Minimum & Maximum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | a) Sei n > 2. Man bestimme das Maximum von [mm] sinx_1 [/mm] + [mm] sinx_2 [/mm] + . . . + [mm] sinx_n [/mm] für [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + . . . + [mm] x_n [/mm] = [mm] 2\pi, [/mm] 0 ≤ [mm] x_j [/mm] ≤ [mm] \pi.
[/mm]
b) Man bestimme das Maximum und das Minimum der Funktion f (x, y) = x + y auf der Kreislinie [mm] S^1 [/mm] mit Hilfe des Lagrange-Parameters. |
Hallo zusammen,
kann ich bei a) nicht einfach nach [mm] x_1, x_2,...,x_n [/mm] ableiten ?
Sei [mm] g(x)=sinx_1 [/mm] + [mm] sinx_2 [/mm] + . . . + [mm] sinx_n [/mm]
[mm] g(x)_{x_1}= cos(x_1)
[/mm]
[mm] g(x)_{x_2}= cos(x_2)
[/mm]
.
.
.
[mm] g(x)_{x_n}= cos(x_n)
[/mm]
-> [mm] cos(x_1),cos(x_2),...,cos(x_n)=0
[/mm]
cos(x)=0, arcos0=x
-> x=90° bzw. [mm] \pi [/mm] /2
-> g''(x)=-sin(x)=-sin(90°) <0 -> Max
-> x=270° bzw. [mm] 3\pi [/mm] /2
-> g''(x)=-sin(x)=-sin(270°) >0 -> Min
Kann man das so machen?
Danke und Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> a) Sei n > 2. Man bestimme das Maximum von [mm]sinx_1[/mm] + [mm]sinx_2[/mm]
> + . . . + [mm]sinx_n[/mm] für [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + . . . + [mm]x_n[/mm] = [mm]2\pi,[/mm] 0 ≤
> [mm]x_j[/mm] ≤ [mm]\pi.[/mm]
>
> b) Man bestimme das Maximum und das Minimum der Funktion f
> (x, y) = x + y auf der Kreislinie [mm]S^1[/mm] mit Hilfe des
> Lagrange-Parameters.
> Hallo zusammen,
>
> kann ich bei a) nicht einfach nach [mm]x_1, x_2,...,x_n[/mm]
> ableiten ?
>
> Sei [mm]g(x)=sinx_1[/mm] + [mm]sinx_2[/mm] + . . . + [mm]sinx_n[/mm]
>
> [mm]g(x)_{x_1}= cos(x_1)[/mm]
> [mm]g(x)_{x_2}= cos(x_2)[/mm]
> .
> .
> .
> [mm]g(x)_{x_n}= cos(x_n)[/mm]
>
> -> [mm]cos(x_1),cos(x_2),...,cos(x_n)=0[/mm]
>
> cos(x)=0, arcos0=x
> -> x=90° bzw. [mm]\pi[/mm] /2
> -> g''(x)=-sin(x)=-sin(90°) <0 -> Max
>
> -> x=270° bzw. [mm]3\pi[/mm] /2
> -> g''(x)=-sin(x)=-sin(270°) >0 -> Min
>
> Kann man das so machen?
Ne, Du hast die Nebenbedingung
$ [mm] x_1 [/mm] $ + $ [mm] x_2 [/mm] $ + . . . + $ [mm] x_n [/mm] $ = $ [mm] 2\pi, [/mm] $ 0 ≤ $ [mm] x_j [/mm] $ ≤ [mm] \pi
[/mm]
überhaupt nicht eingebracht !!
FRED
>
> Danke und Grüße
>
>
>
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
> > a) Sei n > 2. Man bestimme das Maximum von [mm]sinx_1[/mm] + [mm]sinx_2[/mm]
> > + . . . + [mm]sinx_n[/mm] für [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + . . . + [mm]x_n[/mm] = [mm]2\pi,[/mm] 0 ≤
> > [mm]x_j[/mm] ≤ [mm]\pi.[/mm]
> >
> > b) Man bestimme das Maximum und das Minimum der Funktion f
> > (x, y) = x + y auf der Kreislinie [mm]S^1[/mm] mit Hilfe des
> > Lagrange-Parameters.
> > Hallo zusammen,
> >
> > kann ich bei a) nicht einfach nach [mm]x_1, x_2,...,x_n[/mm]
> > ableiten ?
> >
> > Sei [mm]g(x)=sinx_1[/mm] + [mm]sinx_2[/mm] + . . . + [mm]sinx_n[/mm]
> >
> > [mm]g(x)_{x_1}= cos(x_1)[/mm]
> > [mm]g(x)_{x_2}= cos(x_2)[/mm]
> > .
> > .
> > .
> > [mm]g(x)_{x_n}= cos(x_n)[/mm]
> >
> > -> [mm]cos(x_1),cos(x_2),...,cos(x_n)=0[/mm]
> >
> > cos(x)=0, arcos0=x
> > -> x=90° bzw. [mm]\pi[/mm] /2
> > -> g''(x)=-sin(x)=-sin(90°) <0 -> Max
> >
> > -> x=270° bzw. [mm]3\pi[/mm] /2
> > -> g''(x)=-sin(x)=-sin(270°) >0 -> Min
> >
> > Kann man das so machen?
>
> Ne, Du hast die Nebenbedingung
>
> [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + . . . + [mm]x_n[/mm] = [mm]2\pi,[/mm] 0 ≤ [mm]x_j[/mm] ≤ [mm]\pi[/mm]
>
> überhaupt nicht eingebracht !!
>
> FRED
>
>
> >
> > Danke und Grüße
> >
> >
> >
> >
> >
Hast du evtl einen kleinen Tipp, wie ich die mit reinbringen kann?
Vielleicht könnte es ja wichtig sein oder werden: [mm] |cos(x)|\leq1
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + ... + [mm] x_n=2\pi, [/mm] d.h. die x Werte summieren sich zu [mm] 2\pi [/mm] auf.
