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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 So 07.02.2010 | | Autor: | virgo |
| Aufgabe | Gegeben sind n Fahnenmasten, die in einer Reihe stehen, sowie r Flaggen. Es können pro
Mast beliebig viele oder keine Flaggen gehisst werden. Es soll keine Flagge übrig bleiben, d.h.
jede wird gehisst.
a) Auf wie viele verschiedene Arten können die r Flaggen (alle mit unterschiedlichen Farben)
gehisst werden? Dabei soll die relative Position der Flaggen zueinander (d.h. die Reihenfolge
in der sie am jeweiligen Mast hängen) nicht berücksichtigt werden.
b) Was ergibt sich in Aufgabenteil a), wenn alle Flaggen rot sind. |
Die Lösungen, die unser Übungsleiter uns gegeben hat sind:
a) [mm] n^r: [/mm] Was ich nicht verstehen, denn [mm] n^k [/mm] steht für "mit Berücksichtigung der Reihefolge" und in der Aufgabestellung steht, dass man die Reihefolge nicht berücksichtigt werden soll.
b) [mm] \vektor{n + r - 1 \\ r} [/mm] Hier verstehe ich auch nicht.
Kann mir bitte jemand helfen??? Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 So 07.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> a) [mm]n^r:[/mm] Was ich nicht verstehen, denn [mm]n^k[/mm] steht für "mit
> Berücksichtigung der Reihefolge" und in der
> Aufgabestellung steht, dass man die Reihefolge nicht
> berücksichtigt werden soll.
Zunächst einmal: Warum ist überhaupt eine der vier kombinatorischen Grundformeln anwendbar? (Ich kenne die Begrifflichkeiten aus deiner Vorlesung jetzt nicht, aber hoffe, dass es trotzdem verständlich ist.) Am besten nummerieren wir uns die Flaggen von 1,...,r und die Fahnenmasten von 1,...,n durch. Die Arten, die Flaggen zu hissen, können wir identifizieren mit Proben/Auswahlen/Zusammenstellungen von r der n Fahnenmasten: Der erste Fahnenmast einer Probe gibt an, wo die erste Flagge gehisst wird, ..., der r-te Fahnenmast der Probe gibt an, wo die r-te Flagge gehisst wird.
Beispiel (r=3, n=2): Fahnenmast 2, Fahnenmast 1, Fahnenmast 2
Das steht dafür, dass die erste Flagge auf Fahnenmast 2, die zweite Flagge auf Fahnenmast 1 und die dritte Flagge auf Fahnenmast 2 gehisst wird.
Wiederholungen sind zugelassen (z.B. in der von mir als Beispiel angegebenen Probe/Zusammenstellung/Auswahl taucht Fahnenmast 2 mehrfach auf).
Wird nun zwischen verschiedenen Reihenfolgen unterschieden? Stehen also z.B. Fahnenmast 1, Fahnenmast 1, Fahnenmast 2 auf der einen und Fahnenmast 2, Fahnenmast 1, Fahnenmast 1 auf der anderen Seite für verschiedene Arten zu hissen? Ja, denn im ersten Fall landet die dritte Flagge auf Fahnenmast 2, im letzteren Fall die erste Flagge. Also sind in der Tat verschiedene Reihenfolgen innerhalb der Proben/Auswahlen/Zusammenstellungen aus unserem kombinatorischen Modell zu unterscheiden.
Lediglich auf den einzelnen Fahnen wird nicht zwischen verschiedenen Reihenfolgen unterschieden. So eine Probe/Auswahl/Zusammenstellung wie Fahnenmast 1, Fahnenmast 1, Fahnenmast 2 sagt ja auch nur aus, welche der Flaggen wir auf welchen Mast hängen und gibt keine Reihenfolge an, in der die Flaggen, die auf dem gleichen Mast gehisst werden, angeordnet werden.
Quintessenz: Bei Kombinatorikaufgaben zu den vier kombinatorischen Grundformeln sollte man immer verstehen, warum sie überhaupt anwendbar sind. Ein bloßes Schauen auf Schlagworte (steht da in der Aufgabenstellung etwas von mit/ohne Reihenfolge?) kann in die Irre führen.
> b) [mm]\vektor{n + r - 1 \\ r}[/mm] Hier verstehe ich auch nicht.
Kommst du damit jetzt allein zurecht?
Viele Grüße
Tobias
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