Monotonie < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der folgenden Funktionen:
[mm] f_{1}:\IR\to\IR f_{1}(x)=\begin{cases} x^2+1, & \mbox{für } x\le0 \\ 1-2x, & \mbox{für } 0
[mm] f_{2}: (-\infty, [/mm] 0) [mm] \to \IR f_{2}(x)= exp^{\bruch{1}{x}}
[/mm]
[mm] f_{3}: \IR \to \IR f_{3}(x)=k [/mm] für [mm] k\le [/mm] x <k+1 mit [mm] k\in \IZ [/mm] |
Hallo.
Ich soll die oben beschriebenen Aufgaben auf ihr Monotonieverhalten untersuchen.
Zunächst: Wie erstelle ich ein Leerzeichen zwischen [mm] \IR [/mm] und [mm] f_{2}? [/mm] Die Formatierung sieht bei mir nicht so gut aus :(.
Zu den Aufgaben.
Ich habe dazu nun folgende Lösung erarbeitet:
1)1. [mm] x^2+1 x\le [/mm] 0
[mm] x_{1}>x_{2}>x_{3} [/mm] soll gelten.
0>-1>-2 bspw.
[mm] \rightarrow
[/mm]
[mm] f{x_{1}}
0<1<4 usw.
2. 1-2x=f(x) 0<x<1
[mm] x_{1}>x_{2}>x_{3}
[/mm]
0.9>0.8>0.7
[mm] f{x_{1}}
-0.8<-0.6<-0.4
3.f(x)=-10 1<x
Bei 1 und 2 sind die Funktionen streng monoton fallend.
Da 3 eine Konstante ist, kann sie ja sowohl monoton wachsend, wie auch monoton fallend sein.
Sollte sie monoton fallend sein, so ist die Funktion monoton fallend, da sie aus 2 streng monoton fallenden Komponenten und 1 monoton fallender Komponenten besteht.
-> So richtig?
2. Aufgabe
Hier bin ich mir nicht sicher wie ich sie lösen soll.
exp als reele Zahl dargestellt ist irgendwas mit 2.7182.
Im Exponenten steht [mm] \bruch{1}{x}. [/mm] x liegt zwischen -infty und 0.
Habe ich ganz große Werte, wie x= -0.00001, so wird der Exponent sehr klein -> -1000000.
Der Exponent ist dann negativ, wodurch ich also [mm] \bruch{1}{e^100000} [/mm] berechne, was einem sehr sehr sehr kleinem Wert entspricht, da der Zähler klein ist und der Nenner groß.
Habe ich kleine Werte -> -1000 so wird der Exponent [mm] \bruch{1}{x} [/mm] groß ->-0.001.
Der Exponent ist negativ also steht dort dann [mm] \bruch{1}{e^0.001}.
[/mm]
f(x) ist zwar klein jedoch um ein vielfaches größer, als bei großem x.
Das ist meine Annäherung auf die Aufgabe. Jedoch weiß ich nicht wirklich wie ich hier rechnen soll.
3. Hier habe ich mir auch ein Schema überlegt:
f(x)=k
[mm] k\le [/mm] x < k+1
Als Beispiel habe ich gewählt:
x=1 x=0 x=-1 und x=-2 quasi die positiven und negativen Bereiche.
Bei 2=x gilt
[mm] k\le [/mm] 2< k+1
Werte die man für k einsetzen kann wären bspw. 2;1,9; 1,8 usw bis hin zur Annäherung an 1 aber nicht die 1 selbst.
Das selbe gilt für x=1.
Annäherung hier ist die 0.
Bei x=-1 gilt [mm] k\le [/mm] -1<k+1
Werte, die k annehmen kann -1; -1,1; -1,2 bis an die -2.
Bei 2=x ist f(2)=2 bei x=1 ist f(1)=1bei 0=x f(0)=0 bei x=-1 ist f(-1)=-1
[mm] x_{1}>x_{2}>x_{3} [/mm] folgt daraus, dass [mm] f(x_{1})>f(x_{2})>f(x_{3})
[/mm]
Also streng monoton steigend.
So richtig?
