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Hallo,
ich weiß absolut nicht wie ich die Monotonie beweisen kann. Umkehrfunktionen, Werte- und Definitionsmenge angeben und das alles sind kein Problem, doch wie beweise ich ob eine Funktion monoton ist???
Freue mich sehr über Hilfe und danke im Voraus für die Mühen.
Liebe Grüße
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Hallo,
wenn ihr schon Ableitungen habt, so kannst du damit die Monotonie zeigen. Eine Funktion $f$ ist in $(a,b)$ monoton steigend, wenn [mm] $f'(x_0)\ge0$ [/mm] für alle [mm] $x_0\in [/mm] (a,b)$, bzw. [mm] $f'(x_0)>0$ [/mm] für strikt monoton steigend.
Analog bei (str.) monoton fallend.
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Mi 25.03.2009 | | Autor: | lifeuncut |
Nein, wir haben noch keine Ableitungen..
Wenn mein Lehrer nun nach einem Beweis für z.B. eine streng monoton fallende Funktion bittet, kann ich das schon beweisen, das wäre dann ja
f(x1)-f(x2)>0
doch wenn er schreibt, ich solle die Funktion auf Monotonie untersuchen, weiß ich ehrlich gesagt nicht wie ich das anstellen soll...
Was mir auch ein wenig Probleme bereitet, z.B. diese Aufgabe:
Zeige, dass der Graph streng monoton fällt.
f(x)=2x²+3
2*x1²+3-(2*x2²+3)>0 ?
2x1²-2x2²>0?
(x1-x2)*(x1+x2)>0?
<0 <0
x1<x2
x1-x2<0
bis zur Auflösung der binomischen Formel, verständlich, doch dann haperts um ehrlich zu sein. :(
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kann mir jemand zu meiner mitteilung helfen?
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Hallo lifeuncut,
Eine Funktion ist ja gerade monoton steigend, wenn gilt:
[mm]x \le y \Rightarrow f(x) \le f(y)[/mm] oder umgeformt [mm]f(x) - f(y) \le 0[/mm]
bzw. fallend wenn gilt:
[mm]x \le y \Rightarrow f(x) \ge f(y)[/mm] oder umgeformt [mm]f(x) - f(y) \ge 0[/mm]
Zu deiner Aufgabe:
> Zeige, dass der Graph streng monoton fällt.
> [mm]f(x)=2x^2+3[/mm]
Als erstes: Nutze doch bitte den Formeleditor, das macht vieles deutlich lesbarer.
Als zweites: Dass er Graph monoton fällt, stimmt ja schonmal nicht, sondern gilt nur für einen bestimmten Teil des Graphen, lautet die Aufgabe nicht eher, für welchen Bereich fällt der Graph streng monoton?
Also: Für welche [mm]x f(y)\text{}[/mm] bzw [mm]f(y) - f(x) < 0 \text{}[/mm]
Einsetzen:
[mm]2y^2 + 3 - 2x^2 - 3 = 2y^2 - 2x^2 < 0[/mm]
Durch 2 teilen:
[mm]y^2 - x^2 < 0[/mm]
Dritte binomische Formel [mm](x-y)(x+y) = x^2 - y^2[/mm]
[mm](y - x)(y + x) < 0[/mm]
Überlege nun, wann ein Produkt kleiner 0 ist, denke daran, dass [mm]x < y[/mm] gilt.
MfG,
Gono.
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Hoffe das funktioniert nun mit der Darstellung, nutze das zum ersten mal.
Du schriebst für $ f(x) > [mm] f(y)\text{} [/mm] $ gilt $ f(y) - f(x) < 0 [mm] \text{} [/mm] $
müsste es nicht $ f(y) - f(x) > 0 [mm] \text{} [/mm] $ sein???
Steht so auch in meinem Buch, oder täusche ich mich völlig???
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> Hoffe das funktioniert nun mit der Darstellung, nutze das
> zum ersten mal.
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> Du schriebst für [mm]f(x) > f(y)\text{}[/mm] gilt [mm]f(y) - f(x) < 0 \text{}[/mm]
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> müsste es nicht [mm]f(y) - f(x) > 0 \text{}[/mm] sein???
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> Steht so auch in meinem Buch, oder täusche ich mich
> völlig???
>
Naja, das eine ist monoton fallend, das andere monoton steigend.
Die Umformungen sind eingentlich sehr einfach. Rechne auf beiden Seiten immer +f(x) bzw -f(y) oder umgekehrt.
MfG,
Gono.
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