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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:19 Di 02.09.2008 | | Autor: | Druss |
| Aufgabe | | Mischen sie die Lotterie [mm] L_{3}=[\bruch{1}{4},\bruch{1}{4},\bruch{1}{2}] [/mm] und [mm] L_{4}=[\bruch{1}{2},\bruch{1}{4},\bruch{1}{4}] [/mm] so, das der Akteur zwischen dieser Mischung und der Lotterie [mm] L_{2}=[\bruch{1}{4},\bruch{1}{2},\bruch{1}{4}] [/mm] indifferent ist. |
So meine Frage ist nun folgende.
Generell weiß ich wie man Lotterien mischt aber dort war immer ein [mm] \alpha [/mm] gegeben bzw. ein Verhältnis im welchen ich beide Lotterien mischen soll was hier fehlt.
Ganz allg ist doch die Mischung der beiden Lotterien als [mm] m(\alpha,1-\alpha;L_{3},L_{4}) [/mm] definiert nun habe ich folgendes probiert.
Ich habe versucht [mm] \alpha [/mm] zu ermitteln indem ich den ersten ausdruck nach [mm] \alpha [/mm] hin aufgelößt habe denn ich weiß ja, dass
[mm] \alpha*\bruch{1}{4} [/mm] + [mm] (1-\alpha)*\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
ergeben muss.
Nun bekomme ich nach ein bischen rumformen fuer [mm] \alpha [/mm] = 1 raus was nicht sein kann weil dann der obrige ausdruck nicht passen tät.
Vielen Dank fuer Hilfe,
mfg Felix
/edit bzw der Ausdruck würde schon stimmen jedoch wenn ich die zweite zeile der mischung berechne kommt dies nicht auf [mm] \bruch{1}{2}[/mm]
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Da du hier in einem Mathematik-Forum bist und nicht bei den Wirtschaftswissenschaftlern, vermute ich, daß du nicht so bald eine Antwort bekommen wirst.
Entweder mußt du warten, bis ein Mathematiker antwortet, der sich auch bei den Wirtschaftswissenschaften auskennt, oder du mußt die von dir verwendeten Begriffe und Schreibweisen erklären, damit ein Mathematiker den mathematischen Kern deiner Frage herausschälen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Di 02.09.2008 | | Autor: | Druss |
Danke fuer deinen Hinweis.
Das ganze ist im Prinzip relativ einfach. Sagen wir eine Lotterie besteht aus Warscheinlichkeiten die in Summe 1 ergeben.
Nun kann man z.B. zwei Lotterien mischen. Denke lässt sich am besten an einen Beispiel erklären.
Angenommen ich habe die Lotterie [mm] L_{1}=[\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}] [/mm] sowie die Lotterie [mm] L_{2}=[\bruch{1}{4},\bruch{3}{4}] [/mm] .
Nun so sei eine Mischung der beiden definiert als [mm] m(\alpha,L_{1},L_{2})
[/mm]
wobei [mm] \alpha [/mm] das Verhältnis angibt zu dem beide Lotterien miteinander gemischt werden.
Sei [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] so würde sich die Mischung folgender Maßen berechnen:
[mm] m(\alpha*L_{1}+(1-\alpha)*L_{2})
[/mm]
[mm] m(\bruch{1}{2}*L_{1}+(1-\bruch{1}{2})*L_{2})
[/mm]
[mm] m(\bruch{1}{2}*[\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}] +(1-\bruch{1}{2})*[\bruch{1}{4},\bruch{3}{4}])
[/mm]
multipliziert wird hier komponentenweise:
[mm] m([\bruch{1}{4},\bruch{1}{4}] [/mm] + [mm] [\bruch{1}{8},\bruch{3}{8}])
[/mm]
addieren der beiden Lotterien folgt nach dem selben Prinzip - komponentenweise:
[mm] [\bruch{1}{4}+\bruch{1}{8} [/mm] , [mm] \bruch{1}{4}+\bruch{3}{8}]
[/mm]
[mm] [\bruch{3}{8} [/mm] , [mm] \bruch{5}{8}] [/mm] wäre nun die Mischung der beiden oben genannten Lotterien zu [mm] \alpha [/mm] (dem Mischungsverhältnis) = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Nun soll ich wie schon oben beschrieben zwei Lotterien mischen wo mir zwar das Ergebnix vorgegeben wurde jedoch fehlt mir [mm] \alpha...
[/mm]
Schon viel probiert - komme aber leider nicht drauf...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Di 02.09.2008 | | Autor: | Blech |
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> Nun bekomme ich nach ein bischen rumformen fuer [mm]\alpha[/mm] = 1
> raus was nicht sein kann weil dann der obrige ausdruck
> nicht passen tät.
Es muß aber 1 sein, weil für [mm] $\alpha\neq [/mm] 1$ das Ergebnis automatisch größer als ein Viertel ist.
Außer Du hast (implizite?) Angaben zu payoffs oder Nutzenfunktionen, um zu bestimmen, wann der Akteur denn genau indifferent ist, kann man das hier nicht lösen, weil [mm] $L_2$ [/mm] keine Mischung aus [mm] $L_3$ [/mm] und [mm] $L_4$ [/mm] ist.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Di 02.09.2008 | | Autor: | Druss |
Die Nutzenfkt ist mit [mm] \wurzel{x} [/mm] gegeben.
