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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Do 16.06.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Betrachte den [mm] \IZ [/mm] -Modul $ [mm] N:=\{ \pmat{z_1 \\ z_2 } \in \IZ^2 \ | \ 6 \ teilt \ 3z_{1} - z_{2} \} [/mm] $ und den Faktormodul $ [mm] M:=\IZ^{2}/N [/mm] $.
i) Ist M eine endliche Menge?
ii) Ist M zyklisch?
iii) Ist M frei? |
Hallo! Habe noch Verständnisprobleme was Moduln angeht und bräuchte dringend etwas Hilfe bei der Aufgabe.. wäre nett wenn jemand drüber schaun könnte. :)
Was ich bis jetzt überlegt habe:
i) Wenn ich das richtig verstanden habe, ist M die Menge aller Vektoren in [mm] \IZ^2 [/mm] ohne die Vektoren aus N. In einer endlichen Menge liegen nur endlich viele Vektoren, da es aber unendlich viele Möglichkeiten gibt, [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] so zu kombinieren, dass sie nicht in N (und damit in M) liegen, ist M unendlich. Ein konkreter Beweis ist in der Aufgabenstellung ja nicht gefordert.. oder gibt es eine Möglichkeit das zu zeigen?
ii) Mit dem Begriff "zyklisch" habe ich auch noch Probleme. Ein Modul heisst zyklisch, wenn es ein x [mm] \in [/mm] M gibt, sodass M=<x>. Wenn ich das richtig verstehe, besteht M also aus allen Vielfachen von x?! Überlegt habe ich mir hier, dass der Vektor [mm] v:=\pmat{1\\0} [/mm] in M liegt (denn 6 teilt nicht $3*1-0$), dann müssten doch auch alle Vielfachen in M liegen, oder? Jetzt liegt aber [mm] 2v=\pmat{2\\0} [/mm] nicht in M, da $ 6|3*2-0 $. Damit wäre M nicht zyklisch.
iii) M ist frei, wenn er ein Einselement besitzt (tut er ja gemäß Definition eines Moduln, oder?) und eine Basis besitzt. Alle Elemente aus M lassen sich, wenn ich mich nicht täusche, durch die Einheitsbasis [mm] \{\pmat{1\\0},\pmat{0\\1}\} [/mm] darstellen. M wäre damit frei. (?)
Vielen Dank für Eure Mühen schonmal! :)
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:15 Fr 17.06.2011 | | Autor: | chesn |
Hallo!
Wäre super wenn jemand noch was dazu sagen könnte, läuft sonst bald ab.
Selbst wenn mir jemand sagt, dass es kompletter schwachsinn ist, wäre ich damit schonmal etwas weiter als jetzt. ;)
Danke!! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Fr 17.06.2011 | | Autor: | SEcki |
> i) Wenn ich das richtig verstanden habe, ist M die Menge
> aller Vektoren in [mm]\IZ^2[/mm] ohne die Vektoren aus N.
Ganz Falsch! Die Differenz muss in N liegen, dann sind die Elemente äquivalent. Schaue dir mal genau die Definition von Faktormodul an!
SEcki
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:32 Sa 18.06.2011 | | Autor: | chesn |
Hallo! Danke erstmal, mir ist jetzt klar das ich komplett daneben lag.
Würde gern erstmal sehen, ob ich es jetzt richtig verstanden habe.
Dazu habe ich mir ein (einfacheres) Beispiel ausgedacht:
Sei [mm] N=\{ n\in \IN \ | \ 3 \ teilt \ n \} [/mm] und [mm] M=\IN/N
[/mm]
Jetzt gilt ja [mm] N=\{ 3,6,9,12,... \} [/mm] und in M liegen Äquivalenzklassen, ich nenne sie mal [mm] [a]_{k}.
[/mm]
Es gilt jetzt: In [mm] [a]_k [/mm] liegen alle natürlichen Zahlen, die einen Abstand von k zueinander haben.
=> [mm] M=\{[a]_{3},[a]_{6},[a]_{9},... \} [/mm] mit
[mm] [a]_{3}=\{ (1,4,7,...), (2,5,8,...), (3,6,9,...), ... \}
[/mm]
[mm] [a]_{6}=\{ (1,7,13,...), (2,8,14,...), ... \}
[/mm]
und so weiter...
Ist mein Beispiel so richtig? Vielen Dank für jede nützliche Antwort! :)
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Sa 18.06.2011 | | Autor: | chesn |
Hallo!
Würde mich sehr freuen, wenn jemand etwas dazu sagen könnte.
Selbst wenn mir jemand sagt, dass ich totalen Schwachsinn verzapft habe, wäre das hilfreich. :)
Vielen Dank!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mo 20.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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