Minimalpolynom bestimmen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Shee-La |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^{4} \to \IR^{4} [/mm] die lineare Abbildung zu der Matrix
[mm] \pmat{ 3 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 }
[/mm]
Bestimmen Sie [mm] cp_{f} [/mm] und [mm] mp_{f} [/mm] |
Hallo,
ich soll das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom bestimmen. Das charakteristische Polynom habe ich bereits bestimmt, das ist:
[mm] cp_{f} [/mm] (x) = [mm] x^{3} [/mm] - [mm] 6x^{2} [/mm] + 12x - 8 = (x-3) (x-2) (x-1) + (x-2)
Jetzt hab ich aber die Frage, wie das nochmal mit dem Minimalpolynom zusammenhängt. Also das Minimalpolynom zerfällt ja nicht mehr, ist das richtig? Wie kriege ich dann hier nochmal das Minimalpolynom raus?
Gruß Shee-La
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> Sei f: [mm]\IR^{4} \to \IR^{4}[/mm] die lineare Abbildung zu der
> Matrix
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> [mm]A:=\pmat{ 3 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 }[/mm]
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> Bestimmen Sie [mm]cp_{f}[/mm] und [mm]mp_{f}[/mm]
> Hallo,
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> ich soll das charakteristische Polynom und das
> Minimalpolynom bestimmen. Das charakteristische Polynom
> habe ich bereits bestimmt, das ist:
>
> [mm]cp_{f}[/mm] (x) = [mm]x^{3}[/mm] - [mm]6x^{2}[/mm] + 12x - 8 = (x-3) (x-2) (x-1) +
> (x-2)
>
Hallo,
das charakteristische Polynom hast Du richtig berechnet, aber in der Form, in der Du es jetzt vorliegen hast, nützt es Dir für die Berechnung des Minimalpolynoms nichts.
Du mußt dieeventuellen Nullstellen herausfinden und es als Produkt von irreduziblen Faktoren schreiben, also als Produkt v. Linearfaktoren und ggf. quadratischen Polynomen ohne reelle Nullstellen. Das Dir vorliegende Polynom zerfällt in Linearfaktoren.
> Jetzt hab ich aber die Frage, wie das nochmal mit dem
> Minimalpolynom zusammenhängt. Also das Minimalpolynom
> zerfällt ja nicht mehr, ist das richtig?
Nein.
das Minimalpolynom hat dieselben Nullstellen wie das charakteristische Polynom und es teilt dieses.
Mal ein Beispiel: ist das charakteristische Polynom einer Matrix B das Polynom (x-1)(x-2)(x-3)³, dann kommen als Minimalpolynom p(x)=(x-1)(x-2)(x-3), [mm] q(x)=(x-1)(x-2)(x-3)^2, [/mm] r(x)=(x-1)(x-2)(x-3)³ infrage.
Welches es ist, erfährst Du, indem Du schaust, welches Polynom das kleinste ist, welches zu Null wird, wenn Du die Matrix B einsetzt.
Du würdest hier also zunaächst p(B) berechnen, wenn das nicht die Nullmatrix ist, dann das nächste, und wenn's das auch noch nicht ist, muß das charakteristische gleih dem Minimalpolynom sein.
Gruß v. Angela
Wie kriege ich
> dann hier nochmal das Minimalpolynom raus?
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> Gruß Shee-La
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