Danke im Vorraus und eine schöne Nacht.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Do 02.12.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Monotonie ist doch eine Aussage über die Steigung einer Funktion, also solltest du in deinen Überlegungen die "Stegungsfunktion" einer Funktion, also die Ableitung mit einfliessen lassen.
Hat die Ableitung Nullstellen? Was sind diese im Bezug auf die Monotonie?
Was heisst es, wenn die Ableitung keine Nullstellen besitzt?
So wie du es hingeschrieben hast, ist alles sehr vage und ungenau formuliert.
Marius
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Hallo und danke für die Antwort.
Nunja, wie soll man denn eine Funktion Ableiten, die definiert wird durch unterschiedliche Abschnitt mit unterschiedlichen Funktionen? Also [mm] f_{1}
[/mm]
Bei 1. wären die einzelnen Ableitungen folgende: 1.2x 2.-2 3.0
Bei der 1 Teilfunktion wäre die Steigung also 2x. Da die Funktion für einen negativen Zahlenbereich definiert ist, ist sie also streng monoton fallend (aufgrund ihrer Steigung)
Die 2.Teilfunktion hat eine konstante Steigung. Die Steigung ist überall gleich -> -2 weshalb die Funktion monoton fallend/steigend ist?
Die 3.Teilfunktion ist eine konstante. f`(x)=0
Das ergibt wieder eine Konstante. Wenn die Steigung eine konstante ist spricht man dann überhaupt von einer Steigung?
Laut meinem Buch gilt wenn: [mm] x_{1}>x_{2} [/mm] und [mm] f(x_{1})\ge f(x_{2}) [/mm] das es sich um eine monoton steigende Funktion handelt bzw. bei [mm] f(x_{1})\le f(x_{2}) [/mm] um eine monoton fallende Funktion, was ja bei -10 der Fall ist.
Die Gesamtfunktion hätte demnach keine Monotonie?
2. [mm] exp^{\bruch{1}{x}} [/mm] Die Ableitung von [mm] e^x [/mm] ist immer [mm] e^x.
[/mm]
[mm] f(x)=e^{\bruch{1}{x}} f´(x)=e^{\bruch{1}{x}}
[/mm]
Das sagt mir doch aber nichts über die Monotonie der Funktion?
3. f(x)=k
Ich bin mir nicht sicher wie ich hier Ableiten soll. k ist doch eine Konstante und x die Variable also ist f´(x)=0 oder?
Danke im Voraus.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Do 02.12.2010 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo und danke für die Antwort.
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> Nunja, wie soll man denn eine Funktion Ableiten, die
> definiert wird durch unterschiedliche Abschnitt mit
> unterschiedlichen Funktionen? Also [mm]f_{1}[/mm]
>
> Bei 1. wären die einzelnen Ableitungen folgende: 1.2x
> 2.-2 3.0
> Bei der 1 Teilfunktion wäre die Steigung also 2x. Da die
> Funktion für einen negativen Zahlenbereich definiert ist,
> ist sie also streng monoton fallend (aufgrund ihrer
> Steigung)
>
Okay
> Die 2.Teilfunktion hat eine konstante Steigung. Die
> Steigung ist überall gleich -> -2 weshalb die Funktion
> monoton fallend/steigend ist?
Eine Steigung von -2 bedeutet was? Fallend oder Steigend?
>
> Die 3.Teilfunktion ist eine konstante. f'(x)=0
> Das ergibt wieder eine Konstante. Wenn die Steigung eine
> konstante ist spricht man dann überhaupt von einer
> Steigung?
Klar, aber hier hast du in der Tat die Steigung Null, also...
>
> Laut meinem Buch gilt wenn: [mm]x_{1}>x_{2}[/mm] und [mm]f(x_{1})\ge f(x_{2})[/mm]
> das es sich um eine monoton steigende Funktion handelt bzw.
> bei [mm]f(x_{1})\le f(x_{2})[/mm] um eine monoton fallende Funktion,
> was ja bei -10 der Fall ist.
>
> Die Gesamtfunktion hätte demnach keine Monotonie?
