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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Moderne Portfoliotheorie
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Moderne Portfoliotheorie: Korrelationskoeffizient
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:39 So 26.01.2020
Autor: sancho1980

Hallo,

in meinem Buch geht es um Moderne Portfoliotheorie. Es wird die Varianz von X = ln(1 + R) betrachtet, wobei R die Rendite einer Aktie ist.
Anhand zweier Aktien [mm] (X_1 [/mm] und [mm] X_2) [/mm] mit gleichem Erwartungswert aber unterschiedlicher Varianz wird gezeigt, dass die Varianz einer Kombination

X = [mm] \alpha X_1 [/mm] + (1 - [mm] \alpha) X_2 [/mm]

aus diesen beiden Aktien sogar geringer sein kann, die Varianz beider Aktien.
So ist die Varianz

[mm] Var(\alpha X_1 [/mm] + (1 - [mm] \alpha) X_2) [/mm] = [mm] {\alpha}^2 Var(X_1) [/mm] + 2 [mm] \alpha [/mm] (1 - [mm] \alpha) Cov(X_1, X_2) [/mm] + (1 - [mm] \alpha)^2 Var(X_2) [/mm]

bei zwei unkorrelierten Aktien mit [mm] Var(X_1) [/mm] = 1 und [mm] Var(X_2) [/mm] = 2 minimal bei [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}: [/mm]

[mm] Var(\bruch{2}{3} X_1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} X_2) [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}. [/mm]

Dann wird weiter ausgeführt:

"Voraussetzung hierfür ist, dass die Renditen der Wertpapiere nicht perfekt positiv miteinander korreliert sind: [mm] p_{X_1, X_2} [/mm] < 1. Am Besten eignen sich dafür Wertpapiere, die negativ korreliert sind. Im Idealfall einer perfekten negativen Korrelation [mm] p_{X_1, X_2} [/mm] = -1, kann ein Verlust beim ersten Wertpapier durch einen Gewinn beim zweiten kompensiert werden - man könnte damit ein risikofreies Portfolio zusammenstellen."

Was mir leider fehlt ist eine formale Erklärung, warum das so ist. Kann mir das einer formal verständlich machen, warum [mm] p_{X_1, X_2} [/mm] < 1 gelten muss und warum [mm] p_{X_1, X_2} [/mm] = -1 am Besten ist?

Danke und Gruß

Martin

        
Bezug
Moderne Portfoliotheorie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 So 26.01.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

Ziel ist es ja, den Ausdruck $ [mm] Var(\alpha X_1 [/mm]  + (1 -  [mm] \alpha) X_2) [/mm]  =  [mm] {\alpha}^2 Var(X_1) [/mm]  + 2  [mm] \alpha [/mm]  (1 -  [mm] \alpha) Cov(X_1, X_2) [/mm]  + (1 -  [mm] \alpha)^2 Var(X_2) [/mm] $ zu minimieren.

Nun sind die Varianzen von [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] ja gegebene größen und positiv… an denen können wir also nicht rütteln, aber wir können den obigen Ausdruck dadurch teilen und haben immer noch dasselbe Ziel, den neuen Ausdruck zu minimieren. Mit den gewohnen Abkürzungen [mm] \sigma_{X_i}^2 [/mm] für die Varianz von [mm] X_i [/mm] erhalten wir also:

$ [mm] \frac{1}{\sigma_{X_1}\sigma_{X_1}} Var(\alpha X_1 [/mm] + [mm] (1-\alpha)X_2) [/mm] = [mm] \alpha\sigma_{X_1} [/mm] + [mm] 2\alpha(1-\alpha)p_{X_1, X_2} [/mm] + [mm] (1-\alpha)\sigma_{X_2}$ [/mm]

Auf der Rechten Seite können wir noch immer nichts an den [mm] $\sigma_{X_i}$ [/mm] rütteln, d.h. zu gegebenem [mm] $\alpha$ [/mm] wird das also "hübscher", wenn [mm] $p_{X_1, X_2}$ [/mm] immer kleiner wird.

Wie klein kann [mm] $p_{X_1, X_2}$ [/mm] nun höchstens werden? -1
D.h. die linke Seite ist für [mm] $p_{X_1, X_2} [/mm] = -1$ minimal.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Moderne Portfoliotheorie: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 08:19 Mo 27.01.2020
Autor: sancho1980

Hallo!

Ja danke, ehrlich gesagt hatte ich die Idee mit dem Teilen durch [mm] \sigma_{X} \sigma_{Y} [/mm] auch schon. Allerdings beantwortet die Schlussfolgerung "Die Varianz wird bei -1 minimal" die Frage ja nur zum Teil.

Wenn ich die Aussagen aus meinem Buch genau nehmen darf, dann verstehe ich Folgendes:

1. [mm]p_{X, Y}[/mm] = 1 [mm] \Rightarrow \nexists \alpha: Var(\alpha [/mm] X + (a - [mm] \alpha) [/mm] Y) < [mm] \sigma_X \cap Var(\alpha [/mm] X + (a - [mm] \alpha) [/mm] Y) < [mm] \sigma_Y [/mm]

2. -1 <  [mm]p_{X, Y}[/mm] < 1 [mm] \Rightarrow \exists \alpha: Var(\alpha [/mm] X + (a - [mm] \alpha) [/mm] Y) < [mm] \sigma_X \cap Var(\alpha [/mm] X + (a - [mm] \alpha) [/mm] Y) < [mm] \sigma_Y [/mm]

3. [mm]p_{X, Y}[/mm] = -1 [mm] \Rightarrow \exists \alpha: Var(\alpha [/mm] X + (a - [mm] \alpha) [/mm] Y) = 0

Wenn ich deinen Ansatz umstelle, dann ergibt sich doch:

V := [mm] Var(\alpha [/mm] X + (1 - [mm] \alpha) [/mm] Y) = [mm] \alpha^2 \sigma_{X}^2 [/mm] + (1 - [mm] \alpha)^2 \sigma_{Y}^2 [/mm] + (2 [mm] \alpha [/mm] (1 - [mm] \alpha)p_{X, Y}\sigma_X \sigma_Y) [/mm]

Wenn ich jetzt fordere

V < [mm] \sigma_X, [/mm]

dann lande ich bei

[mm] p_{X, Y} [/mm] < [mm] \bruch{\sigma_{X}^2 (1 - \alpha^2) + (1 - \alpha)^2 \sigma_{Y}^2}{2 \alpha(1 - \alpha)\sigma_X \sigma_Y} [/mm]

Fordere ich wiederum

V < [mm] \sigma_Y, [/mm]

dann ergibt sich

[mm] p_{X, Y} [/mm] < [mm] \bruch{\sigma_{Y}^2 - (1 - \alpha)^2 \sigma_{Y}^2 - \alpha^2 \sigma_{X}^2}{2 \alpha (1 - \alpha) \sigma_X \sigma_Y} [/mm]

Aus der Forderung

V = 0

ergibt sich schlussendlich

[mm] p_{X, Y} [/mm] = [mm] \bruch{- \alpha^2 \sigma_{X}^2 - (1 - \alpha)^2 \sigma_{Y}^2}{2 \alpha (1 - \alpha) \sigma_X \sigma_Y} [/mm]

Zumindest die Punkte 2 und 3 erschließen sich mir nicht. Punkt 1 konnte ich glaube tatsächlich zeigen, indem ich für [mm] p_{X, Y} [/mm] = 1 eingesetzt hatte.

Bezug
                        
Bezug
Moderne Portfoliotheorie: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:20 Mi 29.01.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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