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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Sa 26.08.2017 | | Autor: | senmeis |
Servus,
ich muss folgende Aufgabe lösen.
Ein 6x1 ganzzahliger Vektor [mm] \vec{x} [/mm] wird gesucht damit
[mm] (a-x)^{t}\*b\*(a-x)
[/mm]
minimal ist,
wobei
[mm] \vec{a}: [/mm] 6x1 konstanter Vektor,
[mm] \vec{b}: [/mm] 6x6 konstante Matrix.
Alle Elemente in [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] sind reelle Zahlen.
Ein natürlicher Gedanke ist, [mm] \vec{x} [/mm] muss sich irgendwie in der Nähe von [mm] \vec{a} [/mm] befinden, denn [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] => Ausdruck = 0, also minimal.
Senmeis
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Hallo senmeis
Dein Beitrag ist nicht korrekt lesbar. Im Quelltext konnte ich eruieren, dass es offenbar um
$\ [mm] (a-x)^T [/mm] * B * (a-x) $
gehen soll. Aber was genau soll nun minimal werden ?
Sind im übrigen der Vektor a und die Matrix B gar nicht im Detail angegeben ?
Natürlich würde der obige Term einfach Null liefern, wenn man x:=a setzt ...
LG , Al-Chw.
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> Natürlich würde der obige Term einfach Null liefern, wenn
> man x:=a setzt ...
Hallo,
x soll ganzzahlige Einträge haben.
LG Angela
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> x soll ganzzahlige Einträge haben.
Danke Angela, das hatte ich übersehen, wohl auch weil ich ein anderes Problem habe: Die Formeln werden bei mir nicht angezeigt.
LG , Al
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:57 Mo 28.08.2017 | | Autor: | fred97 |
> Servus,
>
> ich muss folgende Aufgabe lösen.
>
> Ein 6x1 ganzzahliger Vektor [mm]\vec{x}[/mm] wird gesucht damit
> [mm](a-x)^{t}\*b\*(a-x)[/mm]
> minimal ist,
> wobei
> [mm]\vec{a}:[/mm] 6x1 konstanter Vektor,
> [mm]\vec{b}:[/mm] 6x6 konstante Matrix.
>
> Alle Elemente in [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] sind reelle Zahlen.
>
Setze $ [mm] f(x)=(a-x)^{t}\*b\*(a-x)$. [/mm] Dann ist
$f'(x)=grad f(x)=- [mm] b(x-a)+b^t(x-a)$.
[/mm]
Ist [mm] x_0 [/mm] eine Minimalstelle von f, so ist [mm] f'(x_0)=0.
[/mm]
> Ein natürlicher Gedanke ist, [mm]\vec{x}[/mm] muss sich irgendwie
> in der Nähe von [mm]\vec{a}[/mm] befinden, denn [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vec{a}[/mm]
> => Ausdruck = 0, also minimal.
Na ja, das stimmt z.B. im Falle, wenn b symmetrisch und positiv definit ist.
In anderen Fällen .... ?
>
> Senmeis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Di 29.08.2017 | | Autor: | senmeis |
Im Prinzip spielt es keine Rolle, welche Werte a und b aufnehmen, aber ich gebe Beispielswerte trotzdem.
a = [mm] \vektor{-0.39 \\ -3.99 \\ 1.01 \\ 0.57 \\ -0.70 \\ -2.81}
[/mm]
b = [mm] \pmat{ 1.1 & -0.2 & 0.19 & -1.03 & 0.69 & -0.47 \\
-0.2 & 0.17 & -0.25 & 0.43 & -0.06 & -0.05 \\
0.19 &-0.25 & 0.88 & -0.62 & -0.21 &0.29 \\
-1.03 & 0.43 & -0.62 & 1.59 & -0.3 & 0.04 \\
0.69 & -0.06 & -0.21 & -0.3 & 0.97 & -0.62 \\
-0.47 & -0.05 & 0.29 & 0.04 & -0.62 & 0.59}: [/mm] symmetrisch
Senmeis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Di 29.08.2017 | | Autor: | fred97 |
> Im Prinzip spielt es keine Rolle, welche Werte a und b
> aufnehmen, aber ich gebe Beispielswerte trotzdem.
>
> a = [mm]\vektor{-0.39 \\ -3.99 \\ 1.01 \\ 0.57 \\ -0.70 \\ -2.81}[/mm]
>
> b = [mm]\pmat{ 1.1 & -0.2 & 0.19 & -1.03 & 0.69 & -0.47 \\
-0.2 & 0.17 & -0.25 & 0.43 & -0.06 & -0.05 \\
0.19 &-0.25 & 0.88 & -0.62 & -0.21 &0.29 \\
-1.03 & 0.43 & -0.62 & 1.59 & -0.3 & 0.04 \\
0.69 & -0.06 & -0.21 & -0.3 & 0.97 & -0.62 \\
-0.47 & -0.05 & 0.29 & 0.04 & -0.62 & 0.59}:[/mm]
> symmetrisch
>
und was ist nun deine frage ?
> Senmeis
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:08 Fr 01.09.2017 | | Autor: | senmeis |
Vermutlich führt diese grad f(x) = 0 Methode zu x = a, aber alle Elemente in x sollen ganzzahlig sein. Das ist der Kernpunkt dieses Prblems. Wie oben erwähnt ist Matrix b tatsächlich symmetrisch. Also analytische Lösung gesucht.
Senmeis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 So 03.09.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:38 Di 05.09.2017 | | Autor: | fred97 |
> Vermutlich führt diese grad f(x) = 0 Methode zu x = a,
Im allgemeinen nicht !
> aber alle Elemente in x sollen ganzzahlig sein. Das ist der
> Kernpunkt dieses Prblems. Wie oben erwähnt ist Matrix b
> tatsächlich symmetrisch. Also analytische Lösung
> gesucht.
Es hilft nix, man mag es bedauern aber ändern kann man es nicht:
Wenn f in [mm] x_0 [/mm] ein lokales Extremum hat, so ist grad [mm] f(x_0)=0. [/mm] Die Lösung Deines Minimierungsproblems findet sich also unter den Nullstellen des Gradienten.
>
> Senmeis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:01 Mi 06.09.2017 | | Autor: | senmeis |
Ich denke, das Verfahren mit grad f(x) = 0 funktioniert nicht solange x ganzzahlig sein muss. Dies ist leicht zu kennen bei Gleichung mit einer Variable.
Senmeis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:01 Mi 06.09.2017 | | Autor: | Chris84 |
> Ich denke, das Verfahren mit grad f(x) = 0 funktioniert
> nicht solange x ganzzahlig sein muss. Dies ist leicht zu
> kennen bei Gleichung mit einer Variable.
>
> Senmeis
>
Ich glaube, ich verstehe (man moege bitte korrigieren):
Kann es sein, dass du meinst, dass man quasi alle (!) $x$ mit ganzzahligen Eintraegen in die Funktion einsetzt und den Wert ausrechnet. Und dann willst du halt wissen, fuer welchen Vektor $x$ das kleinste Ergebnis rauskommt!?
Das bekommt man tatsaechlich nicht notwendigerweise mit grad $f$=0.
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