>
> 2. [mm]exp^{\bruch{1}{x}}[/mm] Die Ableitung von [mm]e^x[/mm] ist immer [mm]e^x.[/mm]
Ja
> [mm]f(x)=e^{\bruch{1}{x}} f´(x)=e^{\bruch{1}{x}}[/mm]
Das ist aber eine falsche Folgerung, für [mm] f(x)=e^{\bruch{1}{x}} [/mm] brauchts du zur Ableitugnsbestimmung noch die Kettenregel.
>
> Das sagt mir doch aber nichts über die Monotonie der
> Funktion?
Oh doch. Mit der Ableitung bestimmst du doch gerade die Steigung der Funktion auf den einzelnen abschnitten. BEtrachte jetzt mal die "Definitionsschnittstellen" und eventuell vorhandene Nullstellen der Ableitungen, an denen ändert sich nämlich die Monotonie.
>
> 3. f(x)=k
> Ich bin mir nicht sicher wie ich hier Ableiten soll. k ist
> doch eine Konstante und x die Variable also ist f´(x)=0
> oder?
Yep.
Marius
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Hallo und danke für die Antwort.
Wenn bei [mm] f_{1} [/mm] nun die 3.Teilfunktion keine Steigung hat, die anderen beiden Teilfunktionen jedoch monoton (bzw. streng) fallend sind, so kann ich dann darauß schließen, das die gesamte Funktion keine Monotonie aufweist?
Denn wir müssen die Monotonie der ganzen Funktion beurteilen.
Ein paar meiner Kommilitonen haben gemeint, dass die Funktion monoton fallen ist, was jedoch im Wiederspruch zur 3.Teilfunktion stehen würde, oder?
Zur 2:
Blöd, dass ich die Kettenregel vergessen habe, war irgendwie klar...
Also ich hab die Funktion jetzt so aufgteilt:
g: [mm] x->\bruch{1}{x}=y
[/mm]
f: y-> [mm] e^y=e^{\bruch{1}{x}}
[/mm]
Kettenregel: [mm] (f\circg)´{x}=f´(g(x))*g´(x)
[/mm]
[mm] f´(x)=exp^x [/mm]
g´(x)=-x^-2 [mm] (f\circg)´{x}=exp^{\bruch{1}{x}}*-x^-2
[/mm]
Ist das so richtig? Das ist das 1mal. das ich die Kettenregel anwende. Lieber frage ich da nochmal nach :)
Also eine Polstelle hätte die Funktion bei 0, da [mm] \bruch{x}{0} [/mm] undefiniert ist. Aber 0 liegt nicht im Def-Bereich also ist es irrelevant.
Aber irgendwie kann ich auch mit der Ableitung nur wörtlich beschreiben wie die Funktion verläuft und das ist ungenau.
Nimmt man bspw einen kleines x (-1000) so wird der Exponent zu einem großen, negativen Wert -0.001. Das ist [mm] \bruch{1}{e^0.001} [/mm] bzw. [mm] \bruch{1}{\wurzel[1000]{e}} [/mm] also eine Zahl bei 1 liegend.
-x^-2 ist bei x=-1000 eine sehr kleine Zahl, die gegen 0 läuft.
Die Differenz kann man also bei kleinen Werten scheinbar außer acht lassen.
Die Steigung scheint wohl gegen 1 zu laufen?
Bei großen negativen Werten wie -0.001 wird [mm] \bruch{1}{x} [/mm] zu einer sehr kleinen negativen Zahl. Der Exponent ist also ein sehr kleiner, negativer.
Dadurch erhält man [mm] \bruch{1}{e^1000} [/mm] -> eine sehr kleine positive Zahl.
-x^-2 schmiegt hingegen bei großen negativen Werten zu einem kleinen negativen Wert (z.B bei x=-0.001 -> -1000000).
Man kann also bei sehr großen, negativen Werten [mm] e^{\bruch{1}{x}} [/mm] weniger Beachtung schenken.
Wie kann man die Steigung mathematisch betrachten?
3. Da die Funktion eine konstante ist, ist die Ableitung 0. Die Steigung ist also 0 und somit weist die Funktion keine Monotonie auf?
