www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Differenzialrechnung" - Momentane Änderungsrate
Momentane Änderungsrate < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Momentane Änderungsrate: Lösen ohne abzuleiten
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:20 So 30.11.2014
Autor: marvinthebox

Aufgabe
[mm] f(x)=\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{3} [/mm]
[mm] x_{0}=-\bruch{1}{2} [/mm]

Was ist die momentane Änderungsrate im Punkt [mm] x_{0}=-\bruch{1}{2} [/mm] ?

Guten Tag, ich bin mir grad unsicher wie man diese Aufgabe löst, ohne abzuleiten. Ich kenne folgende Möglichkeiten zur Lösung:

1) Differenzialquotienten bilden und nachdem soweit wie es geht eingesetzt und zusammengefasst wurde => Polynomdivision

2) Differenzialquotienten bilden und nachdem soweit es geht eingesetzt und zusammengefasst wurde => Ausklammern / Faktorisieren / Kürzen (das klappt aber soweit ich weiß nur bei quadratischen Gleichungen ?)

3) Ableitung

meine Lösungen:

1) Ich bekomme einen Rest bei der Polynomendivision und komme somit auf kein Ergebnis

Dividend: [mm] \bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{11}{48} [/mm]
Divisor: [mm] x+\bruch{1}{2} [/mm]

2) Ich komme nach dem zusammenfassen nicht weiter, mein Differenzialquotient sieht folgendermaßen aus:

[mm] \bruch{\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{11}{48}}{x+\bruch{1}{2}} [/mm]

Ich sehe keinen gemeinsamen Faktor den ich ausklammern könnte. Ich sehe auch kein Binom (Ausgang aus einer binomischen Formel).

3) Durch das Ableiten bekomme ich folgendes:

[mm] f(x)=\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{3} [/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{1}{2} [/mm]

[mm] m=\bruch{1}{2}*(-\bruch{1}{2})^{2}-\bruch{1}{2} [/mm]
[mm] m=-\bruch{3}{8} [/mm]

Falls mir kein Fehler unterlaufen ist, dann ist die Änderungsrate im Punkt [mm] x_{0} [/mm] = [mm] -\bruch{3}{8} [/mm]  und gefordert wird, dass ich auf das Ergebnis komme, ohne abzuleiten. Wie geht sowas?

        
Bezug
Momentane Änderungsrate: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:52 So 30.11.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> [mm]f(x)=\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{3}[/mm]
> [mm]x_{0}=-\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> Was ist die momentane Änderungsrate im Punkt
> [mm]x_{0}=-\bruch{1}{2}[/mm] ?
>  Guten Tag, ich bin mir grad unsicher wie man diese Aufgabe
> löst, ohne abzuleiten. Ich kenne folgende Möglichkeiten
> zur Lösung:
>  
> 1) Differenzialquotienten bilden und nachdem soweit wie es
> geht eingesetzt und zusammengefasst wurde =>  Polynomdivision    [haee]

Hast du hier jetzt wirklich Differenzialquotienten (also
Ableitungen !) gemeint oder Differenzenquotienten ?
(das ist nämlich nicht dasselbe !)

  

> 2) Differenzialquotienten  [haee] bilden und nachdem soweit es geht
> eingesetzt und zusammengefasst wurde => Ausklammern /
> Faktorisieren / Kürzen (das klappt aber soweit ich weiß
> nur bei quadratischen Gleichungen ?)

Du meinst wieder Differenzenquotienten ! Und die
Methode sollte auch bei der vorliegenden kubischen
Funktion funktionieren. Sie läuft darauf hinaus, die
gesuchte Ableitung durch Grenzwertrechnung zu
ermitteln.

> 3) Ableitung
>  
> meine Lösungen:
>  
> 1) Ich bekomme einen Rest bei der Polynomendivision und
> komme somit auf kein Ergebnis
>  
> Dividend: [mm]\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{11}{48}[/mm]     [haee]

woher hast du denn den Bruch  [mm] $\bruch{11}{48}$ [/mm]  ??

>  Divisor: [mm]x+\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> 2) Ich komme nach dem zusammenfassen nicht weiter, mein
> Differenzialquotient sieht folgendermaßen aus:
>  
> [mm]\bruch{\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{11}{48}}{x+\bruch{1}{2}}[/mm]    [haee]

Dies ist jedenfalls kein Differenzialquotient !
  

> Ich sehe keinen gemeinsamen Faktor den ich ausklammern
> könnte. Ich sehe auch kein Binom (Ausgang aus einer
> binomischen Formel).
>  
> 3) Durch das Ableiten bekomme ich folgendes:
>  
> [mm]f(x)=\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{3}[/mm]
>  [mm]f'(x)=\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> [mm]m=\bruch{1}{2}*(-\bruch{1}{2})^{2}-\bruch{1}{2}[/mm]
>  [mm]m=-\bruch{3}{8}[/mm]
>  
> Falls mir kein Fehler unterlaufen ist, dann ist die
> Änderungsrate im Punkt [mm]x_{0}[/mm] = [mm]-\bruch{3}{8}[/mm]  und
> gefordert wird, dass ich auf das Ergebnis komme, ohne
> abzuleiten. Wie geht sowas?

Wenn du die (richtige) Polynomdivision

     $\ [mm] \left(\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{3}\right)\ [/mm] :\ [mm] \left(x\,+\,\frac{1}{2}\right)\ [/mm] =\ q(x)\ +\ [mm] \frac{Rest}{x\,+\,\frac{1}{2}}$ [/mm]

richtig durchführst, erhältst du eine Funktion q  mit  $\ q [mm] \left(-\frac{1}{2}\right)\ [/mm] =\ [mm] f'\left(-\frac{1}{2}\right)$ [/mm]

LG  ,    Al-Chwarizmi

    

Bezug
                
Bezug
Momentane Änderungsrate: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:47 So 30.11.2014
Autor: marvinthebox

Hi! Danke, irgendwas scheint schiefgelaufen zu sein.

