Minimum unter Nebenbed. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:04 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Takeela |
| Aufgabe | Zeige, dass die differenzierbare Abbildung F: M [mm] \rightarrow \IR, [/mm] x = [mm] (x_{i,j}) \mapsto F(x_{i,j}) [/mm] ein Minimum annimmt, wobei M:={x [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] m, [mm] \IR) [/mm] | x erfüllt die folgeden Bedingung}
Bedingung:
[mm] \summe_{j=1}^{m} x_{i,j}=x_i [/mm] , i={1, ..., n}, mit [mm] x_i \in \IR^{+} [/mm] und [mm] x_{i,j} \in \IR_{0}^{+}. [/mm]
[mm] x:=(x_{i,j})=\pmat{ x_{1,1} & x_{1,2} & ... & x_{1,m} \\ ... & ... & ... & ... \\ x_{n,1} & x_{n,2} & ... & x_{n,m} } [/mm] |
Leider bin ich ein wenig überfragt mit dieser Aufgabe...
Dennoch habe ich mir dazu folgendes Überlegt:
Wenn ich richtig gedacht habe, was wohl zu überprüfen sein müsste, dann gilt folgendes:
M ist eine kompakte Untermannigfaltigkeit... F ist ja stetig, da diffbar -> kompakte Menge M: F nimmt Minimum und Maximum an?
Irgendwie erscheint mir dies jedoch nicht so ganz schlüssig, weswegen ich über jede Art von Anregung sehr dankbar bin!
Vielen herzliche Dank schon jetzt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Sa 20.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Ich find das sehr schlüssig. Ist M kompakt, so bist du fertig. Da du ja ansonsten scheinbar auch nix über F weißt, muss es ja an M liegen.
Nur wie man die kompaktheit zeit ist mir spontang auch nicht ganz klar. Abgeschlossen ist M sicherlich, bräuchte man z.B. noch Beschränktheit.
Gruß, Robert
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Und die Beschränktheit ergibt sich aus [mm]x_{i,j} \in \IR_{0}^{+}[/mm].
Idee: Schauen wir uns einen Zeilenvektor an, dann würde die Nebenbedingung erstmal eine Hyperebene der Dimension (m-1) beschreiben. Mit der Einschränkung auf nicht-negative Werte bleibt aber nur der Teil der Hyperebene, der im "ersten Hyperquadranten" (oder wie nennt man das in höheren Dimensionen?) liegt. Die resultierende Menge ist kompakt. Es gibt nur endlich viele Zeilen, also ist auch das Produkt noch kompakt, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 Sa 20.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Ja das sieht gut aus. Im Beweis muss man dann natürlich [mm] $M(n\times m,\IR)$ [/mm] mit [mm] $\IR^{n\cdot m}$ [/mm] identifizieren.
Nur so nebenbei: Das beliebige (!) Produkt kompakter Räume ist kompakt.
Warum enthält die Aufgabe eigentlich soviele überflüssige Informationen? Oder ist das vielleicht ein Teil irgendeines Beweises?
Gruß, Robert
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:27 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Takeela |
Danke für eure Beteiligung....
Nein, das ist kein Beweis, den wir in der Vorlesung geführt haben, sondern tatsächlich eine Aufgabe...
Leider weiß ich nicht, was eine Hyperebene ist. Kann man die Kompaktheit noch anders beweisen?
In der letzten Zeile der Aufgabenstellung steht noch folgender Satz:
(Mit F(v) wurde das Minimum bezeichnet)
Gilt [mm] v_{i,j} [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] i,j, so ist für alle i [mm] \bruch{\partial F}{\partial x_{i,1}}(v) [/mm] = ... = [mm] \bruch{\partial F}{\partial x_{i,m}}(v).
[/mm]
Hierbei weiß ich nicht, ob das noch zu beweisen ist, oder als Anmerkung hinzugefügt wurde... Das steht, wie gesagt, einfach noch so unter der Aufgabenstellung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 Di 23.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 Mi 24.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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