Richtig so?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Do 02.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh dir nochmal die Def. von miniton fallend an:
da steht [mm] x_1>x_2 [/mm] $ [mm] f(x_{1})\le f(x_{2}) [/mm] $
und nicht $ [mm] f(x_{1})< f(x_{2}) [/mm] $
das zweite wäre streng monoton.
bei [mm] e^{1/x} [/mm] ist deine Ableitung richtig [mm] e^{irgendwas}>0 [/mm] und [mm] -1/x^2<0
[/mm]
was ist mit Monotonie?
Trotz der anregung von rex, denke ich dass ihr das direkt machen sollt.
und zwar für alle fkt.
[mm] x_1>x_2 [/mm] folgt [mm] 1/x_1<1/x_2 [/mm] deshal [mm] e^{1/x1}
als Beispiel
so allgemein auch bei der ersten, dort Fallunterscheidung wenn [mm] x_1,X_2 [/mm] auf verschiedenen Seiten der "anschlussstellen der fkt sind, also [mm] x_1>0, x_2<0 [/mm] usw.
Ihr habt die monotonie nicht über die Steigung definiert, deshalb kannst du sie eigentlich auch nicht verwenden, es gehört ein Beweis dazu dass eure monotoniedef und de ableitung si zusammengehören, wie rex das -richtig- sagte.
(Frage: kam die Kettenregel bei euch auf der Schule nicht vor? Geht nicht gegen dich, ich sammle Versager von Schulen, die das Studieren erschweren)
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Do 02.12.2010 | | Autor: | Masseltof |
Hallo und danke für die Antworten.
Da ich gerade im Zeitstress bin und mir die Antworten gerne genau durchlese, schreibe ich schnell etwas zu deiner letzten Frage.
Nein, die Kettenregel kam bei uns nicht vor.
Folgendes kam bei uns ebenso nicht vor:
-Produktregel
-Quotientenregel
-Sinus/Cosinus -> allgemein nicht -> keine Ableitungen, Aufleitungen, keine Periodizität etc.
-Logarithmen (Gott sei dank konnte ich mich etwas an die 9.Klasse erinnern)
-Exponentialfunktion -> Gelernt, dass e=2.7 ist und das [mm] e^x [/mm] abgeleitet [mm] e^x [/mm] ist. Mehr nicht
-Stetigkeit auch nicht
-> Alles was wir so in den letzten 4Wochen im Studium gebraucht haben, quasi. Ich war im Mathe Gk an einem normalen Gymnasium.
Bei meiner Freundin anderer Gk scheint es ähnlich gewesen zu sein.
Schaue ich in die Vergangenheit muss ich sagen, dass ich in 4 Wochen Uni Mathematik mehr als in 3 Jahren Oberstufenmathematik gelernt habe. Ich bezweifle, dass dies so sein sollte.
Gruß
Ps: Ich gehe davon aus, dass du dich mit Versagern auf Lehrer beziehst?
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Hallo.
Danke für eure Hilfe. Ja Monotonie haben wir nicht über Ableitungen definiert.
Bei der 1. Funktion habe ich dann folgendes raus:
[mm] x_{1}>x_{2} f(x_{2})>f{_x{1}} [/mm] für die 1.Teilfunktion -> streng monoton fallend
Für die 2. Teilfunktion [mm] x_{1}f(x_{2}) [/mm] -> streng monoton fallend
Für die 3. Teilfunktion [mm] x_{1}>x_{2} f(x_{1})=f(x_{2}) [/mm] -> monoton fallend/steigend -> da [mm] f(x_{i})=-10 [/mm] -> konstant ist.
Aber wie unterscheide ich hier den Fall?
2.Funktion Definitionsbereich x<0
-> [mm] x_{1}>x_{2} [/mm] Annahme Bsp: [mm] x_{1}=-2 x_{2}=-3
[/mm]
Betrachten des Exponenten: [mm] \bruch{1}{x} [/mm] -> [mm] \bruch{1}{x_{1}}>\bruch{1}{x_{2}} [/mm] Bsp: [mm] \bruch{1}{-2}>\bruch{1}{-3}
[/mm]
-> Beziehen auf [mm] e^\bruch{1}{x} [/mm] -> [mm] \bruch{1}{\wurzel{e}}<\bruch{1}{\wurzel[3]{e}}
[/mm]
Damit ist [mm] f(x_{2})>f(x_{1}) [/mm]
Denn je weiter ich mich ins negative bewege destso kleiner werden die negativen Werte. Man muss immer größere n-fache Wurzeln von e ziehen, wodurch diese kleiner werden, der Bruch jedoch größer.