Fangen wir an:

Unter einem Differenzenquotient verstehe ich folgendes:

[mm] \bruch{\Delta y}{\Delta x} [/mm]

Unter einem Differenzialquotienten verstehe ich folgendes:

[mm] \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm]

Demnach bin ich davon ausgegangen dass mein Differenzialquotient folgendermaßen aussieht:

[mm] \bruch{\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{3}-(\bruch{1}{6}(-\bruch{1}{2})^{3}-\bruch{1}{2}*(-\bruch{1}{2})-\bruch{1}{3})}{x-(-\bruch{1}{2})} [/mm]

also:

[mm] \bruch{\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{3}-(-\bruch{5}{84})}{x+\bruch{1}{2}} [/mm]

also:

[mm] \bruch{\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{11}{48}}{x+\bruch{1}{2}} [/mm]

Vertue ich mich ?

Zur Polynomdivision: Sie haben nun ( f(x) ) : [mm] (x-x_{o}) [/mm] berechnet, ich verstehe nicht ganz warum das erlaubt ist ?

Und nochetwas: Durch das Anwenden der h-Methode kann ich die Aufgabe lösen und komme tatsächlich auf die Steigung [mm] -\bruch{3}{8} [/mm] - Verlangt wird aber von unserem Lehrer die Lösung unter Berücksichtigung der h-Methode und mit dem Differenzialquotienten / Polynomendivision - allerdings OHNE Ableitung.



Bezug
                        
Bezug
Momentane Änderungsrate: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:12 So 30.11.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Unter einem Differenzenquotient verstehe ich folgendes:
>  
> [mm]\bruch{\Delta y}{\Delta x}[/mm]
>  
> Unter einem Differenzialquotienten verstehe ich folgendes:
>  
> [mm]\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)



Dies ist immer noch derselbe Differenzenquotient, nur
eben ausführlicher notiert. Erst wenn man den Grenzwert
davon für  $\Delta x \to 0$  bzw. für  $\ x \to x_0$ gebildet hat,
hat man den Differentialquotient . Dieser ist also dann
identisch mit der Ableitung der Funktion an der Stelle x_0 :

    $\limes_{x\to x_0}\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\ =\ f'(x_0)\ =\ \left{ \frac{dy}{dx}} \right{|}_{x=x_0}$

  

> Demnach bin ich davon ausgegangen dass mein
> Differenzialquotient folgendermaßen aussieht:
>  
> [mm]\bruch{\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{3}-(\bruch{1}{6}(-\bruch{1}{2})^{3}-\bruch{1}{2}*(-\bruch{1}{2})-\bruch{1}{3})}{x-(-\bruch{1}{2})}[/mm]
>  
> also:
>  
> [mm]\bruch{\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{3}-(-\bruch{5}{84})}{x+\bruch{1}{2}}[/mm]
>  
> also:
>  
> [mm]\bruch{\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{11}{48}}{x+\bruch{1}{2}}[/mm]
>  
> Vertue ich mich ?

Nein, soweit ist es richtig (man muss nur wissen, dass dies
jetzt eben der Differenzenquotient   [mm] $\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ [/mm]
für die gegebene Funktion f und für   $\ [mm] x_0\ [/mm] =\ [mm] -\bruch{1}{2}$ [/mm]  ist ).

>  
> Zur Polynomdivision: Sie haben nun ( f(x) ) : [mm](x-x_{o})[/mm]
> berechnet, ich verstehe nicht ganz warum das erlaubt ist ?

Um ausgehend von dem Differenzenquotienten

[mm]\bruch{\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{11}{48}}{x+\bruch{1}{2}}[/mm]

weiterzurechnen, kannst du ja ebenfalls Polynomdivision
durchführen, und da schon klar ist, dass das eingesetzte [mm] x_0=\bruch{1}{2} [/mm]
eine Nullstelle von  [mm] p(x)=f(x)-f(x_0) [/mm] ist, muss diese
Polynomdivision auch ohne Rest "aufgehen". Das
Ergebnis ist übrigens:

   [mm]\bruch{\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{11}{48}}{x+\bruch{1}{2}}\ =\ \bruch{1}{6}x^{2}-\bruch{1}{12}x-\bruch{11}{24}\ =:\ q(x)[/mm]

  

> Und nochetwas: Durch das Anwenden der h-Methode kann ich
> die Aufgabe lösen und komme tatsächlich auf die Steigung
> [mm]-\bruch{3}{8}[/mm] - Verlangt wird aber von unserem Lehrer die
> Lösung unter Berücksichtigung der h-Methode und mit dem
> Differenzialquotienten  DIFFERENZEN-Quotient (!) / Polynomendivision - allerdings
> OHNE Ableitung.

Er meint vermutlich, dass man keine Ableitungsformeln wie
z.B.   $\ [mm] (x^3)'\ [/mm] =\ [mm] 3\,x^2$ [/mm]  verwenden soll.

Den gesuchten Ableitungswert  [mm] f'(x_0) [/mm]  erhältst du nun,
wenn du einfach  [mm] q(x_0) [/mm]  berechnest  (für das oben angegebene
quadratische Polynom q(x)  ! ) .

LG  ,   Al-Chw.

Bezug
                                
Bezug
Momentane Änderungsrate: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:26 So 30.11.2014
Autor: marvinthebox

Dankeschön für die Mühe, ich werde nun versuchen das alles zu verstehen. Offensichtlich habe ich irgendeinen Schritt noch nicht so verinnerlicht oder etwas verwechselt. Danke nochmal

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de