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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Di 03.02.2009 | | Autor: | cluedo |
| Aufgabe | [mm]\begin{matrix}
f: \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} &\rightarrow& \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \\
[a]_{12} &\mapsto& [a]_6
\end{matrix}[/mm]
ist $f$ wohldefiniert? |
Hi,
im Prinzip ist mir die Aufgabe klar, aber ich versuche die ganze Zeit eine Herleitung dafür zu finden, dass [mm] $[6]_{12}$ [/mm] auf [mm] $[0]_6$ [/mm] abgebildet wird, was mir irgendwie nicht gelingt. also speziell warum die sechs hier eine null ist. Das [mm] $[6]_6$ [/mm] nicht in der Aquivalenzklasse $(mod 6)$ ist, weiß ich, aber irgendwie sehe ich gerade nicht warum. kann mir einer helfen?
vielen dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Di 03.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\begin{matrix}
f: \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} &\rightarrow& \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \\
[a]_{12} &\mapsto& [a]_6
\end{matrix}[/mm]
>
> ist [mm]f[/mm] wohldefiniert?
> Hi,
>
> im Prinzip ist mir die Aufgabe klar, aber ich versuche die
> ganze Zeit eine Herleitung dafür zu finden, dass [mm][6]_{12}[/mm]
> auf [mm][0]_6[/mm] abgebildet wird, was mir irgendwie nicht gelingt.
> also speziell warum die sechs hier eine null ist. Das [mm][6]_6[/mm]
> nicht in der Aquivalenzklasse [mm](mod 6)[/mm] ist, weiß ich, aber
> irgendwie sehe ich gerade nicht warum. kann mir einer
> helfen?
>
> vielen dank
ich bin da formal gar nicht so wirklich drin. Aber wenn ich das richtig sehe:
Du musst ja zeigen:
Ist [mm] $[a]_{12} \in \IZ/12\IZ$ [/mm] und ist $a' [mm] \in [a]_{12}$ [/mm] beliebig, so gilt [mm] $f([a]_{12})=f([a']_{12})$ [/mm] (die Wohldefiniertheit von [mm] $\,f\,$ [/mm] entspricht hier einer Repräsentantenunabhängigkeit).
[mm] $[6]_{12}=\{z \in \IZ: z \text{ läßt bei Division durch }12 \text{ den Rest }6\}=\{...,\;-18,\;-6,\;6,\;18,\;...\}\,.$
[/mm]
Nun, damit haben wir damit kein Problem:
Bei der Divison durch $6$ können nur Reste der Menge [mm] $\{0,\;1,\;2,\;3,\;4,\;5\}$ [/mm] bleiben (vgl. ![[]](/images/popup.gif) Wiki, Modulo, mathematische Variante).
Also ist [mm] $[-6]_6=[6]_6=[18]_6=[0]_6=\{...,\;-18,\;-12,\;-6,\;0,\;6,\;12,\;18,\;...\}$
[/mm]
Ich denke auch, dass [mm] $\,f\,$ [/mm] wohldefiniert ist. Ist nämlich $[a] [mm] \in \IZ/12\IZ\,$ [/mm] o.E. $a [mm] \in \{0,\;1,\;2,\;...,\;11\}$ [/mm] und $a' [mm] \in [a]_{12}$, [/mm] so existiert genau eine Zahl $m [mm] \in \IZ$ [/mm] mit [mm] $a'=m*12+a\,.$ [/mm] Dann gilt aber [mm] $a'=(2m)*6+a\,.$ [/mm] Für $a [mm] \in \{0,\;1,\;...,\;5\}$ [/mm] ist dann klar, dass [mm] $[a']_6=[a]_6\,.$ [/mm] Für $a [mm] \in \{6,\;...,\;11\}$ [/mm] ist [mm] $a\,=\,6+r$ [/mm] mit genau einem $r [mm] \in \{0,\;...,\;5\}\,,$ [/mm] und so gilt [mm] $[a]_6=[r]_6$ [/mm] und $a'=(2m)*6+6+r=(2m+1)*6+r$ und daher [mm] $[a']_6=[r]_6\,.$
[/mm]
So, jetzt hoffe ich, dass ich da keinen Unsinn verzapft habe 
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Di 03.02.2009 | | Autor: | cluedo |
vielen dank schonmal, das sieht gut aus.
hast du zufällig auch eine idee, ob die Abbildung andersherum auch wohldefiniert wäre? also $g: [mm] \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\mapsto \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$
[/mm]
grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Di 03.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Cluedo,
> vielen dank schonmal, das sieht gut aus.
> hast du zufällig auch eine idee, ob die Abbildung
> andersherum auch wohldefiniert wäre? also [mm]g: \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\mapsto \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}[/mm]
ich denke, dass das schiefgehen würde:
So ist bspw. [mm] $[7]_6=\{...,\;-11,\;-5,\;1,\;7,\;13,...\}=[1]_6\,,$ [/mm] aber [mm] $[7]_{12}=\{...,\;-19,\;-5,\;7,\;19,...\} \not=[1]_{12}=\{...,-23,\;-11,\;1,\;13,\;25,...\}\,.$
[/mm]
D.h. $g: [mm] \IZ/6\IZ \to \IZ/12\IZ\,,$ $[q]_6 \mapsto g([q]_{6}):=[q]_{12}$ [/mm] ist nicht wohldefiniert, denn wäre [mm] $\,g\,$ [/mm] wohldefiniert, so müsste wegen $1 [mm] \in [7]_6$ [/mm] (und damit [mm] $[1]_6=[7]_6$) [/mm] auch [mm] $g([1]_6)=g([7]_6)$ [/mm] gelten, aber es ist [mm] $g([1]_6)=[1]_{12} \not=[7]_{12}=g([7]_6)$ [/mm] (z.B. da $7 [mm] \in [7]_{12}\,,$ [/mm] aber $7 [mm] \notin [1]_{12}$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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