Diese Funktion ist streng monoton fallend.
3. Funktion
Diese Funktio ist einfach konstant. Da bei [mm] x_{1}>x_{2} f(x_{1})=f(x_{2}) [/mm] folgt ist die Funktion monoton fallend oder steigend nach Definition.
Ps: Den satz habe ich nicht ganz verstanden:
so allgemein auch bei der ersten, dort Fallunterscheidung wenn $ [mm] x_1,X_2 [/mm] $ auf verschiedenen Seiten der "anschlussstellen der fkt sind, also $ [mm] x_1>0, x_2<0 [/mm] $ usw.
Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt, danke :)
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Fr 03.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein das Versagen schieb ich nicht auf die Lehrer, sondern auf die Schukpolotik und die Philosophie, dass man nur "wirklichkeitsnahe" robleme behandeln soll, die in wirklichkeit nichts oder selten mit nahe am realen Leben zu tun haben.
Für die vorbildung schlägst du dich gut! Aber vielleicht bercht doch mal an deine Schule zurück! vorallen auch für die Beratung in 11, man hat söpäter viele schwierigkeiten in fast allen naturw. Fächern ( und einigen anderen wie medizin, BWL,VWL und mehr ohne LK mathe, bei nem guten Lehrer.
zu deinen Fragen:
> Danke für eure Hilfe. Ja Monotonie haben wir nicht über
> Ableitungen definiert.
> Bei der 1. Funktion habe ich dann folgendes raus:
>
> [mm]x_{1}>x_{2} f(x_{2})>f{_x{1}}[/mm] für die 1.Teilfunktion ->
> streng monoton fallend
richtig, aber du solltest es konkret mit der fkt und Begründung hinschreben
> Für die 2. Teilfunktion [mm]x_{1}f(x_{2})[/mm] ->
> streng monoton fallend
richtig aber s.o.
> Für die 3. Teilfunktion [mm]x_{1}>x_{2} f(x_{1})=f(x_{2})[/mm] ->
> monoton fallend/steigend -> da [mm]f(x_{i})=-10[/mm] -> konstant
> ist.
> Aber wie unterscheide ich hier den Fall?
gar nicht, du schlißest, dass die fkt insgesamt monoton, aber nicht streng monoton fallend ist, aber im Intervall... streng monoton f.
> 2.Funktion Definitionsbereich x<0
> -> [mm]x_{1}>x_{2}[/mm] Annahme Bsp: [mm]x_{1}=-2 x_{2}=-3[/mm]
>
> Betrachten des Exponenten: [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ->
> [mm]\bruch{1}{x_{1}}>\bruch{1}{x_{2}}[/mm] Bsp:
> [mm]\bruch{1}{-2}>\bruch{1}{-3}[/mm]
>
> -> Beziehen auf [mm]e^\bruch{1}{x}[/mm] ->
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{e}}<\bruch{1}{\wurzel[3]{e}}[/mm]
>
> Damit ist [mm]f(x_{2})>f(x_{1})[/mm]
> Denn je weiter ich mich ins negative bewege destso kleiner
> werden die negativen Werte. Man muss immer größere
> n-fache Wurzeln von e ziehen, wodurch diese kleiner werden,
> der Bruch jedoch größer.
>
> Diese Funktion ist streng monoton fallend.
auch hier lieber allgemein:
0>x1>x2 folgt 1/x1<1/x2 und [mm] e^b
> 3. Funktion
> Diese Funktio ist einfach konstant. Da bei [mm]x_{1}>x_{2} f(x_{1})=f(x_{2})[/mm]
> folgt ist die Funktion monoton fallend oder steigend nach
> Definition.
