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| Aufgabe | Die Menge [mm] Z^Z [/mm] bildet zusammen mit der Hintereinanderausführung [mm] \circ [/mm] ein Monoid. Geben Sie die Verknüpfungstafel für den Fall [mm] Z=\{0,1\} [/mm] an; kennzeichnen Sie das neutrale Element, indem Sie es an erster Stelle anführen.
Ist das Monoid kommutativ, d.h., gilt für alle Elemente $f, g [mm] \in Z^Z [/mm] : f [mm] \circ [/mm] g = g [mm] \circ [/mm] f$?
(Diskutieren Sie hierfür entweder alle Fälle oder geben Sie ein Gegenbeispiel an.) |
Kann mir jemand die Aufgabe erklären. Besonders mit [mm] \circ [/mm] habe ich ein Problem. In einer anderen Vorlesung haben wir das als allgemeine Verknüpfung verwendet gehabt und bei Aufgabenstellungen wurde es dann definiert.
Die Tafel müsste so aussehen, aber ich weiß leider nicht, was ich an Stelle der Platzhalter stehen haben muss. Ich glaube mich zu entsinnen, dass die Tafel eine bestimmte Anordnung braucht, dass man sieht, dass es ein Monoid ist, bin mir da aber nicht sicher.
[mm] \vmat{ \circ & 0 & 1 \\ 0 & \Box & \Box \\ 1 & \Box & \Box}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Die Menge [mm]Z^Z[/mm] bildet zusammen mit der
> Hintereinanderausführung [mm]\circ[/mm] ein Monoid. Geben Sie die
> Verknüpfungstafel für den Fall [mm]Z=\{0,1\}[/mm] an; kennzeichnen
> Sie das neutrale Element, indem Sie es an erster Stelle
> anführen.
> Ist das Monoid kommutativ, d.h., gilt für alle Elemente [mm]f, g \in Z^Z : f \circ g = g \circ f[/mm]?
>
> (Diskutieren Sie hierfür entweder alle Fälle oder geben Sie
> ein Gegenbeispiel an.)
> Kann mir jemand die Aufgabe erklären. Besonders mit [mm]\circ[/mm]
> habe ich ein Problem.
Hallo,
ich habe den ganz fürchterlichen Verdacht, daß Dein Problem deutlich vor dem [mm] "\circ" [/mm] beginnt:
Ist Dir eigentlich klar, was mit [mm] Z^Z [/mm] gemeint ist? So etwas mußt Du unbedingt klären, bevor Du Dir irgendwelche weitergehenden Gedanken machst.
Schau mal in Deinen Unterlagen nach. Was steht da?
Mit [mm] Z^Z [/mm] dürften die Abbildungen von Z nach Z gemeint sein, untersuche, ob das zu Deinen Notizen paßt.
Du solltest nun zunächst mal alle entsprechenden Abbildungen aufstellen. Das sind die Elemente Deiner Menge.
Anschließend kannst Du dann verknüpfen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Do 10.04.2008 | | Autor: | Syladriel |
Ich habe auf der Uni noch jemanden gefragt, der mir das eben erklärt hat. Stimmt, das war nicht der Folie zu entnehmen. Die Vorlesung wird nicht mehr gehalten, aber dieses Semester noch Übungen angeboten, nach denen man, wenn man 50% der Punkte erreicht hat, eine Klausur schreiben darf. Die Folien selbst sind ziemlich ungenau und ausgerechnet bei der Übung gibt es bei mir Überschneidungen mit einer anderen Vorlesung, in der ich ebenfalls noch einen Schein brauche. Aber danke für deine Antwort, ich glaube, ich werde demnächst noch meine Lösung zur Kontrolle posten.
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Ich glaube, die Elemente sind $f(0)=0, f(0)=1, f(1)=0, f(1)=1$ und das wird verknüpft mit $g(0)=0, g(0)=1, g(1)=0, g(1)=1$. Also müsste in die Tabelle [mm] $f(g(\{0,1\}))$
[/mm]
Stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Do 10.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> Ich glaube, die Elemente sind [mm]f(0)=0, f(0)=1, f(1)=0, f(1)=1[/mm]
> und das wird verknüpft mit [mm]g(0)=0, g(0)=1, g(1)=0, g(1)=1[/mm].
