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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:37 Mo 21.04.2014 | | Autor: | Ingrid4 |
Hallo,
in einigen Woche halte ich einen Vortrag zu Konvexität und Ungleichungen. Bei der Mittelungleichung ist mir nun eine Frage aufgekommen. Es ist ja so, dass eine Gleichheit vom gewichteten geometrischen Mittel und gewichteten arithmetischen Mittel nur dann gilt, wenn alle x gleich sind. Was ist jedoch, wenn das gewichtete geometrischen Mittel gleich dem gewichteten arithmetischen Mittel ist? Sind dann alle x gleich?
Viele Grüße
Ingrid4
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Mo 21.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
kannst du bitte sagen, was ein gewichtetes geometrisches mittel ist? ich kenne das nur für arihtmetische. und warum sind die dann gleich? (ohne Gewicht klar, da gilt auch die Umkehrung.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Mo 21.04.2014 | | Autor: | Ingrid4 |
Einmal noch zur Ergänzung zu meinem vorigen Beitrag:
Seien [mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] beliebige positive Zahlen und [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{n} [/mm] positive Zahlen mit [mm] \lambda_{1}+...+\lambda_{n} [/mm] = 1. Dann gilt:
[mm] x_{1}^{\lambda_{1}} \* \ldots \* x_{n}^{\lambda_{n}} \leq \lambda_{1}x_{1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \lambda_{n}x_{n}
[/mm]
Insbesondere gilt aber auch:
[mm] \wurzel[n]{x_{1}\*...\*x_{n}} \leq \bruch{x_{1}+...+x_{n}}{n}.
[/mm]
Naja, so viel ich weiß kommt ein gewichtetes geometrisches Mittel dann zum Einsatz, wenn man mehrere geometrische Mittel miteinander kombinieren muss/soll. Dann wird in der Regel unterschiedlichen zwischen den beiden geometrischen Mitteln gewichtet.
Warum Gleichheit gegeben ist, wenn alle [mm] x_{i} [/mm] gleich sind, ist ja oben ersichtlich. Nur weiter komme ich dann nicht mehr, also ob die Rückrichtung auch gilt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Di 22.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
für die Rückrichtung würde ich einen Widerspruchsbeweis versuchen. nimm an [mm] x__i=r_i*x_1
[/mm]
mit mindestens einem [mm] r_i\not=1 [/mm] .
evt reicht es auch schon das für nur 2 x zu zeigen.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Fr 25.04.2014 | | Autor: | Ingrid4 |
Hallo,
zunächst möchte ich mich bei dir für diesen Tipp bedanken, jedoch kann ich damit nicht wirklich viel anfange.
Ich habe eigentlich auch mehr daran gedacht, dass man das logisch argumentieren kann, ob alle [mm] x_{i} [/mm] gleich sind, wenn gewichtetes geom. Mittel = gewichtetes arith. Mittel. Bei meinem Vortrag wollte ich hier nämlich nicht noch zusätzlich einen Beweis ansetzen, da dies meinen Rahmen sprengen würde.
Kann mir also vielleicht jemand bei einem logischen Gedankengang (evtl. mit Beispiel) helfen?
Danke und viele Grüße,
Ingrid4
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Fr 25.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
i.A. nennt man in Mathematik eine "logische Argumentation" Beweis. was verstehst du denn unter logischer Argumentation?
du hast
[mm] \produkt_{i=1}^{n}x_i^{\lambda_i } \le \summe_{i=1}^{n}˜lambda_i*x_i
[/mm]
du kannst mit b erweitern, d,h, die x si skallieren dass [mm] \summe_{i=1}^{n}˜ b*lambda_i*x_i=1
[/mm]
dann zeigst du dass max ( [mm] \produkt_{i=1}^{n}x_i^{\lambda_i } [/mm] )unter der Nebenbedungung
[mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_i*x_1=1 [/mm] nur für alle [mm] x_1 [/mm] gleich angenommen wird.
Beispiel wäre mit nur n=2, das kannst du direkt vorführen.
da rechnest du das schnell durch.