Die Funktion ist nur konstant zwischen k und k+1
es ist eine Stufenfunktion (zeichne sie auf) wenn [mm] x1\in(k+n,k+n+1) n\in\IN [/mm] und x2 [mm] \in(k,k+1) [/mm] liegt also x2>x1 gilt f(x1)>f(x2) wegen f(x1)=k+n>k=f(x2) d.h.die funktion ist insgesamt monoton, aber nicht streng monoton steigend, da falls x1,x2 [mm] \in(k,k+1) [/mm] f(x2)=f(x1)
> Ps: Den satz habe ich nicht ganz verstanden:
>
> so allgemein auch bei der ersten, dort Fallunterscheidung
> wenn [mm]x_1,X_2[/mm] auf verschiedenen Seiten der "anschlussstellen
> der fkt sind, also [mm]x_1>0, x_2<0[/mm] usw.
Wenn alle 3 fktionsteile einzeln fallend sind könnten sie immer noch an den Stellen wo sie zusammengesetzt sind nach oben springen. du musst also zeigen, dass sie von beiden Seiten denselben Wert annehmen
wenn in a) etwa die 2te fkt 3-2x wäre, wäre sie auf ihren Def. Gebiet noch immer fallend, aber für etwa für x1=0,5 x2=-0.5 wäre f(x2)<f(x1)
bei der zweiten Stelle (x=1) wäre auch f=-1 monoton, aber eben wieder ein sprung nach oben. deshalb muss man auch für x2<0x1>0 und x2<1 x1>1 noch extra behandeln.
Gruss leduart
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Hallo.
Dann versuche ich mal die Monotonieregeln anzuwenden:
1. Gleichung
Annahme [mm] -x_{1}>-x_{2}
[/mm]
1. Teilgleichung: [mm] f(x)=x^2 [/mm] +1
[mm] f(x_{1}=x_{1}^2+1 f(x_{2})=x_{2}^2+1
[/mm]
[mm] \rightarrow f(x_{1})
Ist das so richtig? Das kann ich mir irgendwie nicht vorstellen. WÄre das nicht unpräzise formuliert?
Zu der k-Funktion:
Du schreibst:
wenn $ [mm] x1\in(k+n,k+n+1) n\in\IN [/mm] $ und x2 $ [mm] \in(k,k+1) [/mm] $ liegt also x2>x1 gilt f(x1)>f(x2) wegen f(x1)=k+n>k=f(x2)
Müsste es hier nicht heißen [mm] x_{1}\in [/mm] [k+n,k+n+1) und [mm] x_{2} \in [/mm] [k, k+1) -> rein formal gesehen? Denn die Funktion ist ja definiert mit k [mm] \le [/mm] x < k+1.
Ferner wüsste ich noch gerne , ob nicht auch [mm] x_{1}>x_{2} [/mm] sein kann, denn k ist ja definiert als [mm] \IZ [/mm] , wodurch k+n>k k+n<k und k+n=k gelten müsste.
Ich habe mir die Funktion vorgestellt und ich habe gemeint, was du unter Stufenfunktion meinst. Wie nennt man denn diese Sprünge zwischen zwei y-Werten (also parallel zur Ordinate) in denen keine weiteren y-Werte vorhanden sind? Dieser y-Bereich ist ja undefiniert.
Und nochr zur Annahme f(x)=3-2x mit [mm] x_{1}=0.5 [/mm] und [mm] x_{2}=-0.5
[/mm]
In diesem Fall ist doch [mm] f(x_{1})=2 [/mm] < [mm] f(x_{2})= [/mm] 3.
Bildlich verstehe ich diese Sprünge. Denn wenn ich 3 Funktionen hätte, die einzeln, wie du sagtest, monoton fallend wären, aber als Gesamtfunktion, verbunden Teile aufweisen würde die bspw. monoton steigen sind, so wäre die Gesamtfunktion ja nicht monoton fallend.
Heißt das, dass ich in der mir gegebenen Funktion die Stellen 0 und 1 für jede der 3 Teilfunktionen genau anschauen muss?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 Mo 06.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> 1. Gleichung
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> Annahme [mm]-x_{1}>-x_{2}[/mm]
ich gaube du meinst [mm] 0\ge [/mm] x1>x2
wenn du in -x1 etwa x=-3 einsetzt kommt doch +3 raus.
