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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Di 20.04.2010 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | Es sei [mm] \delta:\IR \to \IR [/mm] stetig differenzierbar. [mm] \delta' [/mm] sei streng monoton steigend und bei 0 gleich Null: 0 ist also das eindeutig bestimmte Minimum von [mm] \delta. [/mm] (Beispiele: [mm] x^{2k}, e^{x^{4}},...).
[/mm]
Fuer eine Stichprobe [mm] x_{1},...,x_{n} \in\IR [/mm] betrachten wir [mm] \gamma(x)=\summe_{i=1}^{n}a_{i} \delta(x-x_{i}) [/mm] ,fuer alle x [mm] \in\IR, [/mm] mit [mm] a_{1},...,a_{n}>0.
[/mm]
Beweisen Sie, dass es ein eindeutig bestimmtes [mm] x_{0} [/mm] zwischen min [mm] x_{i} [/mm] und max [mm] x_{i} [/mm] gibt, bei dem [mm] \gamma [/mm] minimiert wird.
(Neben der minimalen quadratischen Abweichung koennte man also auch allgemeiner mit einer "mittleren [mm] \delta-Abweichung" [/mm] arbeiten.) |
Hallo ihr schlauen koepfe :>
ich komm bei dieser aufgabe nich so ganz weiter...
ich habe mir aber so ein paar sachen ueberlegt:
ich muss ja erstmal zeigen, dass es ein extremum gibt, d.h. [mm] \gamma'(x)=0 [/mm] .
da die ableitung der summe=summe der ableitungen gilt -->
[mm] (a_{1} \delta(x-x_{1}))'+...+(a_{n}\delta(x-x_{n}))'=0
[/mm]
[mm] \gdw a_{1}( \delta(x-x_{1}))'+...+a_{n}(\delta(x-x_{n}))'=0 [/mm] (da ja [mm] a_{i}>0)
[/mm]
da alle [mm] a_{i}>0 [/mm] und wir schon wissen, dass [mm] \delta'(0)=0 [/mm] das minimum von [mm] \delta [/mm] ist und [mm] \delta' [/mm] strikt monoton steigt, wird [mm] a_{1}( \delta(x-x_{1}))'+...+a_{n}(\delta(x-x_{n}))'=0 [/mm]
[mm] \gdw \delta'(x-x_{i})=0 [/mm] wird.
das kann ja aber irgendwie noch nich alles sein, denn dann waere ja [mm] x=x_{i}...
[/mm]
und irgendwie denke ich mir rein logisch gesehen, dass es der Stichprobenmittelwert sein muss...
bitte helft mir, bin verwirrt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Di 20.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm ein x ausserhalb des intrvalls und zeige, dass es dann immer kleinere Werte gibt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Di 20.04.2010 | | Autor: | simplify |
meinst du ein [mm] x\not\in [minx_{i},maxx_{i}] [/mm] ???
aber, wenn es doch dann kleinere Werte werden passt das doch nicht mit dem was zu beweisen ist zusammen, nämlich gerade das es für [mm] x\in [minx_{i},maxx_{i}] [/mm] minimal wird oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Di 20.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> meinst du ein [mm]x\not\in [minx_{i},maxx_{i}][/mm] ???
> aber, wenn es doch dann kleinere Werte werden passt das
> doch nicht mit dem was zu beweisen ist zusammen, nämlich
> gerade das es für [mm]x\in [minx_{i},maxx_{i}][/mm] minimal wird
> oder nicht?
Lies Dir seine Antwort nochmal durch. Er sagt, daß Du zeigen sollst, daß jedes beliebige x außerhalb des Intervalls nicht das Minimum sein kann, weil es immer ein kleineres gibt (nämlich z.B. die Intervallgrenzen). Also liegt die Lösung auf jeden Fall im Intervall.
ciao
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Di 20.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
Bis dahin stimmt's:
[mm] $\gamma'(x)=\sum_i a_i\delta'(x-x_i) \overset{!}{=} [/mm] 0$
> steigt, wird [mm]a_{1}( \delta(x-x_{1}))'+...+a_{n}(\delta(x-x_{n}))'=0[/mm]
> [mm]\gdw \delta'(x-x_{i})=0[/mm] wird.
Aber das [mm] $\gdw$ [/mm] ist quatsch.
Wieso sollte eine Summe nur dann 0 werden können, wenn alle Summanden 0 sind?
Wieso rechnest Du die Aufgabe nicht mal für [mm] $a_i=1$ [/mm] und [mm] $\delta(x)=x^2$? [/mm] Dann sieht das ganze gleich viel einfacher aus.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 Mi 21.04.2010 | | Autor: | simplify |
Danke,danke,danke, du hast mir sehr geholfen
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