Mittelwertsatz < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Mi 17.03.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, daß folgende Ungleichung für alle x > 0 gilt:
[mm] \wurzel{1+x}<1+\bruch{x}{2} [/mm] |
Hallo,
ich weiß leider überhaupt nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen soll, weil ich nicht mal die Definition vom Mittelwertsatz verstehe. Kann mir das mal jemand erklären und mir ein Tipp geben wie ich anfangen kann?
Ich bedanke mich im voraus.
Lg Melisa
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Hi Melisa,
der Mittelwertsatz lautet:
Sei $ a < b $, $\ f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] $ stetig, in $\ ]a,b[ $ differenzierbar. Dann existiert ein $\ [mm] \xi \in [/mm] ]a,b[ $ so, dass
$\ [mm] \frac{f(b)-f(a)}{b-a} [/mm] = [mm] f'(\xi) [/mm] $ bzw. $\ f(b)-f(a) = [mm] f'(\xi)(b-a) [/mm] $ (MWS)
Für $\ x > 0 $ soll gelten
$ [mm] \wurzel{1+x}<1+\bruch{x}{2} [/mm] $
Setze $\ a = 0, \ b = x $ und $\ f(x) = [mm] \wurzel{1+x} [/mm] $
Nach dem Mittelwertsatz gilt dann für das Intervall $\ [0,x] $:
$\ [mm] \underbrace{\frac{f(x)-f(0)}{x}}_{(MWS)} [/mm] = [mm] \frac{\wurzel{1+x}-1}{x} [/mm] = [mm] \underbrace{\frac{1}{2\wurzel{1+\xi}}}_{f'(\xi)}$ [/mm]
$\ [mm] \gdw \wurzel{1+x}-1 [/mm] = [mm] \frac{x}{2\wurzel{1+\xi}}$
[/mm]
$\ [mm] \gdw \wurzel{1+x} [/mm] = [mm] \frac{x}{2\wurzel{1+\xi}}+1 [/mm] < [mm] \frac{x}{2}+1$ [/mm] $\ [mm] \Box [/mm] $
Der Mittelwertsatz sagt geometrisch, dass die Steigung der Sekante durch die Punkte $\ (a / f(a) ) $ und $\ (b / f(b) $ gleich der Tangente am Graphen von $\ f $ an einer gewissen Stelle $\ [mm] \xi [/mm] $ im Intervall $\ [a,b] $ entspricht.
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz_der_Differentialrechnung
Die nennen halt $\ [mm] \xi [/mm] = [mm] x_0 [/mm] $.
Ich hoffe das hat dir geholfen.
Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 Mi 17.03.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hi,
danke hat mich echt weiter gebracht :)
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