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| Aufgabe | | Ein Kreisausschnitt ist 100 cm² groß. Wie groß ist der Radius und wie die Länge des Kreisbogens, wenn der Umfang des Kreisausschnittes minimal wird. |
Wie fange ich an? Mir fällt im Moment leider gerade gar kein Ansatz ein.
Wäre super, wenn mir einer helfen kann!
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> Ein Kreisausschnitt ist 100 cm² groß. Wie groß ist der
> Radius und wie die Länge des Kreisbogens, wenn der Umfang
> des Kreisausschnittes minimal wird.
> Wie fange ich an? Mir fällt im Moment leider gerade gar
> kein Ansatz ein.
An Deiner Stelle würde ich damit anfangen, eine ganz grobe Skizze herzustellen und die relevanten Grössen anzuschreiben: Sei also $b$ die Länge des Kreisbogens und $r$ der Radius. Wenn Du nun einfach die zu minimierende Grösse und die gegebene Fläche je mit Hilfe von $r$ und $b$ ausdrückst, so siehst Du, dass Du folgendes Extremwertproblem zu lösen hast:
[mm]\begin{array}{clclcl|l}
\text{(Z)} & u(b,r) &:=& b+2r &\overset{!}{=}& \min& \text{zu minimierende Zielfunktion}\\
\text{(N)} & \frac{b\cdot r}{2} &=& 100 && &\text{Nebenbedingung}\\\cline{2-6}
\end{array}[/mm]
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Super danke schön!
Aber ich weiß trotzdem noch nicht, wie ich weiterkomme.. :( Irgendwie hab ich grad nen Gedankenfehler.
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> Super danke schön!
> Aber ich weiß trotzdem noch nicht, wie ich weiterkomme..
> :( Irgendwie hab ich grad nen Gedankenfehler.
Nun musst Du die Nebenbedingung verwenden, um eine der beiden Variablen, $b$ oder $r$, aus der Zielfunktion $u(b,r)$ rauszuwerfen. Dann hast Du die Zielfunktion nur noch als eine Funktion einer einzigen Variablen. Von der bestimmst Du nun die Minimalstelle und damit den gesuchten Wert der einen Variablen, $b$ oder $r$. Dann gehst Du mit diesem Wert zurück in die (aufgelöste) Nebenbedingung und bestimmst so auch noch den gesuchten Wert der zweiten Variablen, $r$ oder $b$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Mi 30.01.2008 | | Autor: | GrafZahl07 |
Danke
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