Modulorechnung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:17 Mo 29.11.2010 | | Autor: | lenzlein |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
(i) 2 [mm] \not= [/mm] p [mm] \in \IP [/mm] und n [mm] \in \IN \Rightarrow (1+p)^{p^{n-1}} \equiv [/mm] 1+ [mm] p^n [/mm] (mod [mm] p^{n+1})
[/mm]
(ii) 2 [mm] \le [/mm] n [mm] \in \IN \Rightarrow 5^{2^{n-2}} \equiv [/mm] 1 + [mm] 2^n [/mm] (mod [mm] 2^{n+1}) [/mm] |
Mir fehlt der Ansatz...außerdem bin ich mir nie so wirklich sicher, wie ich Dinge in der Modulorechnung umformen kann...Ich hoffe ihr könnt mir bei den Aufgaben helfen.
Lg
lenzlein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Kyle |
Der erste Teil kann gelöst werden, indem Du Dir überlegst, wie Du sonst die Klammer potenzieren würdest. Hier sollte eine Summenformel auftauchen. Dann kannst Du Dir überlegen, welche Summanden automatisch Vielfache des Moduls sind und damit der Nullklasse entsprechen.
Der zweite Teil geht im Wesentlichen genau so, nur, daß man zunächst die linke Seite (die 5-er Potenz geschickt umschreiben muss).
Viele Grüße
Kyle
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Do 02.12.2010 | | Autor: | lenzlein |
ok also ich hab jetzt mal einen ansatz aber ich komme an nem bestimmten punkt nicht weiter...schaut erstma:
also ich soll ja zeigen dass
[mm] (1+p)^{p^{n-1}} \equiv [/mm] 1 + [mm] p^{n} [/mm] (mod [mm] p^{n+1})
[/mm]
nach den moduloregeln gilt doch:
a [mm] \equiv [/mm] (modc) genau dann wenn c | (a-b)
das würde bei uns bedeuten, es genügt zu zeigen:
[mm] p^{n+1} [/mm] | ( [mm] (1+p)^{p^{n-1}} [/mm] - [mm] (1+p^{n}) [/mm] )
[mm] (1+p)^{p^{n-1}} [/mm] lässt sich als binomialkoeffizient schreiben zu:
[mm] \summe_{k=0}^{p^{n-1}} \vektor{p^{n-1} \\ k} p^{k}
[/mm]
schreiben wir das nun als summe:
1 + [mm] p^{n-1}p [/mm] + [mm] \vektor{p^{n-1} \\ 2}p^2 [/mm] + [mm] \vektor{p^{n-1} \\ 3}p^3 [/mm] +...+ [mm] \vektor{p^{n-1} \\ p^{n-1}}p^{p^{n-1}}
[/mm]
wenn ich nun 1 + [mm] p^{n} [/mm] abziehe fallen die ersten beiden summanden weg: [mm] \vektor{p^{n-1} \\ 2}p^2 [/mm] + [mm] \vektor{p^{n-1} \\ 3}p^3 [/mm] +...+ [mm] \vektor{p^{n-1} \\ p^{n-1}}p^{p^{n-1}}
[/mm]
nun kann ich ja überall [mm] p^{n+1} [/mm] ausklammern in jedem summanden:
[mm] p^{n+1} [/mm] ( [mm] \bruch{(p^{n-2})!}{2!(p^{n-1}-2)!} [/mm] + [mm] \bruch{(p*p^{n-2})!}{3!(p^{n-1}-3)!} [/mm] + ... )
mein problem nun: wie zeig ich das der teil in der klammer eine ganze zahl ist? weil dann wäre ja der beweis schon fertig! wär schön wenn ihr mir helft! LG lenzlein
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Hallo lenzlein,
keine leichte Aufgabe...
Du schreibst zuviele Freiräume in Deine Formeln. Deswegen kommt unser Parser damit nicht klar.