Raum der Konsequenzen ist C = {9,35,49}.
ansonsten nix weiter.
außer, das ich vorher risikoprämie, sicherheitsäqivalent sowie das arrow-pratt-maß berechnen musste.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Blech |
> Die Nutzenfkt ist mit [mm]\wurzel{x}[/mm] gegeben.
> Raum der Konsequenzen ist C = {9,35,49}.
Und wann ist der Investor indifferent? Bei gleichem Erwartungsnutzen?
Dann mußt Du eben den Erwartungsnutzen für [mm] $L_2$ [/mm] und für [mm] $\alpha L_3+(1-\alpha)L_4$ [/mm] berechnen.
[mm] $E(u(L))=p_1 \sqrt{9} [/mm] + [mm] p_2 \sqrt{35} [/mm] + [mm] p_3 \sqrt{49}$
[/mm]
(35 oder 36?)
> außer, das ich vorher risikoprämie, sicherheitsäqivalent
> sowie das arrow-pratt-maß berechnen musste.
Ich sehe nicht, warum das zur Lösung der Aufgabe notwendig sein sollte. =)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Druss |
Ähnlich hat auch mein Prof argumentiert ;)
Hab ihm gestern noch eine e-mail zukommen lassen und er schieb:
Sei [mm] L_m [/mm] die zusammengesetzte Lotterie, die mit Wsk 1/2 die Lotterie [mm] L_3 [/mm] und mit Wsk 1/2 die Lotterie [mm] L_4 [/mm] liefert. Dann gilt
[mm] U(L_m) [/mm] = [mm] U(L_2) [/mm] (= [mm] U(L_1)) [/mm] = 5.
den:
Nutzen der Lotterie 1 ist gerade 5 ebenso hat Lotterie 2 den Nutzen 5.
Lotterie 3 hat einen Nutzen von:
$ [mm] E(u(L_{3}))= \bruch{1}{4}\sqrt{9} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} \sqrt{25} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \sqrt{49} [/mm] $ = 5.5
Der Nutzen von [mm] L_{4} [/mm] errechnet sich analog.
Das die Mischung aus [mm] L_{3} [/mm] und [mm] L_{4} [/mm] einen erw. Nutzen haben muss der gleich dem erw. nutzen der [mm] L_{2} [/mm] ist war mir klar jedoch versteh ich nicht ganz was er mit den wsk von [mm] \bruch{1}{2} [/mm] meint denn wenn ich mmit dieser wsk wie oben schon getan die Mischung berechne komme ich 1. nicht auf eine Lotterie die der von [mm] L_{1} [/mm] ähnelt noch einen erw. Nutzen von 5 hat..
mfg Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:55 Do 04.09.2008 | | Autor: | Blech |
> Das die Mischung aus [mm]L_{3}[/mm] und [mm]L_{4}[/mm] einen erw. Nutzen
> haben muss der gleich dem erw. nutzen der [mm]L_{2}[/mm] ist war mir
> klar jedoch versteh ich nicht ganz was er mit den wsk von
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] meint denn wenn ich mmit dieser wsk wie oben
> schon getan die Mischung berechne komme ich 1. nicht auf
> eine Lotterie die der von [mm]L_{1}[/mm] ähnelt noch einen erw.
> Nutzen von 5 hat..
Von [mm] L_1 [/mm] war bisher noch keine Rede?!
Und was Du oben versucht hast zu berechnen, ist eine gemischte Lotterie, die für alle 3 möglichen Ausgänge die gleichen Wkeiten hat wie [mm] $L_2$. [/mm]
Was Du berechnen sollst, ist eine, die den gleichen Erwartungsnutzen hat. Die einzelnen Wkeiten können sich unterscheiden(*):
[mm] $E(u(L_2))=\frac{1}{4}*\sqrt{9}+\frac{1}{2}*\sqrt{25}+\frac{1}{4}*\sqrt{49}=$
[/mm]
[mm] $=E(u(m(\alpha,1-\alpha;L_{3},L_{4})))=\left(\alpha\frac{1}{4}+(1-\alpha)\frac{1}{2}\right)\sqrt{9}+\left(\alpha\frac{1}{4}+(1-\alpha)\frac{1}{4}\right)\sqrt{25}+\left(\alpha\frac{1}{2}+(1-\alpha)\frac{1}{4}\right)\sqrt{49}$
[/mm]
ciao
Stefan
EDIT: (*): Nur um das nochmal klarzumachen. Der Erwartungswert ist eine Glättung. Das heißt, daß verschiedene Lotterien den gleichen Erwartungswert haben können (und auch verschiedene Nutzenfunktionen von Lotterien können den gleichen Erwartungswert haben). Dein Prof hat ja als Beispiel schon gegeben, daß [mm] $L_1$ [/mm] und [mm] $L_2$ [/mm] den gleichen Erwartungsnutzen haben, obwohl sie verschieden sind (Du hast [mm] $L_1$ [/mm] zwar nie gepostet, aber davon geh ich einfach mal aus =). Damit macht es für Konsumenten mit der Nutzenfunktion keinen Unterschied welche der beiden Lotterien sie spielen, obwohl sie nicht identisch sind. Für Konsumenten mit einer anderen Nutzenfunktion könnte aber sehr wohl ein Unterschied beim Erwartungsnutzen der beiden Lotterien bestehen, dafür wären sie bei anderen Lotterien indifferent.
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