Aber jeder cosinus wert der Ableitung ist ja zunächst einmal beschränkt durch 1 [mm] (|cos(x)|\leq1). [/mm] ..
hmmm, bitte um Hilfe...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
zu b)
ich habe:
[mm] L=f+\lambda_1*g_1
[/mm]
NB da Kreis g:= [mm] x^2+y^2-r^2
[/mm]
[mm] L=x+y+\lambda(x^2+y^2-r^2)
[/mm]
[mm] L_x [/mm] = [mm] y+2\lambda [/mm] x
[mm] L_y= x+2\lambda [/mm] y
[mm] L_\lambda [/mm] = [mm] x^2+y^2-r^2
[/mm]
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:37 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
> zu b)
>
> ich habe:
> [mm]L=f+\lambda_1*g_1[/mm]
> NB da Kreis g:= [mm]x^2+y^2-r^2[/mm]
>
> [mm]L=x+y+\lambda(x^2+y^2-r^2)[/mm]
>
> [mm]L_x[/mm] = [mm]y+2\lambda[/mm] x
> [mm]L_y= x+2\lambda[/mm] y
> [mm]L_\lambda[/mm] = [mm]x^2+y^2-r^2[/mm]
-> Drei Gleichungen:
I [mm] y+2\lambda [/mm] x
II [mm] x+2\lambda [/mm] y
III [mm] x^2+y^2-r^2
[/mm]
I [mm] y+2\lambda [/mm] x= 0 [mm] \gdw x=-\frac{y}{2\lambda}
[/mm]
x in II
[mm] -\frac{y}{2\lambda}+2\lambda [/mm] y = 0 [mm] \gdw -y+4\lambda^2 [/mm] y =0 [mm] \gdw 4\lambda^2 [/mm] y = y [mm] \gdw 4\lambda^2 [/mm] = 1 [mm] \gdw \lambda^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{4} \gdw \lambda =\frac{1}{2}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] in I
x=-y
x=-y in III
[mm] -(y^2)+y^2-r^2=0 \gdw r^2 [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] r=0
[mm] x,y,\lambda,r [/mm] in L -> [mm] -y+x+0,5(y^2+x^2)
[/mm]
Ist mein Weg so korrekt?
Grüße
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> zu b)
>
> ich habe:
> [mm]L=f+\lambda_1*g_1[/mm]
> NB da Kreis g:= [mm]x^2+y^2-r^2[/mm][mm] \red{=0}
[/mm]
>
> [mm]L=x+y+\lambda(x^2+y^2-r^2)[/mm]
Hallo,
falls mit "Kreislinie $ [mm] S^1 [/mm] $", der Kreis um (0,0) mit dem Radius r gemeint ist, ist's bis hierher richtig.
Für was steht denn bei Euch [mm] S^1?
[/mm]
> [mm]L_x[/mm] = [mm]y+2\lambda[/mm] x
> [mm]L_y= x+2\lambda[/mm] y
[mm] L_x [/mm] und [mm] L_y [/mm] stimmen nicht.
Was kommt denn raus, wenn Du x+y nach x ableitest?
Gruß v. Angela
> [mm]L_\lambda[/mm] = [mm]x^2+y^2-r^2[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
> > zu b)
> >
> > ich habe:
> > [mm]L=f+\lambda_1*g_1[/mm]
> > NB da Kreis g:= [mm]x^2+y^2-r^2[/mm][mm] \red{=0}[/mm]
> >
> > [mm]L=x+y+\lambda(x^2+y^2-r^2)[/mm]
>
> Hallo,
>
> falls mit "Kreislinie [mm]S^1 [/mm]", der Kreis um (0,0) mit dem
> Radius r gemeint ist, ist's bis hierher richtig.
>
> Für was steht denn bei Euch [mm]S^1?[/mm]
>
>
> > [mm]L_x[/mm] = [mm]y+2\lambda[/mm] x
> > [mm]L_y= x+2\lambda[/mm] y
>
> [mm]L_x[/mm] und [mm]L_y[/mm] stimmen nicht.
>
> Was kommt denn raus, wenn Du x+y nach x ableitest?
>
> Gruß v. Angela
>
> > [mm]L_\lambda[/mm] = [mm]x^2+y^2-r^2[/mm]
>
>
Hallo, wenn ich x+y nach x ableite, 1
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> Hallo, wenn ich x+y nach x ableite, 1
Ja.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also nochmal
I [mm] 1+2\lambda [/mm] x
II 1+ 2 [mm] \lambda [/mm] y
III [mm] x^2+y^2-r^2
[/mm]
I [mm] 1+2\lambda [/mm] x = 0 [mm] \gdw 2\lambda [/mm] x=-1 [mm] \gdw \lambda=-\frac{1}{2x}
[/mm]
in II
1+ 2 [mm] \lambda [/mm] y = 0 [mm] \gdw 1+2(-\frac{1}{2x})y [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] x=y
x=y in III
[mm] y^2+x^2-r^2=0
[/mm]
Ist es soweit richtig?
Wie muss ich nun weitermachen?
Danke und Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> also nochmal
>
> I [mm]1+2\lambda[/mm] x
> II 1+ 2 [mm]\lambda[/mm] y
> III [mm]x^2+y^2-r^2[/mm]
>
> I [mm]1+2\lambda[/mm] x = 0 [mm]\gdw 2\lambda[/mm] x=-1 [mm]\gdw \lambda=-\frac{1}{2x}[/mm]
>
> in II
>
>
> 1+ 2 [mm]\lambda[/mm] y = 0 [mm]\gdw 1+2(-\frac{1}{2x})y[/mm] = 0 [mm]\gdw[/mm] x=y
>
> x=y in III
>
> [mm]y^2+x^2-r^2=0[/mm]
>
> Ist es soweit richtig?
Es ist r = 1, also hast Du [mm] 2x^2=1, [/mm] oder x=y = [mm] \pm \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
FRED
>
> Wie muss ich nun weitermachen?
>
> Danke und Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
> > Hallo,
> >
> > also nochmal
> >
> > I [mm]1+2\lambda[/mm] x
> > II 1+ 2 [mm]\lambda[/mm] y
> > III [mm]x^2+y^2-r^2[/mm]
> >
> > I [mm]1+2\lambda[/mm] x = 0 [mm]\gdw 2\lambda[/mm] x=-1 [mm]\gdw \lambda=-\frac{1}{2x}[/mm]
>
> >
> > in II
> >
> >
> > 1+ 2 [mm]\lambda[/mm] y = 0 [mm]\gdw 1+2(-\frac{1}{2x})y[/mm] = 0 [mm]\gdw[/mm] x=y
> >
> > x=y in III
> >
> > [mm]y^2+x^2-r^2=0[/mm]
> >
> > Ist es soweit richtig?
>
> Es ist r = 1, also hast Du [mm]2x^2=1,[/mm] oder x=y = [mm]\pm \bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> FRED
>
>
> >
> > Wie muss ich nun weitermachen?
