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Hi,
ich habe festgestellt, dass ich irgendwie massive probleme mit dem Modulo rechnen habe, zumindest wenn ich das abstrakt betrachte. Das direkte Modulorechnen habe ich jetzt intensiv geübt und es geht mir sicher von der Hand, aber ich habe hier folgende Rechnung vorliegen und kann mir keinen Reim darauf machen:
[mm] 3x^{2}+2= y^{2} [/mm] ; x,y [mm] \in \IZ
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 2 [mm] \equiv y^{2} [/mm] (mod 3 ) [mm] (\IZ [/mm] / [mm] 3\IZ)^{2} =[\overline{0},\overline{1}]
[/mm]
hier war nun zu zeigen, dass diese Rechnung keine ganzzahlige Lösung besitzt. Der Modulo 3 hat diese Aussage nun herbeigeführt, aber ich kann den Weg nicht wirklich nachvollziehen, mir ist nicht klar ersichtlich, wann ich welchen Modulo wählen muß (oder funktioniert das einfach durch rumprobieren?) und wohin das X in dieser Rechnung verschwunden ist. Wenn ich den entsprechenden Modulo gefunden habe, erhalte ich die Lösungen ja, so wie ich das sehe indem ich "einfach" einsetze und herumprobiere, zumindest bei eher leichten Aufgaben wie diesen?
Vielen Dank im Voraus für Hilfe
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> [mm]3x^{2}+2= y^{2}[/mm] ; x,y [mm]\in \IZ[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] 2 [mm]\equiv y^{2}[/mm]
Hallo,
gesucht sind ganze x.y mit
[mm] 3x^{2}+2= y^{2}
[/mm]
==> [mm] 3x^2=y^2-2.
[/mm]
Wenn es solch ein y also überhaupt gibt, muß [mm] y^2-2 [/mm] durch 3 teilbar sein,
d.h. [mm] y^2 [/mm] läßt beim Teilen durch 3 den Rest 2, wenn es eine Lösung der Gleichung oben gibt.
Eine andere Schreibweise dafür ist
> 2 [mm][mm] \equiv y^{2} [/mm] modulo 3.
Ich könnte auch sagen: es gibt eine ganze Zahl z mit [mm] y^2=3z+2.
[/mm]
Nun gucken wir, welche Zahlen für y infrage kommen.
a. y ist ein Vielfaches von 3.
anders geschrieben: y=3k
oder: [mm] y\equiv [/mm] 0 mod 3
Für solch ein y schauen wir [mm] y^2 [/mm] an: [mm] y^2=3(3k^2).
[/mm]
Der Rest beim Teilen durch 3 ist also 0.
[mm] y^2\equiv [/mm] 0 mod 3.
Die Rechnung kann man sich vereinfachen durch "modulo-Rechnen":
[mm] y\equiv [/mm] 0 mod 3
==> [mm] y^2 \equiv [/mm] 0*0 =0 mod 3.
b. y läßt beim Teilen durch 3 den Rest 1.
y=3k+1.
Dann ist [mm] y^2=3(3k^2+2k)+1,
[/mm]
also bleibt beim Dividieren durch 3 der Rest 1.
[mm] y^2\equiv [/mm] 1 mod 3
Die Rechnung kann man sich vereinfachen durch "modulo-Rechnen":
[mm] y\equiv [/mm] 1 mod 3
==> [mm] y^2 \equiv [/mm] 1*1 =1 mod 3.
c. y läßt beim Dividieren durch 3 den Rest 2.
y=3k+2
[mm] y^2=3(3k^2+4k+1)+1, [/mm] also Rest 1.
[mm] y^2\equiv [/mm] 1 mod 3.
Die Rechnung kann man sich vereinfachen durch "modulo-Rechnen":
[mm] y\equiv [/mm] 2 mod 3
==> [mm] y^2 \equiv [/mm] 2*2 =4 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 3.
Die Erkenntniss aus a.,b.,c. kann man kurz schreiben als
> [mm] (\IZ /3\IZ)^{2} =[\overline{0},\overline{1}]
[/mm]
Beim Quadrieren ganzer Zahlen kommen nur Zahlen heraus, die beim Dividieren durch 3 den Rest 0 oder 1 lassen.
Eine Quadratzahl, welche beim Teilen durch 3 den Rest 2 läßt, gibt es nicht.
Also hat die Gleichung [mm] 3x^{2}+2= y^{2} [/mm] keine ganzzahlige Lösung.
> Der Modulo 3 hat diese Aussage
> nun herbeigeführt, aber ich kann den Weg nicht wirklich
> nachvollziehen,
Ich hoffe, daß Du die Gedanken nun verstanden hast.
> mir ist nicht klar ersichtlich, wann ich
> welchen Modulo wählen muß (oder funktioniert das einfach
> durch rumprobieren?)
Nennen wir es "Inspiration".
> und wohin das X in dieser Rechnung
> verschwunden ist.
Das sollte jetzt klar sein.
Wir brauchen es nicht mehr, weil wir aufgrund der Überlegungen festgestellt haben: welches x auch immer man wählt - aus den oben durchdachten Gründen ist die Gleichung nicht zu lösen.
> Wenn ich den entsprechenden Modulo
> gefunden habe, erhalte ich die Lösungen ja, so wie ich das
> sehe indem ich "einfach" einsetze und herumprobiere,
Nennen wir es "systematisch prüfen".
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Do 26.04.2007 | | Autor: | Dschingis |
vielen dank =) jetzt ist alles einleuchtend
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