Mögliche Eigenwerte d. Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Mi 18.01.2012 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | Es sei A eine Matrix mit der Eigenschaft [mm] A^2 [/mm] = A. Zeigen Sie, dass dann
0 und 1 die einzigen möglichen Eigenwerte von A sind. |
So also wie bin ich vorgegangen. Ich habe mir eine Einheitsmatrix ausgesucht. Ich bin von dem Fall 3x3 ausgegangen. Als charakteristisches Polynom habe ich [mm] \lambda=1 [/mm] herraus.
Wenn ich dann aber meinen Eigenwert ausrechnen möchte, mit [mm] (A-\lambda E)\vec{v}=\vec{0} [/mm] bekomme ich eine reine 0 Matrix heraus! Was ist denn mit dem Eigenwert 1?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Mi 18.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es sei A eine Matrix mit der Eigenschaft [mm]A^2[/mm] = A. Zeigen
> Sie, dass dann
> 0 und 1 die einzigen möglichen Eigenwerte von A sind.
> So also wie bin ich vorgegangen. Ich habe mir eine
> Einheitsmatrix ausgesucht.
Du sollst Dir keine spezielle Matrix aussuchen !
> Ich bin von dem Fall 3x3 ausgegangen.
Du sollst Dir kein spezielles Format aussuchen !
> Als charakteristisches Polynom habe ich
> [mm]\lambda=1[/mm] herraus.
Wie ? Das ist doch kein Polynom !
>
> Wenn ich dann aber meinen Eigenwert ausrechnen möchte, mit
> [mm](A-\lambda E)\vec{v}=\vec{0}[/mm] bekomme ich eine reine 0
> Matrix heraus! Was ist denn mit dem Eigenwert 1?
Das kommt daher, weil Du Dir die Einheitsmatrix rausgepickt hast.
Zeigen sollst Du: ist A eine Matrix mit [mm] $A^2=A$ [/mm] und ist [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A, so ist [mm] \lambda=0 [/mm] oder [mm] \lambda=1.
[/mm]
Sei also [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A. Sei x ein zu [mm] \lambda [/mm] geh. Eigenvektor. Es gilt also:
$Ax= [mm] \lambda*x$.
[/mm]
Es folgt:
$A^2x= [mm] \lambda*Ax= \lambda^2*x$.
[/mm]
So nun mach Du mal weiter. Verwendet wurde bislang noch nicht die Vor. [mm] $A^2=A$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Mi 18.01.2012 | | Autor: | durden88 |
Also uns wurde gesagt, dass wir das mit der EInheitsmatrix bestimmten sollen, als Tipp. Und wenn ich eine nxn Matrix wähle, bekomme ich auch [mm] \lambda= [/mm] 1 heraus für das charakteristische Polynom.
Eines wollt ich nochmal grundlegend klären: Wenn nach dem Eigenwert gefragt ist, muss ich zuerst das charakteristische Polynom ausrechnen, und dieses dann in [mm] det(A-\lambda) [/mm] einsetzen und bekomme dann die Eigenwerte raus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Mi 18.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Also uns wurde gesagt, dass wir das mit der EInheitsmatrix
> bestimmten sollen, als Tipp.
Keine Ahnung, was damit gemeint sein soll.
> Und wenn ich eine nxn Matrix
> wähle, bekomme ich auch [mm]\lambda=[/mm] 1 heraus für das
> charakteristische Polynom.
Nochmal: " [mm]\lambda=[/mm] 1" ist kein Polynom !!
>
> Eines wollt ich nochmal grundlegend klären: Wenn nach dem
> Eigenwert gefragt ist, muss ich zuerst das
> charakteristische Polynom ausrechnen, und dieses dann in
> [mm]det(A-\lambda)[/mm] einsetzen
????
[mm]det(A-\lambda)[/mm] ist doch das char. Polynom !!
> und bekomme dann die Eigenwerte
> raus?
Warum machst Du eigentlich nicht das , was ich Dir gesagt habe ? Glaube mir, es funktioniert bestens, denn ich bins, der FRED.
Wir hatten:
(1) $Ax= [mm] \lambda*x$
[/mm]
und
(2) $A^2x= [mm] \lambda^2*x$.
[/mm]
Wegen [mm] $A^2=A$ [/mm] ist $A^2x=Ax$ , also
$ [mm] \lambda*x= \lambda^2*x$.
[/mm]
Da x [mm] \ne [/mm] 0 ist, folgt: $ [mm] \lambda= \lambda^2$.
[/mm]
Und das bedeutet für [mm] \lambda [/mm] nun was ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Mi 18.01.2012 | | Autor: | durden88 |
Ich glaub bei mir fehlt ein wenig das Grundverständnis. Ich mach mal ein Beispiel:
[mm] A=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
Charakteristisches Polynom:
[mm] \lambda(\lambda)=det(A-\lambda_E)
[/mm]
[mm] =\vmat{ 0-\lambda & 1 \\ 1 & 0-\lambda }=\lambda^2-1
[/mm]
Dann [mm] \lambda^2-1=0
[/mm]
dann [mm] \lambda_1=1, \lambda_2=-1
[/mm]
Eigenwert:
[mm] (A-\lambda E)\vec{v}=\vec{0}
[/mm]
[mm] \lambda_1 [/mm] eingesetzt
-->y=x
--> [mm] Eig(A,\lambda=1)=\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \lambda_2 [/mm] eingesetz:
--> x=-y
--> [mm] Eig(A,\lambda=-1)=\vektor{1 \\ -1}
[/mm]
Das sind doch dann meine Eigenwerte oder wie? So und das hab ich nun auf die Einheitsmatrix angewendet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Mi 18.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich glaub bei mir fehlt ein wenig das Grundverständnis.