> >
> > Danke und Grüße
Wie kommst du denn auf r=1 bzw. [mm] 2x^2=1? [/mm] Das ist mir nach meinen obigen Rechnungen leider nicht ersichtlich...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Die Kreislinie $ [mm] S^1 [/mm] $ ist doch die Menge der Punkte (x,y) mit [mm] x^2+y^2=1.
[/mm]
Du hattest x=y und [mm] x^2+y^2= r^2. [/mm] Wegen r=1 folgt: [mm] 2x^2=1
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
> Die Kreislinie [mm]S^1[/mm] ist doch die Menge der Punkte (x,y) mit
> [mm]x^2+y^2=1.[/mm]
>
> Du hattest x=y und [mm]x^2+y^2= r^2.[/mm] Wegen r=1 folgt: [mm]2x^2=1[/mm]
>
> FRED
Stimmt... Das hatte ich nicht beachtet... Danke!
Nun muss ich doch das Max und Min zeigen.
Ich leite doch jetzt nochmal ab und setze mein x und y dort ein. Dann bekomme ich doch meinen Punkt wo sich ein Min und Max befindet, oder?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Die Kreislinie $ [mm] S^1 [/mm] $ ist kompakt und f ist auf $ [mm] S^1 [/mm] $ stetig, also gibt es a,b [mm] \in [/mm] $ [mm] S^1 [/mm] $ mit:
f(a) = maxf($ [mm] S^1 [/mm] $) und f(b) = minf($ [mm] S^1 [/mm] $)
Wegen Deiner obigen Rechnungen gilt:
a,b [mm] \in [/mm] { [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}}, \bruch{1}{\wurzel{2}}), (\bruch{-1}{\wurzel{2}}, \bruch{-1}{\wurzel{2}}) [/mm] }
Was ist nun wohl a und was ist b ?
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo
a= [mm] \frac{1}{\sqrt{2}}
[/mm]
b=- [mm] \frac{1}{\sqrt{2}}
[/mm]
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> a= [mm]\frac{1}{\sqrt{2}}[/mm]
> b=- [mm]\frac{1}{\sqrt{2}}[/mm]
>
Um Gottes Willen, nein !
a = [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}}, \bruch{1}{\wurzel{2}}),
[/mm]
b = [mm] (\bruch{-1}{\wurzel{2}}, \bruch{-1}{\wurzel{2}}) [/mm]
FRED
> Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
aber ich kann das doch auch über die 2ten Ableitungen machen, oder nicht?
Dann hätte ich
[mm] L_{xx}=2\lambda
[/mm]
[mm] L_{yy}=2\lambda
[/mm]
[mm] L_{\lambda\lambda}=0
[/mm]
[mm] L_{xy}=L_{yx}=0
[/mm]
Nun müsste ich doch eigentlich die errechneten x und y Werte hier einsetzen. Aber ich habe ja hier keine x und y Variablen. Was müsste ich denn nun hier machen, um auf den gesuchten Punkt zu kommen?
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> aber ich kann das doch auch über die 2ten Ableitungen
> machen, oder nicht?
Hallo,
Dir schwebt anscheinend was in Richung Hessematrix vor. (?)
Das macht man bei Deiner Aufgabe, in welcher man die Extremwerte einer stetigen Funktion über einer kompakten Menge sucht, normalerweie nicht.
Wie man's hier macht, hat Dir fred ja gesagt.
Ich glaube nicht, daß Ihr es tun sollt, aber die Wiwis arbeiten mitunter an der Stelle, an welcher Du jetzt stehst, mit der geränderten Hessematrix weiter. Guck Dir ggf. in der wikipedia an, was man dafür machen muß.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Maximiere die Funktion
$ [mm] f(x_1, [/mm] ..., [mm] x_n) =sinx_1 [/mm] $ + $ [mm] sinx_2 [/mm] $ + . . . + $ [mm] sinx_n [/mm] $
unter der Nebenbedingung
$ [mm] x_1 [/mm] $ + $ [mm] x_2 [/mm] $ + . . . + $ [mm] x_n [/mm] $ = $ [mm] 2\pi, [/mm] $
0 ≤ $ [mm] x_j [/mm] $ ≤ $ [mm] \pi. [/mm] $
Lagrange Ansatz !!
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Meinst du evtl so?
[mm] L=f+\lambda_1*g_1
[/mm]
[mm] L=(sinx_1+...+sinx_n)+\lambda(x_1+x_2+...x_n)) [/mm]
Und nun L nach [mm] x_1 [/mm] ... [mm] x_n [/mm] ableiten?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Meinst du evtl so?
>
> [mm]L=f+\lambda_1*g_1[/mm]
>
> [mm]L=(sinx_1+...+sinx_n)+\lambda(x_1+x_2+...x_n))[/mm]
Nein.
[mm] $L(x_1, ...x_n) [/mm] = [mm] (sinx_1+...+sinx_n)+\lambda(x_1+x_2+...x_n- [/mm] 2 [mm] \pi)$
[/mm]
>
> Und nun L nach [mm]x_1[/mm] ... [mm]x_n[/mm] ableiten?
Ja , wie üblich
FRED
>
> Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
> > Meinst du evtl so?
> >
> > [mm]L=f+\lambda_1*g_1[/mm]
> >
> > [mm]L=(sinx_1+...+sinx_n)+\lambda(x_1+x_2+...x_n))[/mm]
>
> Nein.
>
> [mm]L(x_1, ...x_n) = (sinx_1+...+sinx_n)+\lambda(x_1+x_2+...x_n- 2 \pi)[/mm]
>
>
>
>
>
> >
> > Und nun L nach [mm]x_1[/mm] ... [mm]x_n[/mm] ableiten?
>
> Ja , wie üblich
>
> FRED
> >
> > Grüße
Also hätte ich doch
[mm] L_{x_1}=cos(x_1)+ \lambda
[/mm]
[mm] L_{x_2}=cos(x_2)+\lambda
[/mm]
.
.
.
[mm] L_{x_n}=cos(x_n)+\lambda
[/mm]
die [mm] 2\pi [/mm] fallen doch weg, oder?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Mo 23.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
gut. Nun bekomme ich ja sehr viele Gleichungen.
I [mm] cos(x_1) [/mm] + [mm] \lambda
[/mm]
II [mm] cos(x_2) [/mm] + [mm] \lambda
[/mm]
III [mm] cos(x_3) [/mm] + [mm] \lambda
[/mm]
n [mm] cos(x_n) [/mm] + [mm] \lambda
[/mm]
Was muss ich den nun hier tun? Das ganze nach [mm] \lambda [/mm] auflösen? Aber es sind doch hier die [mm] x_1 x_2 [/mm] ... [mm] x_n [/mm] interessant aufgrund der Nebenbedingung, oder?
