Minimalpolynom von Summen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Sa 16.01.2010 | | Autor: | Limpy |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie das Minimalpolynom von [mm] \wurzel{3}+ \wurzel[5]{3} [/mm] |
Bei Austrücken dieser Art komme ich momentan irgendwie nicht weiter. Wäre cool wenn mir da jemand helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Mi 03.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Bestimmen Sie das Minimalpolynom von [mm]\wurzel{3}+ \wurzel[5]{3}[/mm]
>
> Bei Austrücken dieser Art komme ich momentan irgendwie
> nicht weiter. Wäre cool wenn mir da jemand helfen
> könnte.
Nun, solche Ausdruecke sind auch schwierig. Im Allgemeinen ist das einfachste Verfahren, so etwas zu bestimmen, wie folgt (sei [mm] $\beta [/mm] := [mm] \sqrt{3} [/mm] + [mm] \srqt[5]{3}$):
[/mm]
1) Finde einen Koerper, der das Element enthaelt; hier geht etwa [mm] $\IQ(\alpha)$ [/mm] mit [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \sqrt[10]{3}$; [/mm] dann ist [mm] $\beta [/mm] = [mm] \alpha^2 [/mm] + [mm] \alpha^5$, [/mm] und es gilt [mm] $\alpha^{10} [/mm] = 3$.
2) Berechne [mm] $\beta^0, \dots, \beta^{10}$ [/mm] und stelle sie als Linearkombination von [mm] $\alpha^0, \dots, \alpha^9$ [/mm] dar; etwa [mm] $\beta^i [/mm] = [mm] \sum_{j=0}^9 a_{ij} \alpha^j$.
[/mm]
3) Betrachte die Matrix $A = [mm] (a_{ij})_{ij} \in \IQ^{11 \times 10}$; [/mm] die Zeilen enthalten die Darstellung von [mm] $\beta^i$. [/mm] Berechne nun den Linkskern von $A$, also [mm] $\{ x \in \IQ^{1 \times 11} \mid x A = 0 \}$. [/mm] (Also der Kern von [mm] $A^T$.)
[/mm]
4) Jedes Element $x = [mm] (x_0, \dots, x_{10})$ [/mm] im Linkskern korrespondiert nun zu einem Polynom [mm] $f_x(t) [/mm] := [mm] \sum_{i=0}^{10} x_i t^i \in \IQ[/mm] [t]$ mit [mm] $f_x(\beta) [/mm] = 0$, und jedes solche Polynom vom Grad [mm]\le 10[/mm] korrespondiert zu einem Element aus dem Linkskern.
5) Wenn du Glueck hast (wie vermutlich hier), ist der Linkskern eindimensional: ein nicht-triviales Element liefert dir dann ein Polynom, und wenn du dieses normierst bekommst du das Minimalpolynom von [mm] $\beta$. [/mm] Andernfalls musst du noch etwas lineare Algebra betreiben, um ein Polynom kleinsten Grades zu finden.
LG Felix
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