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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Mo 18.07.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | Monotonie von [mm] f(x):=ln(4-e^x) [/mm] |
Guten Tag,
also ich muss die Monotonie dieser Funktion bestimmen und es ist vorgegeben, dass diese streng monoton fallend ist. Ich benutze dazu die erste Ableitung und setze diese gleich 0.
[mm] f´(x)=\bruch{-e^x}{4-e^x}
[/mm]
So diese kann ich ja nicht gleich 0 setzen sonst gibt es Error. Wie soll ich dann daran gehen? ich habe mal viele Werte eingesetzt und es kam bei allem x>1 ein positiver Wert raus. Meine Musterlösung hat wiefolgt begründet:
[mm] 4-e^x>0 [/mm] daraus folgt g´(x)<0
Vielen dank!!
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Hallo durden88,
> Monotonie von [mm]f(x):=ln(4-e^x)[/mm]
> Guten Tag,
>
> also ich muss die Monotonie dieser Funktion bestimmen und
> es ist vorgegeben, dass diese streng monoton fallend ist.
> Ich benutze dazu die erste Ableitung und setze diese gleich
> 0.
Warum setzt du die =0 ?
>
> [mm]f´(x)=\bruch{-e^x}{4-e^x}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> So diese kann ich ja nicht gleich 0 setzen sonst gibt es
> Error. Wie soll ich dann daran gehen? ich habe mal viele
> Werte eingesetzt und es kam bei allem x>1 ein positiver
> Wert raus. Meine Musterlösung hat wiefolgt begründet:
>
> [mm]4-e^x>0[/mm] daraus folgt g´(x)<0
Ganz recht!
Es ist doch [mm]g(x)=\ln(4-e^x)[/mm] nur definiert für [mm]4-e^x>0[/mm]
Das kannst du weiter aufdröseln zu [mm]x<\ln(4)=2\ln(2)[/mm] - brauchst du aber nicht!
In den [mm]\ln[/mm] darfst du doch keine negativen Argumente reinstopfen!
Also ist der Nenner der Ableitung [mm]>0[/mm]
Der Zähler [mm]-e^x[/mm] ist sowieso immer negativ, da [mm] $e^x$ [/mm] stets positiv ist, egal, was [mm]x[/mm] ist.
Also hast du für die Ableitung auf dem ganzen Definitionsgebiet [mm]\frac{-}{+}=-[/mm]
Mal salopp geschrieben.
Also ist [mm]g[/mm] auf dem gesamten Definitionsbereich monoton fallend
>
> Vielen dank!!
Gruß
schachuzipus
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