Danke..
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> gut. Nun bekomme ich ja sehr viele Gleichungen.
>
> I [mm]cos(x_1)[/mm] + [mm]\lambda[/mm]
> II [mm]cos(x_2)[/mm] + [mm]\lambda[/mm]
> III [mm]cos(x_3)[/mm] + [mm]\lambda[/mm]
>
> n. [mm]cos(x_n)[/mm] + [mm]\lambda[/mm]
n+1. [mm] x_1 [/mm] +...+x-n [mm] -2\pi=0
[/mm]
>
> Was muss ich den nun hier tun? Das ganze nach [mm]\lambda[/mm]
> auflösen? Aber es sind doch hier die [mm]x_1 x_2[/mm] ... [mm]x_n[/mm]
> interessant aufgrund der Nebenbedingung, oder?
Du hast ein GS mit n+1 Variablen und n+1 Gleichungen.
Bzw. Du hättest ein GS, hättest Du überall noch =0 hingeschreiben - was Du unbedingt tun solltest.
Diese GS ist nun zu lösen.
[mm] \lambda [/mm] ist schnell eliminiert, dann kommt das Nachdenken über das GS
[mm] x_1 [/mm] +...+x-n [mm] -2\pi=0
[/mm]
[mm] cos(x_k)=cos(x_1) [/mm] für alle k=2,...,n
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Di 24.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
> > gut. Nun bekomme ich ja sehr viele Gleichungen.
> >
> > I [mm]cos(x_1)[/mm] + [mm]\lambda[/mm]
> > II [mm]cos(x_2)[/mm] + [mm]\lambda[/mm]
> > III [mm]cos(x_3)[/mm] + [mm]\lambda[/mm]
> >
> > n. [mm]cos(x_n)[/mm] + [mm]\lambda[/mm]
>
> n+1. [mm]x_1[/mm] +...+x-n [mm]-2\pi=0[/mm]
>
> >
> > Was muss ich den nun hier tun? Das ganze nach [mm]\lambda[/mm]
> > auflösen? Aber es sind doch hier die [mm]x_1 x_2[/mm] ... [mm]x_n[/mm]
> > interessant aufgrund der Nebenbedingung, oder?
>
> Du hast ein GS mit n+1 Variablen und n+1 Gleichungen.
>
> Bzw. Du hättest ein GS, hättest Du überall noch =0
> hingeschreiben - was Du unbedingt tun solltest.
>
> Diese GS ist nun zu lösen.
>
> [mm]\lambda[/mm] ist schnell eliminiert, dann kommt das Nachdenken
> über das GS
>
> [mm]x_1[/mm] +...+x-n [mm]-2\pi=0[/mm]
> [mm]cos(x_k)=cos(x_1)[/mm] für alle k=2,...,n
>
> Gruß v. Angela
Also hätte ich
I [mm] cos(x_1) [/mm] + [mm] \lambda=0
[/mm]
II [mm] cos(x_2) [/mm] + [mm] \lambda=0
[/mm]
n+1 [mm] cos(x_n)+\lambda=0
[/mm]
I [mm] cos(x_1)+\lambda=0 \gdw cos(x_1)=-\lambda [/mm]
in II [mm] cos(x_2) [/mm] - [mm] cos(x_1) [/mm] =0 [mm] \gdw cos(x_2)=cos(x_1) [/mm]
usw.
bei n+1 [mm] cos(x_n) [/mm] = [mm] cos(x_1) [/mm]
Das Maximum müsste ja bei 1 liegen. Wenn ich nun habe [mm] cos(x_n)=cos(0)=1=cos(0)=cos(x_1) [/mm] ist dies erfüllt, wenn [mm] x_n=x_1=0 [/mm] ist, oder nicht?
Grüße
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> Also hätte ich [...]
>
> I [mm]cos(x_1)[/mm] + [mm]\lambda=0[/mm]
> II
> in II [mm]cos(x_2)[/mm] - [mm]cos(x_1)[/mm] =0 [mm]\gdw cos(x_2)=cos(x_1)[/mm]
>
> usw.
>
> bei n+1 [mm]cos(x_n)[/mm] = [mm]cos(x_1)[/mm]
und zusätzlich [mm] x_1+...+x_n-2\pi=0.
[/mm]
> Das Maximum müsste ja bei 1 liegen.
Hallo,
???
Wie kommst Du darauf?
"Maximum müßte" macht mich auch etwas traurig. Wir sind doch gerade dabei, das Maximum zu berechnen!(?)
Und dafür müssen wir das GS lösen. darauf kommt es im Moment an.
> Wenn ich nun habe
> [mm]cos(x_n)=cos(0)=1=cos(0)=cos(x_1)[/mm] ist dies erfüllt, wenn
> [mm]x_n=x_1=0[/mm] ist, oder nicht?
Hm. Du willst als Lösung vorschlagen, daß [mm] x_k=0 [/mm] für alle k=1,...n ist?
Das sieht dann aber im Hinblick auf die Gleichung [mm] x_1+...+x_n-2\pi=0 [/mm] ziemlich schlecht aus...
Jetzt schauen wir erstmal, was wir der Gleichung [mm] cos(x_1)=cos(x_2) [/mm] entnehmen können: aufgrund des Definitionsbereiches (s. Aufgabenstellung) muß sein [mm] x_1=x_2. [/mm] (überleg Dir genau, warum. das ist ja bei trig. Funktionen nicht selbstverständlich.)
und dann rechne weiter.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Di 24.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
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> > Also hätte ich [...]
> >
> > I [mm]cos(x_1)[/mm] + [mm]\lambda=0[/mm]
> > II
>
> > in II [mm]cos(x_2)[/mm] - [mm]cos(x_1)[/mm] =0 [mm]\gdw cos(x_2)=cos(x_1)[/mm]
> >
> > usw.
> >
> > bei n+1 [mm]cos(x_n)[/mm] = [mm]cos(x_1)[/mm]
>
> und zusätzlich [mm]x_1+...+x_n-2\pi=0.[/mm]
>
> > Das Maximum müsste ja bei 1 liegen.
>
> Hallo,
>
> ???
>
> Wie kommst Du darauf?