> 1. Teilgleichung: [mm]f(x)=x^2[/mm] +1
aus [mm] 0\ge [/mm] x1>x2 folgt [mm] x1^1
> [mm]f(x_{1}=x_{1}^2+1 f(x_{2})=x_{2}^2+1[/mm]
>
> [mm]\rightarrow f(x_{1})
>
> Ist das so richtig? Das kann ich mir irgendwie nicht
> vorstellen. WÄre das nicht unpräzise formuliert?
>
> Zu der k-Funktion:
> Du schreibst:
> wenn [mm]x1\in(k+n,k+n+1) n\in\IN[/mm] und x2 [mm]\in(k,k+1)[/mm] liegt
> also x2>x1 gilt f(x1)>f(x2) wegen f(x1)=k+n>k=f(x2)
>
> Müsste es hier nicht heißen [mm]x_{1}\in[/mm] [k+n,k+n+1) und
> [mm]x_{2} \in[/mm] [k, k+1) -> rein formal gesehen? Denn die
> Funktion ist ja definiert mit k [mm]\le[/mm] x < k+1.
du hast recht.
> Ferner wüsste ich noch gerne , ob nicht auch [mm]x_{1}>x_{2}[/mm]
> sein kann, denn k ist ja definiert als [mm]\IZ[/mm] , wodurch k+n>k
> k+n<k und="" k+n="k" gelten="" müsste.="">
nein [mm] n\in \IN [/mm] also 1,2,3,.. und dann ist egal ob k>0 oder k<0 k+n>k
> Ich habe mir die Funktion vorgestellt und ich habe gemeint,
> was du unter Stufenfunktion meinst. Wie nennt man denn
> diese Sprünge zwischen zwei y-Werten (also parallel zur
> Ordinate) in denen keine weiteren y-Werte vorhanden sind?
> Dieser y-Bereich ist ja undefiniert.
Was du meinst ist die fkt hat nur ganzzahlige Werte,für jedes x ist ein y definiert, der Wertebereich ist nur [mm] \IZ, [/mm] es gibt keine Umkehrfunktion.
aber bei [mm] y=x^2 [/mm] gibt es ja auch keinen Wert<0 für y, du sagst nicht da ist y nicht definiert, sondern der wertebereich ist [mm] \IR_+
[/mm]
> Und nochr zur Annahme f(x)=3-2x mit [mm]x_{1}=0.5[/mm] und
> [mm]x_{2}=-0.5[/mm]
> In diesem Fall ist doch [mm]f(x_{1})=2[/mm] < [mm]f(x_{2})=[/mm] 3.
wieso x2<0 also [mm] f(x2)=x2^2+1=1,25
[/mm]
> Bildlich verstehe ich diese Sprünge. Denn wenn ich 3
> Funktionen hätte, die einzeln, wie du sagtest, monoton
> fallend wären, aber als Gesamtfunktion, verbunden Teile
> aufweisen würde die bspw. monoton steigen sind, so wäre
> die Gesamtfunktion ja nicht monoton fallend.
>
> Heißt das, dass ich in der mir gegebenen Funktion die
> Stellen 0 und 1 für jede der 3 Teilfunktionen genau
> anschauen muss?
hallo, wie ich sagte du musst für x2 <0 x1>0 zeigen dass f(x2)>f(x1) ist und für x1>1 x2<1 auch.
also 2 kurze Zusatzüberlegungen.
Gruss leduart
</k>
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Hallo und danke für die Antwort (mal wieder :) ).
Sorry, den letzten Teil deiner letzten Antwort habe ich nicht angezeigt bekommen.
