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| Aufgabe | | Welche abelschen Gruppen sind [mm] \IZ/n\IZ-Moduln? n\in \IN [/mm] |
Guten Abend.
Ich bin gerade am bearbeiten dieser Aufgabe und komme nicht voran.. Ich kenne die Definition eines Moduls:
Es muss in der abelschen Gruppe einfach noch eine Skalarmultiplikation defineirt werden, so dass wir eine Abbildung haben
[mm] \IZ/n\IZ [/mm] x G [mm] \to [/mm] G
(r,m) [mm] \mapsto [/mm] r*m
Da [mm] n\IZ [/mm] ein Untermodul von [mm] \IZ [/mm] ist, ist [mm] \IZ/n\IZ [/mm] ein Modul, wenn gilt
r*[m]=[r*m], nicht?
Nur irgendwie geht das alles etwas an der Fragestellung vorbei, ich muss ja die G's finden, also die abelschen Gruppen..
Hat vielleicht jemand einen Tipp für mich?
Wäre sehr dankbar..
grüsse Ersti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Mi 07.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
mach dir erstmal klar, dass in $G$ gelten muss [mm] $\forall \; [/mm] g [mm] \in [/mm] G: n [mm] \cdot [/mm] g = [mm] \underbrace{g + ... + g}_{n-\textrm{mal}} [/mm] = 0$. das schließt schonmal sehr viele gruppen aus.
grüße
andreas
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Guten Abend! :)
Vielen Dank für deinen Tipp!!
Also nur nochmal, damit zum Verständnis:
Das gilt, weil die Abbildung von [mm] \IZ/n\IZ [/mm] x G [mm] \to [/mm] G geht, oder?
Damit halt eben die Axiome stimmen..
(z.B. [mm] \underbrace{(r_{1}+r_{2})}_{\in \IZ/n\IZ}*m [/mm] = [mm] \underbrace{r_{1}*m + r_{2}*m}_{\in G!}
[/mm]
Ok,das heisst G muss auch modulo n sein. Mir fallen da spontan nur die Restklassen [mm] \IZ/n\IZ [/mm] ein. Ist es das schon?
Oder sollte man noch eine Unterscheidung machen, falls n=Primzahl, da dann [mm] \IZ/n\IZ [/mm] ein Körper ist? Aber ändert ja nichts, oder? (Modul ist dann einfach [mm] ein\IZ/n\IZ [/mm] Vektorraum.. )
Vielen herzlichen Dank.. Ersti
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Do 08.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Vielen Dank für deinen Tipp!!
> Also nur nochmal, damit zum Verständnis:
> Das gilt, weil die Abbildung von [mm]\IZ/n\IZ[/mm] x G [mm]\to[/mm] G geht,
> oder?
das ist nicht der wahre grund. das gilt eben, weil die modul-axiome für diese skalarmultiplikation erfüllt sein müssen. damit kann man schnell folgern, dass die angegeben aussage gilt.
> Ok,das heisst G muss auch modulo n sein. Mir fallen da
> spontan nur die Restklassen [mm]\IZ/n\IZ[/mm] ein. Ist es das
> schon?
das ist eine möglichkeit. betrachte [mm] $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ [/mm] für ein $d [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] mit $d [mm] \, [/mm] | [mm] \, [/mm] n$. dann gibt es (genau) einen ringhomomorphismus $f: [mm] \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ [/mm] und diser macht [mm] $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ [/mm] zu einem [mm] $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$-modul [/mm] (vermöge $z [mm] \cdot [/mm] g := f(z)g$, wobei links die skalarmultiplikation und rechts die multiplikation in [mm] $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ [/mm] steht). rechne das mal nach. da für zwei $R$-moduln $M$ und $N$ auch $M [mm] \oplus [/mm] N$ ein $R$-modul ist, sind natürlich auch beliebige direkte summen dieser möglichen wahlen wieder [mm] $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$-moduln.
[/mm]
hat man nun etwa den hauptatz über endlich erzeugte abelsche gruppen zur verfügung, so hat man damit alle (zumindest endlich erzeugten) [mm] $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$-moduln [/mm] bestimmt.
> Oder sollte man noch eine Unterscheidung machen, falls
> n=Primzahl, da dann [mm]\IZ/n\IZ[/mm] ein Körper ist? Aber ändert ja
> nichts, oder? (Modul ist dann einfach [mm]ein\IZ/n\IZ[/mm]
> Vektorraum.. )
das erhält man dann als spezialfall aus dem oberen, da $m = p$ prim nicht allzuviele teiler hat.
grüße
andreas
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