>
> "Maximum müßte" macht mich auch etwas traurig. Wir sind
> doch gerade dabei, das Maximum zu berechnen!(?)
>
> Und dafür müssen wir das GS lösen. darauf kommt es im
> Moment an.
>
>
> > Wenn ich nun habe
> > [mm]cos(x_n)=cos(0)=1=cos(0)=cos(x_1)[/mm] ist dies erfüllt, wenn
> > [mm]x_n=x_1=0[/mm] ist, oder nicht?
>
> Hm. Du willst als Lösung vorschlagen, daß [mm]x_k=0[/mm] für alle
> k=1,...n ist?
>
> Das sieht dann aber im Hinblick auf die Gleichung
> [mm]x_1+...+x_n-2\pi=0[/mm] ziemlich schlecht aus...
>
> Jetzt schauen wir erstmal, was wir der Gleichung
> [mm]cos(x_1)=cos(x_2)[/mm] entnehmen können: aufgrund des
> Definitionsbereiches (s. Aufgabenstellung) muß sein
> [mm]x_1=x_2.[/mm] (überleg Dir genau, warum. das ist ja bei trig.
> Funktionen nicht selbstverständlich.)
>
> und dann rechne weiter.
>
> Gruß v. Angela
Hat dies evtl etwas mit den Periodizität des Cosinus zu tun?
Es gilt ja {x [mm] \in \IR [/mm] | cos(x)=0}= [mm] {\pi/2 + k\pi }
[/mm]
Die Gleichung ist erfüllt für [mm] x=\pi/2 [/mm] und x=3/2 [mm] \pi [/mm] usw.
Grüße
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> > Jetzt schauen wir erstmal, was wir der Gleichung
> > [mm]cos(x_1)=cos(x_2)[/mm] entnehmen können: aufgrund des
> > Definitionsbereiches (s. Aufgabenstellung) muß sein
> > [mm]x_1=x_2.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
(überleg Dir genau, warum. das ist ja bei trig.
> > Funktionen nicht selbstverständlich.)
> >
> > und dann rechne weiter.
> >
> > Gruß v. Angela
>
> Hat dies evtl etwas mit den Periodizität des Cosinus zu
> tun?
> Es gilt ja {x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| cos(x)=0}= [mm]{\pi/2 + k\pi }[/mm]
Hallo,
was wurschstelst Du mit cos(x)=0 rum?
Wo gibt's einen Hinweis, daß das so sein soll oder muß? (Ich sehe keinen).
Wir wollen ja u.a. gerade etwas aus [mm] cos(x_1)=cos(x_2) [/mm] folgern.
Wir haben unsere [mm] x_i [/mm] doch aus dem Intervall [mm] [0,\pi], [/mm] wenn ich's mir recht gemerkt habe.
Schau Dir den Graphen vom cos über diesem Intervall an.
Gibt es dort Stellen [mm] x_1\not=x-2, [/mm] an denen die Funktionswerte [mm] cos(x_1) [/mm] und [mm] cos(x_2) [/mm] gleich sind?
Also folgt aus [mm] cos(x_1)=cos(x_2) [/mm] was?
Für ide anderen genauso.
Dann noch [mm] x_1+...+x_n-2\pi=0 [/mm] verwenden.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Di 24.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
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> > > Jetzt schauen wir erstmal, was wir der Gleichung
> > > [mm]cos(x_1)=cos(x_2)[/mm] entnehmen können: aufgrund des
> > > Definitionsbereiches (s. Aufgabenstellung) muß sein
> > > [mm]x_1=x_2.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> (überleg Dir genau, warum. das ist ja bei trig.
> > > Funktionen nicht selbstverständlich.)
> > >
> > > und dann rechne weiter.
> > >
> > > Gruß v. Angela
> >
> > Hat dies evtl etwas mit den Periodizität des Cosinus zu
> > tun?
> > Es gilt ja {x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen
> immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> | cos(x)=0}= [mm]{\pi/2 + k\pi }[/mm]
>
> Hallo,
>
> was wurschstelst Du mit cos(x)=0 rum?
>
> Wo gibt's einen Hinweis, daß das so sein soll oder muß?
> (Ich sehe keinen).
>
> Wir wollen ja u.a. gerade etwas aus [mm]cos(x_1)=cos(x_2)[/mm]
> folgern.
>
> Wir haben unsere [mm]x_i[/mm] doch aus dem Intervall [mm][0,\pi],[/mm] wenn
> ich's mir recht gemerkt habe.
>
> Schau Dir den Graphen vom cos über diesem Intervall an.
>
> Gibt es dort Stellen [mm]x_1\not=x-2,[/mm] an denen die
> Funktionswerte [mm]cos(x_1)[/mm] und [mm]cos(x_2)[/mm] gleich sind?
>
> Also folgt aus [mm]cos(x_1)=cos(x_2)[/mm] was?
>
> Für ide anderen genauso.
>
> Dann noch [mm]x_1+...+x_n-2\pi=0[/mm] verwenden.
>
> Gruß v. Angela
Auf dem Intervall [mm] [0,\pi] [/mm] sind die Funktionswerte nicht gleich. [mm] cos(x_1)\not=cos(x_2) [/mm] wenn [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=\pi/2 [/mm] ist. Die Fktwerte wären demnach 1 und 0. Für [mm] x_2=\pi/2 [/mm] und [mm] x_3=\pi [/mm] wären diese 0 und -1.
Damit gibt es keine [mm] x_1=x_2 [/mm] die die gleichen Fktwerte annehmen.
Nun müssen ja nach der NB die [mm] x_1+ x_2+x_3 [/mm] ... [mm] +x_n [/mm] - [mm] 2\pi [/mm] aufsummiert Null ergeben. Dies ist ja nur erfüllt, wenn (obiges Beispiel) [mm] x_1+x_3=0 [/mm] ist. (Also bezüglich der Fktwerte 1 + (-1)= 0.)
Grüße
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> > Hallo,
> >
> > was wurschstelst Du mit cos(x)=0 rum?
> >
> > Wo gibt's einen Hinweis, daß das so sein soll oder muß?
> > (Ich sehe keinen).
> >
> > Wir wollen ja u.a. gerade etwas aus [mm]cos(x_1)=cos(x_2)[/mm]
> > folgern.
> >
> > Wir haben unsere [mm]x_i[/mm] doch aus dem Intervall [mm][0,\pi],[/mm] wenn
> > ich's mir recht gemerkt habe.
> >
> > Schau Dir den Graphen vom cos über diesem Intervall an.