> Also müsste in die Tabelle [mm]f(g(\{0,1\}))[/mm]
Versteh leider nicht so richtig was du damit meinst.
Also es ist [mm] $Z:=\{0,1\}$. $Z^Z$ [/mm] ist die Menge aller Abbildungen von $Z$ nach $Z$, d.h. ein Element von [mm] $Z^Z$ [/mm] wär z.B. die konstante Funktion
[mm] $$\pi_1=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }$$
[/mm]
(Die Schreibweise bedeutet [mm] $\pi_1(0):=1$ [/mm] und [mm] $\pi_1(1)=1$)
[/mm]
Insgesamt gibt es $4$ Funktionen von Z auf sich, d.h. deine Verknüpfungstafel muss auch [mm] $4\cdot4$ [/mm] Einträge haben.
Wie sehen die anderen Elemente von [mm] $Z^Z$ [/mm] aus?
Was bedeutet [mm] $\circ$, [/mm] die Hintereinanderausführung von Funktionen?
Wenn du das verstanden hast musst du dir mal die Hände n bischen schmutzig machen und die Verknüpfungstafel ausrechnen.
Dann siehst du auch was das neutrale Element is, und ob diese Struktur kommutativ is.
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Ich habe die vier Funktionen gebildet und herausgefunden:
[mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 1 } [/mm] ist das neutrale Element und die Verknüpfung ist nicht kommutativ.
Stimmt das?
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> Ich habe die vier Funktionen gebildet und herausgefunden:
Hallo,
vielleicht solltest Du uns die einmal ausführlich vorstellen:
[mm] f_1(0)=
[/mm]
[mm] f_1(1)=
[/mm]
[mm] f_2(0)=
[/mm]
[mm] f_2(1)=
[/mm]
usw.
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 1 }[/mm] ist das neutrale Element
Was meinst Du damit? Was soll die Schreibweise bedeuten? Was tut diese Abbildung?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:04 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Syladriel |
[mm] f_1(0)= [/mm] 0
[mm] f_1(1)= [/mm] 0
[mm] f_2(0)= [/mm] 1
[mm] f_2(1)= [/mm] 0
[mm] f_1(0)= [/mm] 0
[mm] f_1(1)= [/mm] 1
[mm] f_2(0)= [/mm] 1
[mm] f_2(1)= [/mm] 1
[mm] f_1 \circ f_1 [/mm] = [mm] f_1
[/mm]
[mm] f_1 \circ f_2 [/mm] = [mm] f_1
[/mm]
[mm] f_1 \circ f_3 [/mm] = [mm] f_1
[/mm]
[mm] f_1 \circ f_4 [/mm] = [mm] f_1
[/mm]
[mm] f_2 \circ f_1 [/mm] = [mm] f_4
[/mm]
[mm] f_2 \circ f_2 [/mm] = [mm] f_3
[/mm]
[mm] f_2 \circ f_3 [/mm] = [mm] f_2
[/mm]
[mm] f_2 \circ f_4 [/mm] = [mm] f_1
[/mm]
[mm] f_3 \circ f_1 [/mm] = [mm] f_1
[/mm]
[mm] f_3 \circ f_2 [/mm] = [mm] f_2
[/mm]
[mm] f_3 \circ f_3 [/mm] = [mm] f_3
[/mm]
[mm] f_3 \circ f_4 [/mm] = [mm] f_4
[/mm]
[mm] f_4 \circ f_1 [/mm] = [mm] f_4
[/mm]
[mm] f_4 \circ f_2 [/mm] = [mm] f_4
[/mm]
[mm] f_4 \circ f_3 [/mm] = [mm] f_4
[/mm]
[mm] f_4 \circ f_4 [/mm] = [mm] f_4
[/mm]
Daraus schließe ich:
[mm] f_3 [/mm] ist das neutrale Element
und
es ist nicht kommutativ
[mm] f_1 \circ f_2 \not= f_2 \circ f_1
[/mm]
[mm] f_1 \not= f_4
[/mm]
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Hallo,
ja, jetzt hast Du es verstanden!
Daß [mm] f_3 [/mm] das neutrale Element ist, ist nicht weiter verwunderlich, das ist ja die Identität.
> [mm]f_3(0)=[/mm] 0
> [mm]f_3(1)=[/mm] 1
Gruß v. Angela
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