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Möglichkeiten Auswahl: Auswahl Elemente
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:41 Mo 02.03.2020
Autor: tinakru

Aufgabe
Es sei A = {1;2;3;4;5;6}
und B = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12}
C soll insgesamt 6 Elemente haben, wobei drei Elemente aus A sein müssen.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, ein solches Ereignis C zu bilden?

Hallo zusammen!
Ich hätte zu obiger Frage ein Lösung bzw. eine Verständnisfrage.

Ich muss drei Elemente aus A haben, also 3 aus 6 gleich 20 Möglichkeiten; desweiteren muss ich drei Elemente aus B haben, wobei aber 6 schon ausscheiden, also wieder 3 aus 6 = 20 Optionen.
Insgesamt also 20 * 20 = 400 Möglichkeiten.

Stimmt das oder habe ich hier irgendwo einen Denkfehler?

Herzliche Dank!
Tina

        
Bezug
Möglichkeiten Auswahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:40 Mo 02.03.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  C soll insgesamt 6 Elemente haben, wobei drei Elemente aus A sein müssen.

mindestens drei, exakt drei?
Deiner Lösung nach, nehme ich an, exakt drei.

> Ich muss drei Elemente aus A haben, also 3 aus 6 gleich 20
> Möglichkeiten; desweiteren muss ich drei Elemente aus B
> haben, wobei aber 6 schon ausscheiden, also wieder 3 aus 6
> = 20 Optionen.
>  Insgesamt also 20 * 20 = 400 Möglichkeiten.
>  
> Stimmt das oder habe ich hier irgendwo einen Denkfehler?

Passt, bis auf obige Anmerkung.

Gruß,
Gono


Bezug
        
Bezug
Möglichkeiten Auswahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:34 Mo 02.03.2020
Autor: HJKweseleit


> Es sei A = {1;2;3;4;5;6}
>  und B = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12}
>  C soll insgesamt 6 Elemente haben, wobei drei Elemente aus
> A sein müssen.

Zunächst suchst du 3 Elemente aus A aus. Dafür gibt es [mm] \vektor{6 \\ 3} [/mm] Möglichkeiten.

Von den restlichen 3 Elementen wird nichts gesagt. Ich gehe davon aus, dass nur Elemente aus A oder B in Frage kommen.

B hat 12 Elemente. Da A Untermenge von B ist, sind 3 davon bereits ausgewählt. Deshalb kannst du von den anderen 9 Elementen aus B noch 3 weitere auswählen, denn die übrigen 3 dürfen ja auch aus A sein. Dafür gibt es [mm] \vektor{9 \\ 3} [/mm] Möglichkeiten. Macht zusammen [mm] \vektor{6 \\ 3}*\vektor{9 \\ 3} [/mm] Möglichkeiten = 1680 Möglichkeiten.

ABER:

So harmlos ist die Sache nicht!

Nehmen wir an, wir hätten zunächst 1,2 und 3 aus A gewählt und dann 4, 5 und 8 dazu. Das ist aber die selbe Auswahl, als hätten wir zuerst 1, 4 und 5 und dann 2, 3 und 8 gewählt. Genau so mit 1, 3 und 5 und dann 2, 4 und 8 usw.

Das bedeutet, dass wir viele der Möglichkeiten mehrfach zählen, wenn wir obige Formel benutzen.

Deshalb müssen wir die folgenden Fälle einzeln unterscheiden:

Genau 3 Elemente aus A: [mm] \vektor{6 \\ 3}*\vektor{6 \\ 3} [/mm] Möglichkeiten = 400 Möglichkeiten

Genau 4 Elemente aus A: [mm] \vektor{6 \\ 4}*\vektor{6 \\ 2} [/mm] Möglichkeiten = 225 Möglichkeiten

Genau 5 Elemente aus A: [mm] \vektor{6 \\ 5}*\vektor{6 \\ 1} [/mm] Möglichkeiten = 36 Möglichkeiten

Genau 6 Elemente aus A: [mm] \vektor{6 \\ 6}*\vektor{6 \\ 0} [/mm] Möglichkeiten = 1 Möglichkeit

Zusammen: 662 Möglichkeiten.



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