> >
> > Gibt es dort Stellen [mm]x_1\not=x-2,[/mm] an denen die
> > Funktionswerte [mm]cos(x_1)[/mm] und [mm]cos(x_2)[/mm] gleich sind?
> >
> > Also folgt aus [mm]cos(x_1)=cos(x_2)[/mm] was?
> >
> > Für ide anderen genauso.
> >
> > Dann noch [mm]x_1+...+x_n-2\pi=0[/mm] verwenden.
> >
> > Gruß v. Angela
>
> Auf dem Intervall [mm][0,\pi][/mm] sind die Funktionswerte nicht
> gleich.
Hallo,
sie sind nicht gleich für verschiedene [mm] x_i.
[/mm]
Woraus folgt, daß [mm] x_1=x_k [/mm] sein muß für k=1,...,n.
Gleichzeitig muß gelten [mm] x_1+...+x_n-2\pi=0.
[/mm]
Also? Jetzt klar?
> [mm]cos(x_1)\not=cos(x_2)[/mm] wenn [mm]x_1=0[/mm] und [mm]x_2=\pi/2[/mm] ist.
Hm. ich weiß nicht, was Dich umtreibt.
Was Du schreibst, stimmt natürlich, aber es gibt ja noch ein paar andere Zahlen außer 0 und [mm] \pi/2.
[/mm]
Irgendwie bist Du auf dem falschen Trip - wenn ich nur wüßte, auf welchem...
> Die Fktwerte wären demnach 1 und 0. Für [mm]x_2=\pi/2[/mm] und
> [mm]x_3=\pi[/mm] wären diese 0 und -1.
> Damit gibt es keine [mm]x_1=x_2[/mm] die die gleichen Fktwerte
> annehmen.
???
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Di 24.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
>
> > > Hallo,
> > >
> > > was wurschstelst Du mit cos(x)=0 rum?
> > >
> > > Wo gibt's einen Hinweis, daß das so sein soll oder muß?
> > > (Ich sehe keinen).
> > >
> > > Wir wollen ja u.a. gerade etwas aus [mm]cos(x_1)=cos(x_2)[/mm]
> > > folgern.
> > >
> > > Wir haben unsere [mm]x_i[/mm] doch aus dem Intervall [mm][0,\pi],[/mm] wenn
> > > ich's mir recht gemerkt habe.
> > >
> > > Schau Dir den Graphen vom cos über diesem Intervall an.
> > >
> > > Gibt es dort Stellen [mm]x_1\not=x-2,[/mm] an denen die
> > > Funktionswerte [mm]cos(x_1)[/mm] und [mm]cos(x_2)[/mm] gleich sind?
> > >
> > > Also folgt aus [mm]cos(x_1)=cos(x_2)[/mm] was?
> > >
> > > Für ide anderen genauso.
> > >
> > > Dann noch [mm]x_1+...+x_n-2\pi=0[/mm] verwenden.
> > >
> > > Gruß v. Angela
> >
> > Auf dem Intervall [mm][0,\pi][/mm] sind die Funktionswerte nicht
> > gleich.
>
> Hallo,
>
> sie sind nicht gleich für verschiedene [mm]x_i.[/mm]
>
> Woraus folgt, daß [mm]x_1=x_k[/mm] sein muß für k=1,...,n.
>
> Gleichzeitig muß gelten [mm]x_1+...+x_n-2\pi=0.[/mm]
>
> Also? Jetzt klar?
>
>
>
>
> >
Das hier, war ja nur ein kleines Beispiel aus dem Intervall...
[mm]cos(x_1)\not=cos(x_2)[/mm] wenn [mm]x_1=0[/mm] und [mm]x_2=\pi/2[/mm] ist.
>
> Hm. ich weiß nicht, was Dich umtreibt.
> Was Du schreibst, stimmt natürlich, aber es gibt ja noch
> ein paar andere Zahlen außer 0 und [mm]\pi/2.[/mm]
>
> Irgendwie bist Du auf dem falschen Trip - wenn ich nur
> wüßte, auf welchem...
hier, wie oben nur das die Funktionswerte dort stehen um zu sehen, das dort wirklich an den angegebenen Stellen verschiedene Werte herauskommen.
> > Die Fktwerte wären demnach 1 und 0. Für [mm]x_2=\pi/2[/mm] und
> > [mm]x_3=\pi[/mm] wären diese 0 und -1.
> > Damit gibt es keine [mm]x_1=x_2[/mm] die die gleichen Fktwerte
> > annehmen.
>
> ???
>
> Gruß v. Angela
>
>
Hi,
aber so habe ich doch immer noch nicht mein Maximum berechnet?
Irgendwie finde ich die Aufgabe sehr sehr komisch...
Danke und Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Di 24.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Wir haben: [mm] $cos(x_1) [/mm] = ...= [mm] cos(x_n)$ [/mm] und $0 [mm] \le x_j \le \pi$
[/mm]
Im Intervall [mm] [0,\pi] [/mm] ist der Cosinus injektiv, somit:
[mm] $x_1=x_2= [/mm] .... [mm] =x_n$
[/mm]
Wegen [mm] $x_1+x_2+ ...+x_n= 2\pi$ [/mm] , folgt:
[mm] $x_j [/mm] = [mm] \bruch{2 \pi}{n}$ [/mm] (j = 1,2, ..,n)
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Di 24.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
> Wir haben: [mm]cos(x_1) = ...= cos(x_n)[/mm] und [mm]0 \le x_j \le \pi[/mm]
>
> Im Intervall [mm][0,\pi][/mm] ist der Cosinus injektiv, somit:
>
> [mm]x_1=x_2= .... =x_n[/mm]
>
> Wegen [mm]x_1+x_2+ ...+x_n= 2\pi[/mm] , folgt:
>
> [mm]x_j = \bruch{2 \pi}{n}[/mm] (j = 1,2, ..,n)
>
> FRED
Ok, aber was bringt mir das jetzt im Hinblick auf das Maximum? Das verstehe ich nicht.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 15:34 Di 24.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
> > Wir haben: [mm]cos(x_1) = ...= cos(x_n)[/mm] und [mm]0 \le x_j \le \pi[/mm]
>
> >
> > Im Intervall [mm][0,\pi][/mm] ist der Cosinus injektiv, somit:
> >
> > [mm]x_1=x_2= .... =x_n[/mm]
> >
> > Wegen [mm]x_1+x_2+ ...+x_n= 2\pi[/mm] , folgt:
> >
> > [mm]x_j = \bruch{2 \pi}{n}[/mm] (j = 1,2, ..,n)
> >
> > FRED
>
> Ok, aber was bringt mir das jetzt im Hinblick auf das
> Maximum? Das verstehe ich nicht.
