ist kleiner gleich der algebraischen Vielfachheit. Da hängen noch ein paar Aussagen dran.
Mir ist übrigens noch aufgefallen, dass man sich den ganzen Aufwand in der Regel sparen kann, denn man sieht lineare Abhängigkeit oft ziemlich schnell, wenn man die Matrix zum Operator betrachtet. Daher kann man unmittelbar auf die lineare Hülle schließen. Man weiß ja, dass die Anzahl der linear abhängigen Zeilenvektoren der "Operator-Matrix" der Anzahl der Freiheitsgrade und somit der Dimension des Eigenraums entspricht.
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> Ich verstehe jetzt gerade nicht, wie man auf die lineare
> Hülle der jeweiligen Eigenräume kommt?
Hallo,
Du meinst wohl eher: wie man eine Basis der Eigenräume findet.
Kurz gesagt: wenn [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert ist, so berechne in gewohnter Weise den Kern der Matrix [mm] A-\lambda [/mm] E, also [mm] Kern(A-\lambda [/mm] E).
Warum? Du willst lösen das homogene LGS [mm] Ax=\lambda [/mm] x <==> [mm] (A-\lambda [/mm] E)x=0.
LG Angela
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