Modellierung mid DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 So 24.05.2009 | | Autor: | JeyTi |
| Aufgabe | | Ein Gefäß ist zur Zeit t = 0 mit 10 Litern reinem Wasser gefüllt. In das Gefäß fließen gleichmäßig 2 Liter pro Minute einer Salzlösung. Die Lösung enthält 0,3 kg Salz pro Liter. Die Lösung wird gleichmäßig mit dem Wasser im Gefäß gemischt. Gleichzeitig fließen 2 Liter pro Minute von dem gemischten Wasser aus dem Gefäß heraus. Wieviel kg Salz haben sich nach 5 Minuten im Gefäß angesammelt? |
Hallo Leute,
in dieser Aufgabe geht es darum eine Differenzialgleichung aufzustellen. Also zu modellieren mit Hilfen von DGL.
Die Aufgabe an sich ist mir völlig klar, nur fehlt mir überhaupt die Idee wir ich mich nun an das Aufstellen der Gleichung mache.
Hab mir schon gedacht, dass da bestimmt irgendwas mit y(t) = 0,3 * 2 * t
reinsoll, wegen dem Salzgehalt und der Zeit. Aber dann scheitere ich auch.
Ich wäre für jede Hilfestellung sehr verbunden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 So 24.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du nimmst an, du hast zur Zeit t die menge S(t) Salz im Gefaess.
wieviel Salz kommt jetzt in 1s dazu? wiviel in der Zeit dt? wieviel lauft weg?
die Differenz ist dS/dt das gibt die Dgl.
dann hast du noch S(0)=0 als Anfangsbedingung.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 So 24.05.2009 | | Autor: | JeyTi |
super, vielen Dank!!!
also ich habe schon in die richtige Richtung gedacht.
dt = 0,6 t das ist ja wieviel Salz pro Minute dazukommt.
aber bei der Gleichung für die Menge, die rausläuft bin ich mir gar nicht sicher.
weil das Wasser ja mit der neuen Salzmenge auch sofort rausläuft. Das heißt für die nächste Minute ist Salzmenge nicht 0,6t sonder größer.
Hättest du vllt da noch einen ausführlicheren Tipp für mich.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 So 24.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zuwachs von Salz: in 1s sind es 0.01kg
in der Zeit dt also [mm] dS_{zu}=0.01kg/s*dt [/mm]
Wegfluss pro s. 2*S/10 pro Min. also 2*S/600kg/s also [mm] dS_{weg}=S/300*dt
[/mm]
kannst dus jetzt zusammensetzen?
Deine Gleichung war ziemlich sinnlos. Schreib mit Einheiten, dann wirds klarer.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 So 24.05.2009 | | Autor: | Wichi20 |
Also ich versuche mich an derselben Aufgabe ^^ und ich habe auch keine Ahnung, wie ich das zusammensetzen soll :( Muss man das noch irgendwie integrieren vorher?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 So 24.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ihr sucht doch eine Differentialgleichung, als nen Zusammenhang zwischen S(t) und S'(t)
Die muss man erstmal aufstellen.
Dann erst kommt das Loesen der Differentialgleichung.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 So 24.05.2009 | | Autor: | Wichi20 |
Also hab ich einfach
[mm] \bruch{dS}{dt}= [/mm] 0.01 - 0.003S ?
und das trenne ich dann wieder nach den Variablen und Integriere es?
bzw, was mache ich dann mit dem Ausdruck [mm] \bruch{1}{0.01-0.003S} [/mm] = dt ?
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Hallo,
Du hast deine Salzmenge in kg, nennen wir sie mit leduart S.
In dein Gefäß fließen pro min 2l Salzlösung mit c=0,3 kg/l.
Das macht einen Zuwachs von 0,6 kg/min.
Es fließen ab: [mm] 2\frac{l}{min}*c [/mm] (in kg/min).
Also heißt deine DGL:
[mm] $\frac{dS}{dt}=0,6kg/min [/mm] - 2l/min*c $
oder
[mm] $\frac{dS}{dt}=0,6kg/min [/mm] - [mm] 2l/min*\frac{S}{10l} [/mm] $
[mm] $\frac{dS}{dt}=0,6kg/min [/mm] - [mm] 0,2min^{-1}*S [/mm] $
Jetzt darfst Du die DGL lösen.
Das geht am Anfang so:
[mm] $\int \frac{1}{0,6kg/min - 0,2min^{-1}*S}\;dS=\int \;dt$
[/mm]
[mm] $-5min*ln\left|0,6kg/min-\frac{1}{5min}*S\right|=t+C$
[/mm]
Im nächsten Schritt setzt Du deine Anfangsbedingung
S(t=0)=0
ein.
LG, Martinius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 So 24.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Dgl ist richtig, mit kg/s statt wie im anderen post mit kg/Min.
> [mm]\bruch{dS}{dt}=[/mm] 0.01 - 0.003S ?
richtig
> und das trenne ich dann wieder nach den Variablen und
> Integriere es?
>
> bzw, was mache ich dann mit dem Ausdruck
> [mm]\bruch{1}{0.01-0.003S}[/mm] = dt ?
Falsch.
richtig ist
[mm]\bruch{dS}{0.01-0.003S}[/mm] = dt
jetzt auf beiden Seiten integrieren.
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 So 24.05.2009 | | Autor: | Wichi20 |
> Hallo
> die Dgl ist richtig, mit kg/s statt wie im anderen post
> mit kg/Min.
>
> > [mm]\bruch{dS}{dt}=[/mm] 0.01 - 0.003S ?
> richtig
> > und das trenne ich dann wieder nach den Variablen und
> > Integriere es?
> >
> > bzw, was mache ich dann mit dem Ausdruck
> > [mm]\bruch{1}{0.01-0.003S}[/mm] = dt ?
> Falsch.
> richtig ist
> [mm]\bruch{dS}{0.01-0.003S}[/mm] = dt
> jetzt auf beiden Seiten integrieren.
> Gruss leduart.
>
Ja ich hatte das dS vergessen .. Was wende ich da jetzt an ? Substitution?
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Hallo Wichi20,
> > Hallo
> > die Dgl ist richtig, mit kg/s statt wie im anderen
> post
> > mit kg/Min.
> >
> > > [mm]\bruch{dS}{dt}=[/mm] 0.01 - 0.003S ?
> > richtig
> > > und das trenne ich dann wieder nach den Variablen und
> > > Integriere es?
> > >
> > > bzw, was mache ich dann mit dem Ausdruck
> > > [mm]\bruch{1}{0.01-0.003S}[/mm] = dt ?
> > Falsch.
> > richtig ist
> > [mm]\bruch{dS}{0.01-0.003S}[/mm] = dt
> > jetzt auf beiden Seiten integrieren.
> > Gruss leduart.
> >
>
>
> Ja ich hatte das dS vergessen .. Was wende ich da jetzt an
> ? Substitution?
Jo, das kannst du machen, etwa $u:=0,01-0,003S$
Dann [mm] $\frac{du}{dS}=-0,003$, [/mm] also [mm] $dS=-\frac{du}{0,003}=-\frac{1000}{3} [/mm] \ du$
usw.
LG
schachuzipus
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