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Monotonie: Lösung bekannt Schritte unklar
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:44 Do 07.02.2008
Autor: NightmareVirus

Hallo,

Sei
[mm] a_{n} [/mm] := (1 + [mm] \bruch{1}{n})^{n} [/mm]
Nun soll gezeigt werden, dass an streng monoton steigend ist.

Dazu werden in meinem Skript folgende Schritte gemacht:

Für n [mm] \in \IN [/mm] gilt
[mm] a_{n} [/mm] = (1 + [mm] \bruch{1}{n})^{n} [/mm]

= 1 * [mm] \produkt_{j=1}^{n}(1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}) [/mm]
(der schritt ist ja trivial)

mit der "Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel" folgt:

< ( [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] ( 1+ [mm] \summe_{j=1}^{n}(1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] ) [mm] )^{n+1} [/mm]
(diesen schritt versteh ich überhaupt nicht) siehe unten: (*)

= [mm] (\bruch{n+2}{n+1})^{n+1} [/mm]
(diesen schritt versteh ich auch nicht) siehe unten: (**)

= (1 + [mm] \bruch{1}{n+1})^{n+1} [/mm]
(verstanden)

=  [mm] a_{n+1} [/mm]
-----------------------------------

Also jetzt nochmal zu den Punkten (*) und (**) wo ich mein Probleme hab.

Wenn ich bei (*) die AGM-Ungleiochung anwende erhalte ich doch:

1 * [mm] \produkt_{j=1}^{n}(1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}) [/mm]

[mm] \le [/mm] 1 *   ( [mm] \bruch{1}{n} \summe_{j=1}^{n}(1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}))^{n} [/mm]

was meiner meinung nach aber keine große ähnlichkeit zu

< ( [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] ( 1+ [mm] \summe_{j=1}^{n}(1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] ) [mm] )^{n+1} [/mm]

hat

Und bei Schritt (**) hab ich auch keinen blasse Schimmer... ich hoffe mir kann jmd das erklären.


        
Bezug
Monotonie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:39 Do 07.02.2008
Autor: Somebody


> Hallo,
>  
> Sei
>  [mm]a_{n} := (1 + \bruch{1}{n})^{n}[/mm]
>  Nun soll gezeigt werden, dass an streng monoton steigend
> ist.
>  
> Dazu werden in meinem Skript folgende Schritte gemacht:
>  
> Für [mm]n \in \IN[/mm] gilt
>  [mm]a_{n} = (1 + \bruch{1}{n})^{n} = 1 * \produkt_{j=1}^{n}(1 + \bruch{1}{n})[/mm]
>  (der schritt ist ja trivial)
>  
> mit der "Ungleichung zwischen geometrischem und
> arithmetischem Mittel" folgt:
>  
> [mm]( \bruch{1}{n+1} ( 1+ \summe_{j=1}^{n}(1 + \bruch{1}{n})) )^{n+1}[/mm]
>  (diesen schritt versteh ich überhaupt nicht) siehe unten:
> (*)
>  
> = [mm](\bruch{n+2}{n+1})^{n+1}[/mm]
>  (diesen schritt versteh ich auch nicht) siehe unten: (**)
>  
> [mm]= (1 + \bruch{1}{n+1})^{n+1}[/mm]
>  (verstanden)
>  
> =  [mm]a_{n+1}[/mm]
>  -----------------------------------
>  
> Also jetzt nochmal zu den Punkten (*) und (**) wo ich mein
> Probleme hab.
>  
> Wenn ich bei (*) die AGM-Ungleiochung anwende erhalte ich
> doch:
>  
> [mm]1 * \produkt_{j=1}^{n}(1 + \bruch{1}{n})\le 1 * ( \bruch{1}{n} \summe_{j=1}^{n}(1 + \bruch{1}{n}))^{n}[/mm]
>  
> was meiner meinung nach aber keine große ähnlichkeit zu
>  
> [mm]( \bruch{1}{n+1} (\red{1}+ \summe_{j=1}^{n}(1 + \bruch{1}{n})))^{n+1}[/mm]
>  
> hat

Wegen dem schlauen Dazugeben des trivialen Faktors $1$ hat man eben $n+1$ Faktoren beim geometrischen Mittel und $n+1$ Summanden beim arithmetischen Mittel (deshalb ja der Summand [mm] $\red{1}$ [/mm] vor [mm] $\sum_{j=1}^\infty \left(1+\frac{1}{n}\right)$: [/mm] dann kommts gerade richtig.

>  
> Und bei Schritt (**) hab ich auch keinen blasse Schimmer...
> ich hoffe mir kann jmd das erklären.

[mm]\begin{array}{lcll} \left(\frac{1}{n+1}\left(1+ \summe_{j=1}^n\left(1 + \frac{1}{n}\right)\right)\right)^{n+1} &=& \left(\frac{1}{n+1}\left(1+\summe_{j=1}^n \frac{n+1}{n}\right)\right)^{n+1} &\text{Sumanden gleichnamig gemacht}\\ &=& \left(\frac{1}{n+1}\left(1+n\cdot\frac{n+1}{n}\right)\right)^{n+1} &\text{Summanden sind von $j$ unabhängig}\\ &=& \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1} \end{array}[/mm]


>  
> = [mm](\bruch{n+2}{n+1})^{n+1}[/mm]

Ok, das passt...

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