> ok also ich hab jetzt mal einen ansatz aber ich komme an
> nem bestimmten punkt nicht weiter...schaut erstma:
> also ich soll ja zeigen dass
> [mm](1+p)^{p^{n-1}} \equiv[/mm] 1 + [mm]p^{n}[/mm] (mod [mm]p^{n+1})[/mm]
>
> nach den moduloregeln gilt doch:
> [mm] a\equiv \blue{b}(\mod{c}) [/mm] genau dann wenn c | (a-b)
Das b fehlte in der Aussage, aber dann ist sie richtig.
> das würde bei uns bedeuten, es genügt zu zeigen:
> [mm]p^{n+1}[/mm] | ( [mm](1+p)^{p^{n-1}}[/mm] - [mm](1+p^{n})[/mm] )
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm](1+p)^{p^{n-1}}[/mm] lässt sich als binomialkoeffizient
> schreiben zu:
Nicht "als" Bin.koeff., aber mit...
> [mm]\summe_{k=0}^{p^{n-1}} \vektor{p^{n-1} \\
k} p^{k}[/mm]
> schreiben wir das nun als summe:
Das steht doch schon da als Summe.  Du meinst, Du willst es ausschreiben.
> 1 + [mm]p^{n-1}p[/mm] + [mm]\vektor{p^{n-1} \\
2}p^2[/mm] + [mm]\vektor{p^{n-1} \\
3}p^3[/mm] +...+ [mm]\vektor{p^{n-1} \\
p^{n-1}}p^{p^{n-1}}[/mm]
> wenn ich nun 1 + [mm]p^{n}[/mm] abziehe fallen die ersten beiden
> summanden weg: [mm]\vektor{p^{n-1} \\
2}p^2[/mm] + [mm]\vektor{p^{n-1} \\
3}p^3[/mm] +...+ [mm]\vektor{p^{n-1} \\
p^{n-1}}p^{p^{n-1}}[/mm]
auch
> nun kann ich ja überall [mm]p^{n+1}[/mm] ausklammern in jedem
> summanden:
> [mm]p^{n+1}[/mm] ( [mm]\bruch{(p^{n-2})!}{2!(p^{n-1}-2)!}[/mm] + [mm]\bruch{(p*p^{n-2})!}{3!(p^{n-1}-3)!}[/mm] + ... )
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du kannst zwar ausklammern, aber das hast Du nicht richtig gemacht. Im Zähler steht ja immer [mm] p^{n-1}! [/mm] Es gilt:
[mm] p^{n-1}!=p^{n-1}*(p^{n-1}-1)!
[/mm]
Also heißt die ausgeklammerte Form:
[mm] ...=p^{n+1}\left(\bruch{(p^{n-1}-1)!}{2!(p^{n-1}-2)!}+\bruch{\blue{p}(p^{n-1}-1)!}{3!(p^{n-1}-3)!}+\cdots\right)
[/mm]
> mein problem nun: wie zeig ich das der teil in der klammer
> eine ganze zahl ist? weil dann wäre ja der beweis schon
> fertig! wär schön wenn ihr mir helft! LG lenzlein
Es interessieren nur die Glieder bis zu dem Binomialkoeffizienten [mm] \vektor{p^{n-1}\\n} [/mm] - danach kommen sicher nur noch ganze Zahlen, weil Du schon aus der Potenz von p Dein [mm] p^{n+1} [/mm] ausklammern kannst.
Für diese (insgesamt n-1) Binomialkoeffizienten musst Du nun herausfinden, ob man ihnen denn ungestraft ein [mm] p^{n-1} [/mm] entnehmen darf, wie Du es getan hast.
Dazu musst Du bestimmen, wie oft der Faktor p im Zähler und wie oft im Nenner vorkommt. Das verlangt ein bisschen Überlegung, ist aber eigentlich leicht möglich.
Ein Tipp: $ 3|3!,\ [mm] 3^4|3^2!,\ 3^{13}|3^3!,\ 3^{40}|3^4! [/mm] $ etc.
Grüße
reverend
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