Modulo, Primzahlen, Fermat < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Mo 04.06.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Es seien a,b [mm] \in \IZ [/mm] und p eine Primzahl.
Zeige: Wenn [mm] a^p \equiv b^p [/mm] (mod p) dann gilt bereits [mm] a^p \equiv b^p [/mm] (mod [mm] p^2) [/mm] |
[mm] a^p \equiv b^p [/mm] (mod p)
wegen satz von kleinen fermat [mm] a^p \equiv [/mm] a (mod p)
=> a [mm] \equiv [/mm] b (mod p)
=> p| (a-b)
Habt ihr nun einen Tipp für mich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:26 Mo 04.06.2012 | | Autor: | SEcki |
> Habt ihr nun einen Tipp für mich?
Es gilt doch dann [m]b=a+n*p[/m].potenziere das mal mit p, wende den bionmischen Lehrsatz an - tada!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Mo 04.06.2012 | | Autor: | quasimo |
> Es gilt doch dann $ [mm] b=a+n\cdot{}p [/mm] $.potenziere das mal mit p, wende den bionmischen Lehrsatz an - tada!
du meinst eher : p|(a-b) , dh. [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IZ: [/mm] pn = a-b <=> pn +b =a
> potenziere das mal mit p
[mm] (pn+b)^p [/mm] = [mm] a^p
[/mm]
> wende den bionmischen Lehrsatz an
[mm] \sum_{k=1}^{p} \vektor{p \\ k} (pn)^{p-k} b^k [/mm] = [mm] a^p
[/mm]
In jeden Term kommt p vor ausser k=p dann habe ich nur [mm] b^p
[/mm]
Ich bin mir nicht sicher ob die behauptung gezeigt ist bzw, warum sie dann gezeigt wäre...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Di 05.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Es gilt doch dann [mm]b=a+n\cdot{}p [/mm].potenziere das mal mit p,
> wende den bionmischen Lehrsatz an - tada!
> du meinst eher : p|(a-b) , dh. [mm]\exists[/mm] n [mm]\in \IZ:[/mm] pn = a-b
> <=> pn +b =a
Genau das schrieb SEcki ja.
> > potenziere das mal mit p
> [mm](pn+b)^p[/mm] = [mm]a^p[/mm]
>
> > wende den bionmischen Lehrsatz an
> [mm]\sum_{k=1}^{p} \vektor{p \\ k} (pn)^{p-k} b^k[/mm] = [mm]a^p[/mm]
> In jeden Term kommt p vor ausser k=p dann habe ich nur
> [mm]b^p[/mm]
Jetzt schau dir das mal die linke Seite modulo [mm] $p^2$ [/mm] an. Was bleibt uebrig?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:27 Mi 06.06.2012 | | Autor: | quasimo |
> Jetzt schau dir das mal die linke Seite modulo $ [mm] p^2 [/mm] $ an. Was bleibt uebrig?
alle 0 außer wenn p-k =1 ist, also k=p-1
Der Term ist dann:
[mm] (pn)^{1} b^{p-1}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Mi 06.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Jetzt schau dir das mal die linke Seite modulo [mm]p^2[/mm] an. Was
> bleibt uebrig?
> alle 0 außer wenn p-k =1 ist, also k=p-1
Den Term $k = p$ hast du wohl ignoriert.
> Der Term ist dann:
> [mm](pn)^{1} b^{p-1}[/mm]
Du hast wohl den Binomialkoeffizient vergessen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Mi 06.06.2012 | | Autor: | quasimo |
ups, war zu spät ;)
$ [mm] \sum_{k=1}^{p} \vektor{p \\ k} (pn)^{p-k} b^k [/mm] $ = $ [mm] a^p [/mm] $
überall kommt [mm] p^2 [/mm] in der SUmme vor -> mod [mm] (p^2) [/mm] ergibt das 0 außer bei den Termen
k= p-1
[mm] \vektor{p \\ p-1}$ (pn)^{1} b^{p-1} [/mm] $ = p * (pn [mm] *b^{p-1}) [/mm] = [mm] p^2 [/mm] n [mm] *b^{p-1} \equiv [/mm] 0 (mod [mm] p^2)
[/mm]
k = p
[mm] \vektor{p \\ p} b^{p} [/mm] = [mm] b^p
[/mm]
=> [mm] b^p \equiv a^p [/mm] (mod [mm] p^2)
[/mm]
Passts so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Mi 06.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ups, war zu spät ;)
>
> [mm]\sum_{k=1}^{p} \vektor{p \\ k} (pn)^{p-k} b^k[/mm] = [mm]a^p[/mm]
Die Summe muss bei $k = 0$ anfangen.
> überall kommt [mm]p^2[/mm] in der SUmme vor -> mod [mm](p^2)[/mm] ergibt das
> 0 außer bei den Termen
> k= p-1
> [mm]\vektor{p \\ p-1}[/mm] [mm](pn)^{1} b^{p-1}[/mm] = p * (pn [mm]*b^{p-1})[/mm] =
> [mm]p^2[/mm] n [mm]*b^{p-1} \equiv[/mm] 0 (mod [mm]p^2)[/mm]
>
> k = p
> [mm]\vektor{p \\ p} b^{p}[/mm] = [mm]b^p[/mm]
>
> => [mm]b^p \equiv a^p[/mm] (mod [mm]p^2)[/mm]
> Passts so?
Abgesehen vom Summationsindex oben stimmt es jetzt :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Mi 06.06.2012 | | Autor: | quasimo |
okay, ich habe zu danken!
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