Also hätte ich,
[mm] x_1 [/mm] = [mm] 2\pi/n, x_2 [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] /n usw.
-> cos( [mm] \frac{2\pi}{n} [/mm] ) = cos( [mm] \frac{2\pi}{n} [/mm] )=...=cos( [mm] \frac{2\pi}{n} [/mm] )
Wird n groß, wird ( [mm] \frac{2\pi}{n} [/mm] ) gegen 0 laufen -> cos(0)=1...
Je kleiner der Bruch wird, desto eher läuft der Cosinus gegen 1.
Klingt mir aber nicht wirklich logisch...
Grüße
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> > Wir haben: [mm]cos(x_1) = ...= cos(x_n)[/mm] und [mm]0 \le x_j \le \pi[/mm]
>
> >
> > Im Intervall [mm][0,\pi][/mm] ist der Cosinus injektiv, somit:
> >
> > [mm]x_1=x_2= .... =x_n[/mm]
> >
> > Wegen [mm]x_1+x_2+ ...+x_n= 2\pi[/mm] , folgt:
> >
> > [mm]x_j = \bruch{2 \pi}{n}[/mm] (j = 1,2, ..,n)
> >
> > FRED
>
> Ok, aber was bringt mir das jetzt im Hinblick auf das
> Maximum? Das verstehe ich nicht.
Hallo,
Du hast jetzt komplett den Überblick verloren.
fassen wir also zusammen:
zu optimieren war für (festes) [mm] n\in \IN [/mm] die Funktion
[mm] f(x_1,...,x_n):=sin(x_1)+...+sin(x_n) [/mm] für [mm] x_i\in [0,\pi]
[/mm]
unter der Nebenbedingung [mm] g(x_1,...,x_n)=x_1+...+x_n-2\pi=0.
[/mm]
Dazu hast Du die Lagrangefunktion aufgestellt,
die partiellen Ableitungen gebildet,
das entstandene Gleichungssystem gelöst, und so den Punkt herausgefunden, an welchem ein Extremwert liegen könnte.
Ergebnis bisher: Dein brandheißer Extremwertkandidat ist [mm] (x_1,...,x_n)=(\bruch{2\pi}{n}, [/mm] ..., [mm] \bruch{2\pi}{n}).
[/mm]
Nun müßtest Du eigentlich noch irgendwie darüber sinnieren, ob dieser Punkt ein Min, Max oder sonstwas ist.
(Es ist in der Aufgabe nicht die Rede davon, daß hier ein Grenzwert für [mm] n\to \infty [/mm] o.ä. zu bilden ist, wie Du in Deiner anderen Frage schreibst. Das n ist fest vorgegeben. Du hast das entsprechende Problem jetzt auf einen Schlag für alle Räume [mm] \IR^n [/mm] gelöst.)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Di 24.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
> > > Wir haben: [mm]cos(x_1) = ...= cos(x_n)[/mm] und [mm]0 \le x_j \le \pi[/mm]
>
> >
> > >
> > > Im Intervall [mm][0,\pi][/mm] ist der Cosinus injektiv, somit:
> > >
> > > [mm]x_1=x_2= .... =x_n[/mm]
> > >
> > > Wegen [mm]x_1+x_2+ ...+x_n= 2\pi[/mm] , folgt:
> > >
> > > [mm]x_j = \bruch{2 \pi}{n}[/mm] (j = 1,2, ..,n)
> > >
> > > FRED
> >
> > Ok, aber was bringt mir das jetzt im Hinblick auf das
> > Maximum? Das verstehe ich nicht.
>
> Hallo,
>
> Du hast jetzt komplett den Überblick verloren.
>
> fassen wir also zusammen:
>
> zu optimieren war für (festes) [mm]n\in \IN[/mm] die Funktion
>
> [mm]f(x_1,...,x_n):=sin(x_1)+...+sin(x_n)[/mm] für [mm]x_i\in [0,\pi][/mm]
>
> unter der Nebenbedingung
> [mm]g(x_1,...,x_n)=x_1+...+x_n-2\pi=0.[/mm]
>
> Dazu hast Du die Lagrangefunktion aufgestellt,
>
> die partiellen Ableitungen gebildet,
>
> das entstandene Gleichungssystem gelöst, und so den Punkt
> herausgefunden, an welchem ein Extremwert liegen könnte.
>
> Ergebnis bisher: Dein brandheißer Extremwertkandidat ist
> [mm](x_1,...,x_n)=(\bruch{2\pi}{n},[/mm] ..., [mm]\bruch{2\pi}{n}).[/mm]
>
>
> Nun müßtest Du eigentlich noch irgendwie darüber
> sinnieren, ob dieser Punkt ein Min, Max oder sonstwas ist.
>
> (Es ist in der Aufgabe nicht die Rede davon, daß hier ein
> Grenzwert für [mm]n\to \infty[/mm] o.ä. zu bilden ist, wie Du in
> Deiner anderen Frage schreibst. Das n ist fest vorgegeben.
> Du hast das entsprechende Problem jetzt auf einen Schlag
> für alle Räume [mm]\IR^n[/mm] gelöst.)
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
>
>
>
Ich versteh jetzt hier nicht, wo auf einmal das n herkommt... da in der aufgabe nach einem Max die Rede war, wird es wohl ein solches sein. Aber die Begründung könnte ich jetzt nicht liefern.
Bei einer Normalen Kurvendiskussion, hatte man ja immer die erste Ableitung gebildet, Nullstellen berechnet, in die 2te Abl. eingesetzt und geschaut ob der Wert > oder < 0 ist. Bei > 0 war es ein min bei <0 ein Max. und diesen schritt kann ich leider hier nicht erkennen...
Grüße
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Hallo Bodo,
die Diskussion ist inzwischen so lang, dass ich keine Lust habe, alles das zu lesen.
Deshalb (für mich ganz ohne Kontext) nur ein Hinweis zu Deiner letzten Frage:
> Bei einer Normalen Kurvendiskussion, hatte man ja immer die
> erste Ableitung gebildet, Nullstellen berechnet, in die 2te
> Abl. eingesetzt und geschaut ob der Wert > oder < 0 ist.
> Bei > 0 war es ein min bei <0 ein Max. und diesen schritt
> kann ich leider hier nicht erkennen...