Ergänzung: üblicherweise beweist man die Mittelungleichung so, dann wär das ja nichts Neues. hast du denn einen Beweis der allg. Mittelungleichung, wie ie oben steht? und wenn ja, wie geht der?
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:02 Mi 30.04.2014 | | Autor: | Ingrid4 |
Hallo,
entschuldige, dass ich so spät erst reagiere, aber ich bin zeitlich noch nicht dazu gekommen.
Den Beweis erfolgt mit Hilfe des Logarithmus´:
Der natürliche Logarithmus ist konkav, da (ln x)'' < 0. Nun gilt nach der Ungleichung von Jensen mit [mm] $\lambda$_{i} [/mm] positiv und [mm] $\sum\limits_{i=1}^{n}$$\lambda$_{i}$ [/mm] = 1: [mm] \\
[/mm]
ln [mm] ($\lambda$_{1}x_{1}+ [/mm] ... [mm] +$\lambda$_{n}x_{n}) $\geq$ $\lambda$_{1}ln(x_{1})+ [/mm] ... [mm] +$\lambda$_{n}ln(x_{n}) \\
[/mm]
Nun wendet man die Exponentialfunktion an und erhält: [mm] \\
[/mm]
[mm] e^{ln(\lambda_{1}x_{1} + ... + \lambda_{n}x_{n})} $\geq$ e^{\lambda_{1}ln(x_{1}) + ... + \lambda_{n}ln(x_{n})} \\
[/mm]
Betrachten wir zunächst die rechte Seite der Ungleichung. Nach den Rechenregeln des Logarithmus gilt [mm] a$\cdot$ln(b) [/mm] = [mm] ln(b^{a}). [/mm] Hier bedeutet dies also: [mm] \\
[/mm]
[mm] e^{ln(x_{1}^{\lambda_{1}}) + ... + ln(x_{n}^{\lambda_{n}})} \\
[/mm]
Weiter gilt mit der Rechenregel [mm] e^{a+b}= e^{a}$\cdot$e^{b}. [/mm] Also: [mm] \\
[/mm]
[mm] e^{ln(x_{1}^{\lambda_{1}})} $\cdot$ [/mm] ... [mm] $\cdot$ e^{ln(x_{n}^{\lambda_{n}})} \\
[/mm]
Nun lösen sich der Logarithmus und die Exponentialfunktion auf, sodass lediglich Folgendes übrig bleibt: [mm] \\
[/mm]
[mm] x_{1}^{\lambda_{1}} $\cdot$ [/mm] ... [mm] $\cdot$ x_{n}^{\lambda{n}}. \\
[/mm]
In der linke Seite der Ungleichung lösen sich auch wie im letzen Schritt der rechten Seite der Ungleichung der Logarithmus und die Exponentialfunktion auf, sodass Folgendes übrig bleibt: [mm] \\
[/mm]
[mm] $\lambda$_{1}x_{1} [/mm] + ... + [mm] $\lambda$_{n}x_{n}. \\
[/mm]
Also gilt zusammenfassend: [mm] \\
[/mm]
[mm] $\lambda$_{1}x_{1} [/mm] + ... + [mm] $\lambda$_{n}x_{n} $\geq$ x_{1}^{\lambda_{1}} $\cdot$ [/mm] ... [mm] $\cdot$ x_{n}^{\lambda{n}}. \\
[/mm]
Damit ist die Ungleichung [mm] gezeigt.\\ [/mm] Aus der Ungleichung wird eine Gleichheit, wenn [mm] x_{1} [/mm] = ... = [mm] x_{n}. [/mm] Dies kann man aus der strengen Konkavität von ln [mm] schlie$\ss$en.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 Mi 30.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
dann zeige auf die Weise, dass die Gleichheit für n=2 gilt. Dann Induktion, mit [mm] \lambda_{n+1}=1-\summe_{i=1}^{n}\lambda_i [/mm] dividier durch die Summe, dann kannst du die ersten n wieder zu einem "Mittelwert" zusammenfassen .
Gruss leduart
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