> Ich mach mal ein Beispiel:
>
> [mm]A=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
>
> Charakteristisches Polynom:
>
> [mm]\lambda(\lambda)=det(A-\lambda_E)[/mm]
> [mm]=\vmat{ 0-\lambda & 1 \\ 1 & 0-\lambda }=\lambda^2-1[/mm]
>
> Dann [mm]\lambda^2-1=0[/mm]
> dann [mm]\lambda_1=1, \lambda_2=-1[/mm]
>
> Eigenwert:
>
> [mm](A-\lambda E)\vec{v}=\vec{0}[/mm]
>
> [mm]\lambda_1[/mm] eingesetzt
> -->y=x
> --> [mm]Eig(A,\lambda=1)=\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> [mm]\lambda_2[/mm]
> eingesetz:
> --> x=-y
> --> [mm]Eig(A,\lambda=-1)=\vektor{1 \\ -1}[/mm]
>
> Das sind doch dann meine Eigenwerte oder wie?
Nein. Du hast die zugeh. Eigenvektore bestimmt.
Die Eigenwerte sind [mm]\lambda_1=1, \lambda_2=-1[/mm]
> So und das
> hab ich nun auf die Einheitsmatrix angewendet.
Wie ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Mi 18.01.2012 | | Autor: | durden88 |
Also:
[mm] \pmat{ 1 & 0&0 \\ 0& 1&0\\0&0&1 }=\vmat{ 1-\lambda & 0&0 \\ 0 & 1-\lambda&0\\0&0&1-\lambda }=(1-\lambda)*\pmat{ 1-\lambda&0\\0&1-\lambda}=\lambda^3-3\lambda^2+3\lambda-1
[/mm]
Dann Polynomdivision und ich bekomme für [mm] \lamda=1 [/mm] heraus! So und wenn man sich mal anschaut, kann ich auch 0 für [mm] \lambda [/mm] einsetzen, weil dann gilt auch [mm] A=A^2.
[/mm]
Zudem kann ich die Einheitsmatrix auch ins unendliche gehen lassen, das würde immer gehen. Kann ich es nicht so beweisen, ich mein mir wurde das mit der Einheitsmatrix vorgegeben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Mi 18.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Also:
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> [mm]\pmat{ 1 & 0&0 \\ 0& 1&0\\0&0&1 }=\vmat{ 1-\lambda & 0&0 \\ 0 & 1-\lambda&0\\0&0&1-\lambda }=(1-\lambda)*\pmat{ 1-\lambda&0\\0&1-\lambda}=\lambda^3-3\lambda^2+3\lambda-1[/mm]
Gibst das ? Solche Klimmzüge veranstaltest Du, um das char. Polynom der Einheitsmatrix zu berechnen ?
>
> Dann Polynomdivision und ich bekomme für [mm]\lamda=1[/mm] heraus!
Du bekommst, dass [mm]\lambda=1[/mm] eine Nullstell des obigen Polynoms ist !
> So und wenn man sich mal anschaut, kann ich auch 0 für
> [mm]\lambda[/mm] einsetzen, weil dann gilt auch [mm]A=A^2.[/mm]
Ich hab keine Ahnung von was Du sprichst und worauf Du hinaus willst.
>
> Zudem kann ich die Einheitsmatrix auch ins unendliche gehen
> lassen,
Was ist los ? Bindest Du die Einheitsmatrix an eine Rakete, die Du ins All schießt ?
> das würde immer gehen.
Das bezweifle ich ......
> Kann ich es nicht so
> beweisen,
Nein ! Nie und nimmer.
> ich mein mir wurde das mit der Einheitsmatrix
> vorgegeben?
Wie lautet denn der Tipp, den Du bekommen hast genau ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 Mi 18.01.2012 | | Autor: | durden88 |
Den Tip den ich bekommen habe lautete: Versucht´s mal mit der Einheitsmatrix, dann wisst ihr schon.......
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:51 Mi 18.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Den Tip den ich bekommen habe lautete: Versucht´s mal mit
> der Einheitsmatrix, dann wisst ihr schon.......
Für diese Aufgabe:
Es sei A eine Matrix mit der Eigenschaft $ [mm] A^2 [/mm] $ = A. Zeigen Sie, dass dann
0 und 1 die einzigen möglichen Eigenwerte von A sind.
???
Merkwürdig....
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Mi 18.01.2012 | | Autor: | durden88 |
Aber wieso, das macht doch durchaus Sinn. Weil [mm] 1^2 [/mm] ist doch 1, also ist es dann auch die gleiche Matrix.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 Mi 18.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Aber wieso, das macht doch durchaus Sinn.
Für mich nicht
> Weil [mm]1^2[/mm] ist doch
> 1, also ist es dann auch die gleiche Matrix.
Was soll das ? Es gibt unendlich viele Matrizen A mit [mm] A^2=A
[/mm]
FRED
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