Modellierung von DGLs < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:03 So 09.04.2006 | | Autor: | Jette87 |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hi, ich wollte einfach fragen, ob mir jemand meine Ergebnisse für diese Aufgaben bestätigen könnte:
1.a)
also ich haben den "Zufluss" mit z bezeichnet und den Abfluss mit a
c0 ist die Konzentration in der Zelle
c(t) die Konzentration in Abhängigkeit zur Zeit
und zum Zeitpunkt c(0) ist die Konzentration c*
ich mache das also mit den Zeitintervallen t bis t+h
-> c(t+h)-c(t)=z*c(t#1)*h - a*c(t#2)*h = h *[z*c(t#1) - a*c(t#2)]
-> [mm] \bruch{c(t+h)-c(t)}{h} [/mm] = z*c(t#1) - a*c(t#2)
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{c(t+h)-c(t)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} [/mm] z*c(t#1) - a*c(t#2)
wegen t<t#1<t#2<t+h wird t=t#1=t#2
-> DGL 1. Ordnung:
c'(t) = [mm] \bruch{dc}{dt} [/mm] (t) = z*c(t) - a*c(t) = c(t)[z-a]
Dann kann ich c kurzzeitig als Variable und nicht als Funktion auffassen
-> TdV:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dc}{c(z-a)}} [/mm] und [mm] \integral_{}^{}{dt}
[/mm]
-> [mm] \integral_{}^{}{\bruch{dc}{c(z-a)}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{z-a} [/mm] * ln c (Betrag kann weggelassen, da nur eine positive Funktion gesucht wird!)
[mm] \integral_{}^{}{dt} [/mm] = t
C wieder als Funktion auffassen:
-> [mm] \bruch{1}{z-a} [/mm] * ln [c(t)] = t
-> ln [c(t)] = (z-a)t
-> c(t)= [mm] e^{(z-a)t}
[/mm]
Probe funktioniert auch.
b) 1. Fall c*>c0
Ausgangskonzentration der Zelle ist höher als die Konzentration außerhalb der Zelle, also diffundiert die Lösung von außen nach innen -> Zufluss z > Abfluss a
(reicht das so??)
2. Fall c*<c0
Gegenteil vom 1. Fall
Konzentration vom Außenmedium größer als im Zellinneren
z<a
3. Fall c*=c0
Da beide Konzentrationen gleich sind, sind auch Menge von Zufluss und Abfluss gleich, z=a.
t->unendlich:
Wenn die Zeit ins Unendliche geht, bleibt die Konzentration in Form einer Sättigungskurve im Unendlichen konstant, da Zu- und Abfluss gleich werden und ein Konzentrationsausgleich stattgefunden hat. (Voraussetzung: Außenmedium bleibt konstant)
zu 2.)
z'(t)~z(t)
z'(t)=k*z(t) , wobei k eine Konstante darstellen soll
[mm] \bruch{z'(t)}{z(t)}=k
[/mm]
-> [mm] \bruch{dz/dt}{z(t)}=k
[/mm]
-> [mm] \bruch{dz}{z(t)}=k [/mm] dt
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dz}{z}}= \integral_{}^{}{k dt}
[/mm]
ln z = kt +c (da Funktion nur positiv sein kann, kann man den Betrag gleich weglassen)
z(t) = [mm] e^{kt+c}
[/mm]
Stimmt das alles?
Ich danke euch!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Mo 10.04.2006 | | Autor: | Helpp |
| Aufgabe | Eine einzelne Zelle, bei der wir annehmen, dass sie ein konstantes Volumen aufweist, wird in eine homogene Flüssigkeit eingetaucht, die eine gelöste Substanz der Konzentration [mm] c_0 [/mm] enthält. [mm] (c_0 [/mm] sei bzgl. der Zeit als auch bzgl des Ortes konstant). Mit c(t) soll die Konzentration der gelösten Substanz im Inneren der Zelle zur Zeit t bezeichnet werden. Des weiteren nehmen wir an, dass die Substanz zu jeder Zeit nahezu gleichmäßig über die ganze Zelle verteilt, so dass die Konzentration im Inneren der Zelle nur von der Zeit anhängt. Zum Beginn des Experiments (d.h. t=0) sei c(0)=c^* (c^* konstant). Durch Diffusion dringt nun die aufgelöste Substanz aus der die Zelle umgebenden Flüssigkeit in die Zelle ein. Allerdings dringen auch Moleküle der Substanz aus der Zelle heraus in die Flüssigkeit. Hierdurch entsteht ein "Molekülfluß" in beide Richtungen durch die Zellmembran. Welcher dieser beiden Flüsse stärker ist, hängt vom Verhältnis zwischen [mm] c_0 [/mm] und c(t) ab. Gesucht ist nun die Funktion c(t).
wobei m=m(t) die Masse der Substanz in der Zelle.
A=Oberfläche der Zellmembran
V=Volumen der Zelle
Dem Fickschn Gestz folgend, ist die zeitliche Veränderung der Funktion m(t) proportional zur Oberfläche der Membran und der Differenz der Substanzkonst. auf beiden Seiten der Membran. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Da ich wenig mit Modellierungaufgaben zu tun hatte, habe ich Probleme hier eine G.Dgl aufzustellen. Gesucht ist zwar die Funktion c(t) aber die Lösung c(t) kann ich im Nachhinein auch selber betimmen.
Kann mir jemand bei der Aufstellung von c'(t) helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Mo 10.04.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Helpp,
zunächst einmal ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ich habe deine Frage hier angehängt, da es sich um dieselbe Aufgabe handelt.
Außerdem ist ja von Jette87 auch schon ein Lösungsansatz vorhanden, vielleicht hilft es euch beiden.
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Di 11.04.2006 | | Autor: | Jette87 |
Also ich habe ja bei ihm/ihr keinen Lösungsansatz, also bitte weiterhelfen, da ich bei 1. nicht weiß, ob man da das Ficksche Gesetz mit reinnehmen muss und ob man bei 2. das so machen kann oder nicht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Do 13.04.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Zusammen,
ich habe den Status erstmal geändert, bis sich etwas neues ergibt.
Ist nach PN abgestimmt.
Liebe Grüße
Herby
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