Dazu gibt es auch bei Funktionen mehrerer Veränderlicher eine Regel, in der eine Determinante aller zweiten Ableitungen am betrachteten Punkt vorkommt. Dazu findest Du in der Literatur leicht etwas, wahrscheinlich auch in Eurem Skript. ![[]](/images/popup.gif) Hier und anderswo findest Du ganz anschauliche Erläuterungen für Funktionen von zwei Variablen, sobald es allgemeiner wird, wird es notwendig trockener. Im angegebenen Link musst Du übrigens fast bis Beispiel 11 scrollen, bis endlich die Regel kommt.
lg
reverend
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> > fassen wir also zusammen:
> >
> > zu optimieren war für (festes) [mm]n\in \IN[/mm] die Funktion
> >
> > [mm]f(x_1,...,x_n):=sin(x_1)+...+sin(x_n)[/mm] für [mm]x_i\in [0,\pi][/mm]
>
> >
> > unter der Nebenbedingung
> > [mm]g(x_1,...,x_n)=x_1+...+x_n-2\pi=0.[/mm]
> >
> > Dazu hast Du die Lagrangefunktion aufgestellt,
> >
> > die partiellen Ableitungen gebildet,
> >
> > das entstandene Gleichungssystem gelöst, und so den Punkt
> > herausgefunden, an welchem ein Extremwert liegen könnte.
> >
> > Ergebnis bisher: Dein brandheißer Extremwertkandidat ist
> > [mm](x_1,...,x_n)=(\bruch{2\pi}{n},[/mm] ..., [mm]\bruch{2\pi}{n}).[/mm]
> >
> >
> > Nun müßtest Du eigentlich noch irgendwie darüber
> > sinnieren, ob dieser Punkt ein Min, Max oder sonstwas ist.
> >
> Ich versteh jetzt hier nicht, wo auf einmal das n
> herkommt...
Hallo,
das kommt nicht "auf einmal".
Es war in der Aufgabenstellung von Anfang an da.
Die Lösung des Gleichungssystems ergab [mm] x_k=x_1 [/mm] für alle k=1,...,n.
Und mit der letzten Gleichung des Systems, [mm] x_1+...+x_n-2\pi=0 [/mm] bekommt man [mm] nx_1=2\pi [/mm] und daraus [mm] x_1=\bruch{2\pi}{n}.
[/mm]
Kein Hexenwerk.
> da in der aufgabe nach einem Max die Rede war,
> wird es wohl ein solches sein. Aber die Begründung könnte
> ich jetzt nicht liefern.
Da tue ich mich momentan auch etwas schwer.
> Bei einer Normalen Kurvendiskussion, hatte man ja immer die
> erste Ableitung gebildet, Nullstellen berechnet, in die 2te
> Abl. eingesetzt und geschaut ob der Wert > oder < 0 ist.
> Bei > 0 war es ein min bei <0 ein Max. und diesen schritt
> kann ich leider hier nicht erkennen...
Nein, so weit sind wir auch nicht.
Wir sind - wenn wir das mal ins Eindimensionale übertragen - an der Stelle, an welcher wir die Punkte herausgefunden haben, bei denen die erste Ableitung =0 ist.
Was uns nun fehlt, ist eine gescheite Begründung fürs Maximum oder ein hinreichendes Kriterium - wir hatten hier ja eine Extremwertberechnung mit Nebenbedingung durchgeführt.
Ich kenne mich im [mm] \IR^n [/mm] nicht so gut aus. Da gibt es für "mit NB" auch ein paar Kriterien, aber die sind mir auswendig nicht geläufig.
Die müßte ich ggf. genauso nachschlagen und studieren wie Du.
Aber das Reden über die Parallelen zur "normalen" Kurvendiskussion bringt mich auf eine Idee.
Sicher erinnerst Du Dich noch grob, wie in der Schule Extremwertberechnung von Funktionen mit zwei veränderlichen und nebenbedingung auf eine "normale" Extremwertberechnung mit nur einer Variablen zurückgeführt wurde. (Wenn nicht. Schulbuch, nachlesen.)
Wir können doch bei Deiner Aufgabe [mm]f(x_1,...,x_n):=sin(x_1)+...+sin(x_n)[/mm] für [mm]x_i\in [0,\pi][/mm]
mithilfe der Nebenbedingung
> > [mm][mm] g(x_1,...,x_n)=x_1+...+x_n-2\pi=0
[/mm]
reduzieren auf die Extremwertbestimmung der Funktion [mm]f(x_1,...,x_{n-1}):=sin(x_1)+...+sin(x_{n-1})+sin(2\pi - x_1-x_2-...-x_{n-1})[/mm]
Wir bekommen
[mm] 0=cos(x_1)-cos(2\pi [/mm] - [mm] x_1-x_2-...-x_{n-1})
[/mm]
[mm] 0=cos(x_2)-cos(2\pi [/mm] - [mm] x_1-x_2-...-x_{n-1})
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] 0=cos(x_{n-1})-cos(2\pi [/mm] - [mm] x_1-x_2-...-x_{n-1}),
[/mm]
und hieraus schließlich [mm] x_1=x_k [/mm] für [mm] k=1,...,x_{n-1},
[/mm]
also [mm] cos(x_1)=cos(2\pi-(n-1)x_1)= cos((1-n)x_1)
[/mm]
Auch hier wird man unter Beachtung von [mm] 0\le x_1\le \pi [/mm]
herausbekommen, daß [mm] x_1=\bruch{2\pi}{n}, [/mm] man muß aber etwas schärfer nachdenken als zuvor.
Nun könnte man hier mit der Hessematrix herangehen.
Wenn ich nicht gerade einen Denkfehler habe, klappt das gut.
Du kannst das ja mal versuchen.
Gruß v. Angela
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> aber so habe ich doch immer noch nicht mein Maximum
> berechnet?
>
> Irgendwie finde ich die Aufgabe sehr sehr komisch...
Hallo,
so arg komisch ist die Aufgabe nicht.
Du sollst das Maximum einer Funktion berechnen.
Zu diesem Zwecke ermittelst Du zunächst die kritischen Punkte.
In diesem Prozeß steckst Du mittendrin.
Wenn Du die kritischen Punkte, also die Extremwertkandidaten, hast, dann geht's weiter: dann überlegt man, welche davon Minima und welche Maxima sind.
macht man doch in der Schule auch so - vom Prinzip her.
Gruß v. Angela
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