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| Aufgabe | Die Funktion u ist harmonisch auf [mm]B_1 (0) \subset \mathbb{R}^2[/mm], stetig auf [mm] \bar {B_1 (0)} [/mm] und erfüllt
[mm] u(cos t, sin t) = |cos (t) | [/mm] für [mm] 0\leq t\leq 2\pi
[/mm]
Berechnen sie u(0,0) |
Hallo,
ich habe (voraussichtlich) nur eine kurze Frage.
Ich habe obige Aufgabe und würde die gerne mit den Mittelwerteigenschaften lösen. Jetzt bin ich mir allerdings nicht sicher, welche der beiden ich nehmen soll.
Vllt. poste ich besser kurz, was ich meine:
Erste Mittelwerteigenschaft
[mm]u(x_0) = \frac {1}{2\pi r}\int_{||y-x_0||=r} u(y) d\sigma_y [/mm]
Zweite Mittelwerteigenschaft:
[mm]u(x_0) = \frac {1}{\pi r^2}\int_{||y-x_0||\leq r} u(y) dy [/mm]
Zwecks leichten Lücken, was Ana2/3 angeht gehe ich zwar davon aus, dass mein Ergebnis falsch ist, aber ich käme dabei auf ein Ergebnis von [mm] \frac {4}{\pi}.
[/mm]
Von daher wäre meine Frage, ob a) mein Ansatz überhaupt stimmt, und wie ich es, b) wenn es denn falsch ist richtig mache.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:34 Do 11.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Die Funktion u ist harmonisch auf [mm]B_1 (0) \subset \mathbb{R}^2[/mm],
> stetig auf [mm]\bar {B_1 (0)}[/mm] und erfüllt
> [mm]u(cos t, sin t) = |cos (t) |[/mm] für [mm]0\leq t\leq 2\pi[/mm]
>
> Berechnen sie u(0,0)
> Hallo,
>
> ich habe (voraussichtlich) nur eine kurze Frage.
> Ich habe obige Aufgabe und würde die gerne mit den
> Mittelwerteigenschaften lösen. Jetzt bin ich mir
> allerdings nicht sicher, welche der beiden ich nehmen
> soll.
> Vllt. poste ich besser kurz, was ich meine:
>
> Erste Mittelwerteigenschaft
> [mm]u(x_0) = \frac {1}{2\pi r}\int_{||y-x_0||=r} u(y) d\sigma_y[/mm]
>
> Zweite Mittelwerteigenschaft:
> [mm]u(x_0) = \frac {1}{\pi r^2}\int_{||y-x_0||\leq r} u(y) dy[/mm]
>
> Zwecks leichten Lücken, was Ana2/3 angeht gehe ich zwar
> davon aus, dass mein Ergebnis falsch ist, aber ich käme
> dabei auf ein Ergebnis von [mm]\frac {4}{\pi}.[/mm]
Wo sind Deine Rechnungen ???
>
> Von daher wäre meine Frage, ob a) mein Ansatz überhaupt
> stimmt, und wie ich es, b) wenn es denn falsch ist richtig
> mache.
Mit der ersten Mittelwerteigenschaft ist
[mm] u(0,0)=\bruch{1}{2 \pi}\integral_{0}^{2 \pi}{|cos(t)| dt}=\bruch{4}{2 \pi}\integral_{0}^{\pi/2}{cos(t) dt}=\bruch{2}{\pi}
[/mm]
FRED
>
> Liebe Grüße
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Hallo Fred,
danke für deine Antwort. Ich hab gemerkt ich war mir mit der Formel etwas unsicher, von daher nur kurz noch die Frage, wofür steht in der ersten Mittelwerteigenschaft das [mm] \sigma_y [/mm] ? Irgendetwas zum nachlesen würde mir schon reichen.
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 Do 11.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
> danke für deine Antwort. Ich hab gemerkt ich war mir mit
> der Formel etwas unsicher, von daher nur kurz noch die
> Frage, wofür steht in der ersten Mittelwerteigenschaft das
> [mm]\sigma_y[/mm] ?
Jeder hat seine private Beteichnungsweise ....
Ist [mm] $\gamma:[a,b] \to \IR^n$ [/mm] eine stückweise stetig differenzierbare Kurve und ist [mm] $f:\gamma [/mm] ([a,b]) [mm] \to \IR$ [/mm] stetig, so ist
[mm] \integral_{\gamma}^{}{f(y) d \sigma_y}:=\integral_{a}^{b}{f(\gamma(t))*||\gamma'(t)|| dt}
[/mm]
Für [mm] \integral_{\gamma}^{}{f(y) d \sigma_y} [/mm] schreibt man auch
[mm] \integral_{\gamma}^{}{f(y) d \sigma} [/mm] oder [mm] \integral_{\gamma}^{}{f(y) d \sigma(y)} [/mm] oder [mm] \integral_{\gamma}^{}{f(y) ds} [/mm] oder ......
Es herrscht eine babylonische Schreibverwirrung.
FRED
> Irgendetwas zum nachlesen würde mir schon
> reichen.
>
> Liebe Grüsse
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