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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Mo 22.01.2007 | | Autor: | Blueevan |
| Aufgabe | Benutzen Sie den Mittelwertsatz für das Berechnen von
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] x² ( arcsin ( [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ) - arcsin ( [mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] ) ) |
Hallo ihr lieben!
Habe mal wieder ein Problem mit einer Aufgabe. Hier scheiter ich leider schon an der Aufgabenstellung. Was hat das denn mit dem Mittelwertsatz zu tun?
Lieben Gruß und danke schonmal im Vorraus!
Blueevan
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Das liegt doch hier nahe: Nach dem Mittelwertsatz existiert zu jedem [mm]x>0[/mm] ein von [mm]x[/mm] abhängiges [mm]\xi \in \left[ \frac{1}{x+1} \, , \, \frac{1}{x} \right][/mm] mit
[mm]\arcsin{\frac{1}{x}} - \arcsin{\frac{1}{x+1}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \xi^2}} \cdot \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right)[/mm]
Und jetzt multipliziere das mit [mm]x^2[/mm] und beachte [mm]\xi \to 0[/mm] für [mm]x \to \infty[/mm] (siehe das Intervall, dem [mm]\xi[/mm] entstammt).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Mo 22.01.2007 | | Autor: | Blueevan |
Hallo!
Dank dir für die schnelle Antwort. Anscheinend habe ich die Definition des Mittelwertsatzes noch nicht ganz verstanden... :(
Wie kommst du auf [mm] \xi \in [\bruch{1}{x+1}, \bruch{1}{x}]?
[/mm]
Und wie genau kann ich das benutzen um meinen Grenzwert zu bekommen?
Lieben Gruß und danke für die Geduld ;)
Blueevan
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[mm]\frac{f(u) - f(v)}{u - v} = f'(\xi)[/mm] mit einem [mm]\xi[/mm] zwischen [mm]u[/mm] und [mm]v[/mm]
[mm]f = \arcsin[/mm]
[mm]u = \frac{1}{x}[/mm]
[mm]v = \frac{1}{x+1}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:27 Di 23.01.2007 | | Autor: | Blueevan |
Danke Leopold!
Da stand ich wohl ziemlich auf der Leitung :D
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