Modulorechnung mit 2 Variabeln < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:37 Di 27.03.2012 | | Autor: | KehxD |
Guten Abend,
ich hänge derzeit an einem Beweis den ich für meine Seminararbeit eigentlich benötigen würde.
Zu beweisen ist:
Für:
[mm] x\in\IN\sub[/mm]
[mm] y\in\IN\sub[/mm]
[mm] x \le y [/mm]
[mm] y\ mod\ 4 \equiv (x\ mod\ 2) \* 2 [/mm]
Ist:
[mm] (3^x \* 2^{y-x}\ -\ 1)\ mod\ 5 \equiv 0 [/mm]
Ich versuche hier also nachzuweisen, dass die Formel unten stimmt, wenn sämtliche Bedingungen oben stimmen.
Bei $y\ mod\ 4 [mm] \equiv [/mm] (x\ mod\ 2) [mm] \* [/mm] 2$ erkennt man sofort, dass das nur Sinn macht für
[mm] y\ mod\ 4 \equiv 0\quad oder\quad y\ mod\ 4 \equiv 2[/mm]
da für
[mm] y\ mod\ 4 \equiv 1\quad oder\quad y\ mod\ 3 \equiv 2[/mm]
[mm] (x\ mod\ 2) \* 2 [/mm] niemals 1 oder 3 sein kann.
Und hier steh ich jetzt. Als Idee hatte ich das über Induktion zu beweisen, allerdings ist das schwer wie ich gemerkt habe. Natürlich könnte man das Trivial in 2 Modulo Funktionen spalten und beide für die Zahlen 1 bis 4 zeígen und es damit beweisen. (Wenn ich mich nicht täusche) Aber das Problem daran wäre, dass ich später versuche ähnliches zu machen, nur nicht eben nicht x mod 5 , sondern dann Geschichten wie x mod 101. Das dann für sämtliche Zahlen 0 bis 100 zu beweisen wäre nicht sonderlich leicht noch schön. Deshalb frage ich hier ob es eine Möglichkeit gibt das über Induktion zu beweisen, beziehungsweise wie es funktioniert, da ich mir fast sicher bin, dass es funktioniet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Guten Abend,
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> ich hänge derzeit an einem Beweis den ich für meine
> Seminararbeit eigentlich benötigen würde.
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> Zu beweisen ist:
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> Für:
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> [mm]x\in\IN\sub[/mm]
> [mm]y\in\IN\sub[/mm]
> [mm]x \le y[/mm]
>
> [mm]y\ mod\ 4 \equiv (x\ mod\ 2) \* 2 [/mm]
>
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> Ist:
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> [mm](3^x \* 2^{y-x}\ -\ 1)\ mod\ 5 \equiv 0[/mm]
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> Ich versuche hier also nachzuweisen, dass die Formel unten
> stimmt, wenn sämtliche Bedingungen oben stimmen.
> Bei [mm]y\ mod\ 4 \equiv (x\ mod\ 2) \* 2[/mm] erkennt man sofort,
> dass das nur Sinn macht für
>
> [mm]y\ mod\ 4 \equiv 0\quad oder\quad y\ mod\ 4 \equiv 2[/mm]
>
> da für
>
> [mm]y\ mod\ 4 \equiv 1\quad oder\quad y\ mod\ 3 \equiv 2[/mm]
>
> [mm](x\ mod\ 2) \* 2[/mm] niemals 1 oder 3 sein kann.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Daß $y\ mod\ 4 [mm] \equiv 0\quad oder\quad [/mm] y\ mod\ 4 [mm] \equiv [/mm] 2$ sein muß, stimmt.
Du könntest eine Fallunterscheidung machen:
1.Fall: [mm] y\equiv [/mm] 2 mod 4.
Dann muß [mm] x\equiv [/mm] 1 mod 2 sein.
Also gibt es k,l mit y=4k+2 und x=2l+1 ,
da [mm] x\le [/mm] y sein soll, muß [mm] 2k\ge [/mm] l sein.
Es ist
[mm] 3^{x}*2^{y-x}-1
[/mm]
[mm] =3^{2l+1}*2^{4k+2-2l-1}-1
[/mm]
[mm] =3*2*9^l*4^{2k-l}-1
[/mm]
[mm] =6*9^l*4^{2k-l}-1
[/mm]
(jetzt alle Zahlen mod 5:)
[mm] \equiv 1*(-1)^l*(-1)^{2k-l}-1 =(-1)^{2k}-1=1-1=0 [/mm] mod 5
Nun ähnlich den 2.Fall.
Worum geht es eigentlich? Was ist das Thema der Arbeit?
LG Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:55 Mi 28.03.2012 | | Autor: | KehxD |
Vielen Dank, hat mir wirklich weitergeholfen. Damit kann ich weiterarbeiten. =)
Worum es geht ist recht komplex schriftlich in einen post zu packen. Kurz gesagt es geht um Teilbarkeitsbeweise in exponentiellen Räumen ^^ Natürlich nicht ganz ungezielt. Allerdings ist der Weg wie ich auf diese Fragestellung oben kam sehr schwer darzustellen. Verarbeiten muss ich das ganze in meinem W-Seminar für Mathmatik, auch wenn ich noch nicht ganz einen Namen für meine Seminararbeit habe.
Trotzdem hätte ich noch eine weiterführende Frage, was auch noch ganz angenehm wäre, wenn es irgendwie geht. Allerdings weiß ich nicht ob das möglich ist.
Ist es möglich den Beweis in einem Zug zu machen? Also gibt es eine Möglichkeit für einen Beweis ohne Fallunterscheidung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Do 05.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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