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Mittelwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:41 Sa 14.06.2014
Autor: fuoor

Aufgabe
Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe des Mittelwertsatzes:

a) Für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt [mm] e^{x} \ge [/mm] 1+x

Für x=0 ist die Ungleichung erfüllt. Das lasse ich mal ohne das Aufschreiben der Rechnung so stehen. Denke das ist auch klar.

Für den Wertebereich x>0 ist mir auch noch relativ klar was ich mache.

[mm] f'(x_{0})=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a} [/mm]

Für b sage ich x>0 und a=0. Daraaus folgt:

[mm] f'(x_{0})=\bruch{e^{x}-1}{x-0}=\bruch{e^{x}-1}{x}=e^{x_{0}}. [/mm]

Weil [mm] x_{0} [/mm] zwischen 0 und x liegt gilt [mm] x_{0} \ge [/mm] 0. Daher ist [mm] e^{x_{0}} \ge [/mm] 1

Also ist

[mm] e^{x_{0}}=\bruch{e^{x}-1}{x} \ge [/mm] 1 [mm] \gdw e^{x}-1 \ge [/mm] x.

Wodurch wiederum [mm] e^{x} \ge [/mm] x+1 ist und somit die Ungleichung für x>0 bewiesen.

Muss das ganze nun tatsächlich auch noch für x<0 durchgeführt werden oder reicht es aus alles so nachzuweisen?



        
Bezug
Mittelwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Sa 14.06.2014
Autor: fred97


> Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe des
> Mittelwertsatzes:
>  
> a) Für alle x [mm]\in \IR[/mm] gilt [mm]e^{x} \ge[/mm] 1+x
>  Für x=0 ist die Ungleichung erfüllt. Das lasse ich mal
> ohne das Aufschreiben der Rechnung so stehen. Denke das ist
> auch klar.
>
> Für den Wertebereich x>0 ist mir auch noch relativ klar
> was ich mache.
>
> [mm]f'(x_{0})=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}[/mm]
>  
> Für b sage ich x>0 und a=0. Daraaus folgt:
>  
> [mm]f'(x_{0})=\bruch{e^{x}-1}{x-0}=\bruch{e^{x}-1}{x}=e^{x_{0}}.[/mm]
>  
> Weil [mm]x_{0}[/mm] zwischen 0 und x liegt gilt [mm]x_{0} \ge[/mm] 0. Daher
> ist [mm]e^{x_{0}} \ge[/mm] 1
>  
> Also ist
>
> [mm]e^{x_{0}}=\bruch{e^{x}-1}{x} \ge[/mm] 1 [mm]\gdw e^{x}-1 \ge[/mm] x.
>  
> Wodurch wiederum [mm]e^{x} \ge[/mm] x+1 ist und somit die
> Ungleichung für x>0 bewiesen.
>
> Muss das ganze nun tatsächlich auch noch für x<0
> durchgeführt werden


Natürlich !

FRED


> oder reicht es aus alles so
> nachzuweisen?
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Mittelwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:03 Sa 14.06.2014
Autor: fuoor

[mm] f´(x_{0})=\bruch{e^{-x}-1}{-x-0}=-(\bruch{\bruch{1}{e^{x}}-1}{x})\le1 \gdw -(\bruch{1}{e^{x}}-1) \le [/mm] x [mm] \gdw -e^{-x} \le [/mm] x-1 [mm] \gdw e^{-x} \le [/mm] x+1

Wäre das so korrekt?

Bezug
                        
Bezug
Mittelwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 Sa 14.06.2014
Autor: leduart

Hallo
Nein.
für x<0 ist doch [mm] e^x [/mm] nicht [mm] e^{-x} [/mm] oder meinst du [mm] e^{-|x|} [/mm]
es gilt sicher nicht [mm] e^{-x} Gruß leduart

Bezug
                                
Bezug
Mittelwertsatz: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:32 Sa 14.06.2014
Autor: fuoor

Ich meine [mm] e^{-|x|}. [/mm] Ändert das etwas? :)

Bezug
                                        
Bezug
Mittelwertsatz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:20 So 15.06.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                        
Bezug
Mittelwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:22 So 15.06.2014
Autor: fuoor

Push! :)

Bezug
                                                
Bezug
Mittelwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:45 So 15.06.2014
Autor: Sax

Hi,

du brauchst doch in deinem ursprünglichen Beweis nur zu berücksichtigen, dass jetzt $ [mm] e^{x_0}\le [/mm] 1 $ gilt und dass sich bei Multiplikation einer Ungleichung mit negativen Zahlen das Ungleichheitszeichen umkehrt.

Gruß Sax.

Bezug
                                                        
Bezug
Mittelwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 So 15.06.2014
Autor: fuoor

Ich verstehe noch nicht so genau wo ich im Ansatz da dann *(-1) unterbringe. Ich sage, dass [mm] x_{0} \le [/mm] 0 ist ... also irgendwo zwischen -|x| und 0 liegt. Ich bleibe dann beim ursprünglichen Beweis und sage

[mm] f´(x_{0})=\bruch{e^{x}-e^{0}}{x-0}=\bruch{e^{x}-1}{x}=e^{x_{0}} [/mm]

Ich folgere dann, dass [mm] x_{0} [/mm] zwischen -|x| und 0 liegt, also eine negative reelle Zahl oder 0 ist und entsprechend [mm] e^{x_{0}} \le [/mm] 1 ist. Wie bringe ich das dann in den Ansatz? Ich habe da irgendwie Bretter vor dem Kopf...

Für mich wäre es dann

[mm] e^{x_{0}}=\bruch{e^{x}-1}{-|x|} \le [/mm] 1 [mm] \gdw e^{x}-1 \ge [/mm] -|x| [mm] \gdw e^{x} \ge [/mm] -|x|+1

Sieht aber komisch aus und fühlt sich falsch an....

Wo liegt mein Fehler?

Bezug
                                                                
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Mittelwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:53 So 15.06.2014
Autor: leduart

Hallo
lass einfach die Beträge weg! und rechne mit x<0 [mm] e^x<1 [/mm]
aber deine Gleichung ist doch sehr komisch, zumindest wenn du nicht sagst, wo [mm] x_0 [/mm] liegt bzw wie  der MWS verwendet wird
[mm] f'(x_{0})=\bruch{e^{x}-e^{0}}{x-0}=\bruch{e^{x}-1}{x}=e^{x_{0}} [/mm]
Gruss leduart

Bezug
                                                                        
Bezug
Mittelwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:46 So 15.06.2014
Autor: fuoor

Nunja ... [mm] x_{0} [/mm] muss zwischen 0 und 1 liegen da die e Funktion immer positiv ist. Also ist [mm] x_{0} \le [/mm] 1. Und daraus folgt

$ [mm] f'(x_{0})=\bruch{e^{x}-e^{0}}{x-0}=\bruch{e^{x}-1}{x}=e^{x_{0}} [/mm] $ [mm] \le [/mm] 1

Nur wie bekomme ich da dann das Ungleichheitszeichen gedreht?

Ich stehe irgendwie hammermäßig auf dem Schlauch ... sorry :/

Bezug
                                                                                
Bezug
Mittelwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:16 So 15.06.2014
Autor: leduart

Hallo
du multiplizierst mit x<1, solltest aber den MWS genauer zitieren, gilt das für festes [mm] x_0 [/mm] für jedes x oder für festes x für jedes [mm] x_o? [/mm]
Gruss leduart

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