> Und nochr zur Annahme f(x)=3-2x mit $ [mm] x_{1}=0.5 [/mm] $ und
> $ [mm] x_{2}=-0.5 [/mm] $
> In diesem Fall ist doch $ [mm] f(x_{1})=2 [/mm] $ < $ [mm] f(x_{2})= [/mm] $ 3.
wieso x2<0 also $ [mm] f(x2)=x2^2+1=1,25 [/mm] $
Du schreibst doch, dass man annehmen sollte, dass die Funktion nun 3-2x=f(x) lautet.
f(-0.5)=3+(-2*-0.5)=3+1=4
f(0.5)=3+(-2*0.5)=3-1=2
hallo, wie ich sagte du musst für x2 <0 x1>0 zeigen dass f(x2)>f(x1) ist und für x1>1 x2<1 auch.
also 2 kurze Zusatzüberlegungen.
Ich weiß nicht warum, aber ich stehe total auf dem Schlauch bezüglich dieser Aussage.
Es soll also gelten:
1. [mm] x_{1}>0>x_{2} [/mm] -> [mm] f(x_{2})>f(x_{1}) [/mm]
2. [mm] x_{1}>1>x_{2} [/mm] -> [mm] f(x_{2})>f(x_{1})
[/mm]
Zu 1.
[mm] x_{1} \in W_{f_{2,3}} [/mm]
[mm] x_{2} \in W_{f_{1}} [/mm]
[mm] W_{f_{1}} \ge [/mm] 1
[mm] W_{f_{2}}<1
[/mm]
[mm] W_{f_{3}}=-10 [/mm] -> [mm] W_f{_{3}}
[mm] \Rightarrow f(x_{1}) [/mm] < [mm] f(x_{2})
[/mm]
Kann man das so schreiben?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Mo 06.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> > Und nochr zur Annahme f(x)=3-2x mit [mm]x_{1}=0.5[/mm] und
> > [mm]x_{2}=-0.5[/mm]
> > In diesem Fall ist doch [mm]f(x_{1})=2[/mm] < [mm]f(x_{2})=[/mm] 3.
>
> wieso x2<0 also [mm]f(x2)=x2^2+1=1,25[/mm]
>
> Du schreibst doch, dass man annehmen sollte, dass die
> Funktion nun 3-2x=f(x) lautet.
das war ein Missverständnis. ich wollte nur den Fkt Teil zwischen 0 und 1 erseten, um dir ein Beisiel zu geben warum man wenn jedes einzelne fkt Teil fällt doch noch x1 in einem Teil, x2 im anderen betrachten muss.
wenn du das verstanden hast, ist das Beispiel egal.
> f(-0.5)=3+(-2*-0.5)=3+1=4
> f(0.5)=3+(-2*0.5)=3-1=2
>
>
> hallo, wie ich sagte du musst für x2 <0 x1>0 zeigen dass
> f(x2)>f(x1) ist und für x1>1 x2<1 auch.
> also 2 kurze Zusatzüberlegungen.
>
> Ich weiß nicht warum, aber ich stehe total auf dem
> Schlauch bezüglich dieser Aussage.
>
> Es soll also gelten:
> 1. [mm]x_{1}>0>x_{2}[/mm] -> [mm]f(x_{2})>f(x_{1})[/mm]
>
> 2. [mm]x_{1}>1>x_{2}[/mm] -> [mm]f(x_{2})>f(x_{1})[/mm]
>
> Zu 1.
> [mm]x_{1} \in W_{f_{2,3}}[/mm]
> [mm]x_{2} \in W_{f_{1}}[/mm]
ich würde schreiben
1>x1>x2>0
[mm] f(x2)=x2^2+1> [/mm] 1 ; f(x1)=1-2x1<1
also f(x2)>f(x1)
entsprechend für 0<x2<1<x1
> [mm]W_{f_{1}} \ge[/mm] 1
> [mm]W_{f_{2}}<1[/mm]
> [mm]W_{f_{3}}=-10[/mm] -> [mm]W_f{_{3}}
> [mm]\Rightarrow f(x_{1})[/mm] < [mm]f(x_{2})[/mm]
> Kann man das so schreiben?
Es ist nicht falsch, aber warum das W einführen (das musst du dann noch definieren und nicht direkt mit den fkt Teilen?
Aber das Prinzip ist richtig,
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Masseltof |
Hallo und danke vielmals für die Mühe und das Durchaltevermögen.
Manchmal denke ich, dass ich zu kompliziert denke.
Grüße
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