Modell für Wahrschein. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In einem Dorf werden zufällig 6 % der erwachsenen Einwohner für die Auszählung
von Wahlzetteln gerufen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur ¼ davon
Frauen sind?
(Wir gehen davon aus, dass im Dorf 50 % der erwachsenen Einwohner Frauen sind) |
Diese Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten da ich nicht sicher bin wie ich an die Aufgabe rangehen soll, da ja nicht gefragt wie wie Wahrscheinlich es ist das x Frauen gerufen werden sondern halt 1/4.
Und die 6% der Bevölkerung sollten eigentlich keine Rolle spielen meiner Meinung nach oder liege ich hier falsch?
Hat jemand vielleicht einen Denkansatz für mich. Alle Modelle/Verteilungen die ich bisher durchdacht habe scheitern immer an der nicht vorhandenen absoluten Menge.
Vielen Dank
Marc
P.S. Habe diese Frage nur in diesem Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Mi 26.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Alle Modelle/Verteilungen die ich bisher durchdacht habe
> scheitern immer an der nicht vorhandenen absoluten Menge.
Dann formuliere die Aufgabe doch entsprechend um:
"In einem Dorf werden zufällig 60 erwachsene Einwohner für die Auszählung von Wahlzetteln gerufen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur 15 davon Frauen sind?
(Wir gehen davon aus, dass im Dorf 1000 Erwachsene leben und davon 500 Frauen sind)"
Ein Problem sehe ich in der Formulierung "nur 15..." bzw. im Originaltext "nur [mm] \bruch{1}{4}".
[/mm]
Ich nehme an, dass damit gemeint ist "höchstens 15" bzw. "höchstens [mm] \bruch{1}{4}".
[/mm]
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Ok so formuliert würde ich zunächstmal sagen die Wahrscheinlichkeit dass es genau 1/4 sind ist:
[mm] \bruch{{500 \choose 15} {500 \choose 45}}{{1000 \choose 60}}[/mm]
Das müsste man nun für 0-14 Frauen auch noch berechnen und addieren.
Bin nicht ganz sicher ob das stimmt bzw ob es keinen eleganteren Weg gibt?
Danke
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Fr 11.09.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> In einem Dorf werden zufällig 6 % der erwachsenen
> Einwohner für die Auszählung
> von Wahlzetteln gerufen. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass nur ¼ davon
> Frauen sind?
> (Wir gehen davon aus, dass im Dorf 50 % der erwachsenen
> Einwohner Frauen sind)
> Diese Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten da ich nicht
> sicher bin wie ich an die Aufgabe rangehen soll, da ja
> nicht gefragt wie wie Wahrscheinlich es ist das x Frauen
> gerufen werden sondern halt 1/4.
> Und die 6% der Bevölkerung sollten eigentlich keine Rolle
> spielen meiner Meinung nach oder liege ich hier falsch?
> Hat jemand vielleicht einen Denkansatz für mich. Alle
> Modelle/Verteilungen die ich bisher durchdacht habe
> scheitern immer an der nicht vorhandenen absoluten Menge.
> Vielen Dank
> Marc
Hallo Marc,
die Antwort auf diese Frage ist tatsächlich sehr
davon abhängig, wie groß die Bevölkerungszahl
des Dorfes ist. Man könnte diese allenfalls als
Parameter n in die Rechnung einbeziehen und
erhielte dann ein Ergebnis, das von n in bestimmter
Weise abhängig ist.
Rechne also zuerst mit einem fest gewählten n
wie von rabilein vorgeschlagen und überlege dir
dann die notwendigen Änderungen, wenn du
statt der konstanten Zahl n=1000 den konkreten
Wert von n einfach offen lässt.
Nebenbei:
Einen derartigen Aufwand an Wahlhelfern kann
ich mir allerdings nur in einem Land vorstellen,
wo das Zählen noch als eine schwierige Kunst
angesehen wird oder wo eine grosse Gefahr
des Wahlbetrugs besteht. Ob die vielen Helfer
dann diese Gefahr bannen können, ist wieder
eine andere Frage - man müsste dann genauer
wissen, nach welchem Rezept die 6% der Wahl-
helfer aus der Bevölkerung ausgewählt werden...
LG Al-Chw.
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Ok dann hier mal die parametrisierte Version um die Wahrscheinlickeit für genau 1/4 zu berechnen:
[mm]\bruch{{\bruch{n}{2} \choose \bruch{1}{4}\bruch{6}{100}n} {\bruch{n}{2} \choose \bruch{3}{4}\bruch{6}{100}n} }{{n \choose \bruch{6}{100}n} }[/mm]
Ist das so korrekt?
Danke
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 11.09.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Fr 28.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> die Antwort auf diese Frage ist tatsächlich sehr
> davon abhängig, wie groß die Bevölkerungszahl
> des Dorfes ist.
Diese Problematik ist mir auch aufgefallen. Ich denke da an die Sache mit dem gefälschten Würfel, der nur eine leichte Abweichung vom "Normalwürfel" hatte, und dennoch nach einer sehr hohen Anzahl von Würfen sehr leicht identifiziert werden konnte.
Hier ist es genau so: Je größer das Dorf ist, desto unwahrscheinlicher (bis nahezu unmöglich) ist es, dass "rein zufällig" nur 25% der Wahlhelfer Frauen sind, obwohl deren Anteil an der Bevölkerung 50% beträgt.
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Ich würde [mm]k=0.06*n[/mm] als Anzahl der Wahlhelfer setzen, wenn n die Anzahl der Wahlberechtigten ist. Mit [mm]p=\bruch{1}{2}=q[/mm] ist die Anzahl der Frauen im Team dann binomialverteilt. Jetzt kann man die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximieren, wenn wir von k>8 ausgehen dürfen (d.h. wenn n>133). Das sollte das Rechnen doch erheblich erleichtern. Der gesuchte Wert ist [mm]\bruch{k}{4}[/mm], setzen wir ein, erhalten wir:
[mm]P(X\le\bruch{k}{4}) \approx \Phi(\bruch{\bruch{k}{4} - \bruch{k}{2}}{\wurzel{\bruch{k}{4}}}) = \Phi(-\bruch{\wurzel{k}}{2}) [/mm]
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Ok deine Antwort mal kurz an einem Beispiel für n=200 bzw k=12:
[mm]\Phi(-\bruch{\wurzel{12}}{2})= \Phi(-1,5)=0.067[/mm]
Jetzt habe ich das ganze mal über die Binomialverteilung versucht:
[mm]
{k \choose \bruch{k}{4}} \bruch{1}{2}^\bruch{k}{4}\bruch{1}{2}^{k-\bruch{k}{4}}={12 \choose 3} \bruch{1}{2}^3\bruch{1}{2}^9=0,0537[/mm]
Ist die leichte Abweichung durch die Näherung zu erklären oder wo liegt das Problem?
Vielen Dank
Marc
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Nicht nur: du berechnest die WS für exakt 3 Frauen, nicht die für höchstens 3. Mach das nochmal für 0, 1 und 2, addiere auf und du hast den richtigen Wert (der näher an der Normalapproximation liegen sollte...).
Edit: Abgesehen davon ist [mm]\bruch{\wurzel{12}}{2}=\wurzel{3} \approx 1,732[/mm] - dadurch wird der erste Wert kleiner, wenn mich nicht alles täuscht. Aber in diesem Bereich ist die Approximation wirklich noch nicht sehr genau.
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