Monotonie + f(x) < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 So 17.02.2008 | | Autor: | DerDon |
| Aufgabe | Gib die Bereiche an, in denen die Kurve echt monoton steigt oder fällt.
a) f(x)=(x²-49)(x²-1) |
Hallo, ich bin noch neu hier. Ich hoffe, dass das hier der richtige Bereich für meine Frage ist und dass ihr mir helfen könnt. :)
So, leider habe ich nicht den blassesten Schimmer, wie ich hier vorgehen soll! Ein Ansatz ist wohl mit Sicherheit, die Ableitung davon zu bilden. Aber danach ist bei meinem Einfallsreichtum auch schon Sense...
Es gibt noch zwei andere Aufgaben dazu, aber ich glaube, wenn ich erstmal sehe, wie das geht, dass ich den Rest dann eigentlich alleine schaffen werde.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gib die Bereiche an, in denen die Kurve echt monoton steigt
> oder fällt.
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> a) f(x)=(x²-49)(x²-1)
> Hallo, ich bin noch neu hier. Ich hoffe, dass das hier der
> richtige Bereich für meine Frage ist und dass ihr mir
> helfen könnt. :)
>
> So, leider habe ich nicht den blassesten Schimmer, wie ich
> hier vorgehen soll! Ein Ansatz ist wohl mit Sicherheit, die
> Ableitung davon zu bilden. Aber danach ist bei meinem
> Einfallsreichtum auch schon Sense...
>
Hey,
also die Ableitung bilden ist schon mal eine gute Idee, denn sie gibt ja die Steigung der Funktion an. Danach musst du überprüfen auf welchen Intervallen die Ableitung echt positiv und echt negativ ist, denn dann weißt du wo die Funktion steigt und fällt.
Um die Intervallgrenzen herauszufinden, solltest du erstmal die Extremstellen berchnen, denn genau an diesen Stellen wechselt die Funktion ihre Steigung.
Erstmal klar soweit?
> Es gibt noch zwei andere Aufgaben dazu, aber ich glaube,
> wenn ich erstmal sehe, wie das geht, dass ich den Rest dann
> eigentlich alleine schaffen werde.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Viele Grüße Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 So 17.02.2008 | | Autor: | DerDon |
> Hey,
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> also die Ableitung bilden ist schon mal eine gute Idee,
> denn sie gibt ja die Steigung der Funktion an. Danach musst
> du überprüfen auf welchen Intervallen die Ableitung echt
> positiv und echt negativ ist, denn dann weißt du wo die
> Funktion steigt und fällt.
> Um die Intervallgrenzen herauszufinden, solltest du erstmal
> die Extremstellen berchnen, denn genau an diesen Stellen
> wechselt die Funktion ihre Steigung.
>
> Erstmal klar soweit?
>
> Viele Grüße Patrick
Danke schonmal, Patrick!
Also auf die Extremstellen kommt man ja so:
Zuerst mal die Ableitung von f(x) machen und die Ableitung dann 0 setzen, sprich f'(x)=0
Mein Ergebnis: (0/0) und (5/-576), wobei der letzte Punkt eine doppelte "Nullstelle" ist (ich weiß nicht genau, ob man hier wirklich von einer Nullstelle spricht).
Ist das bis jetzt korrekt?
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Hallo!
Wenn wir die Funktion ausmultiplizieren erhalten wir ja [mm] f(x)=x^{4}-50x²+49
[/mm]
Als Ableitung erhalten wir dann f'(x)=4x³-100x
Dies setzen wir 0 um die Kandidaten der Extremstellen zu ermitteln. also 4x³-100x=0 Nun klammern wir ein x aus und erhalten x(4x²-100)=0 Die Funktion ist also dann 0 wenn einer der Faktoren null ist. Damit haben wir den ersten Kandidaten und der ist [mm] x_{E1}=0 [/mm] nun setzten wir die Klammer 0 also 4x²-100=0 [mm] \gdw [/mm] 4x²=100 [mm] \Rightarrow x_{E2,3}=\pm\bruch{10}{2}. [/mm] Bis hier hin alles ok?.
Und nun setzten wir die 3 gefundenen Kandidaten in die 2.Ableitung ein. Ist die 2.Ableitung dann größer 0 dann haben wir einen Tiefpunkt und ist sie kleiner 0 dann haben wir einen Hochpunkt.
Wie bist du denn auf deine Werte gekommen?
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 So 17.02.2008 | | Autor: | DerDon |
> Hallo!
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> Wenn wir die Funktion ausmultiplizieren erhalten wir ja
> [mm]f(x)=x^{4}-50x²+49[/mm]
> Als Ableitung erhalten wir dann f'(x)=4x³-100x
> Dies setzen wir 0 um die Kandidaten der Extremstellen zu
> ermitteln. also 4x³-100x=0 Nun klammern wir ein x aus und
> erhalten x(4x²-100)=0 Die Funktion ist also dann 0 wenn
> einer der Faktoren null ist. Damit haben wir den ersten
> Kandidaten und der ist [mm]x_{E1}=0[/mm] nun setzten wir die Klammer
> 0 also 4x²-100=0 [mm]\gdw[/mm] 4x²=100 [mm]\Rightarrow x_{E2,3}=\pm\bruch{10}{2}.[/mm]
> Bis hier hin alles ok?.
> Und nun setzten wir die 3 gefundenen Kandidaten in die
> 2.Ableitung ein. Ist die 2.Ableitung dann größer 0 dann
> haben wir einen Tiefpunkt und ist sie kleiner 0 dann haben
> wir einen Hochpunkt.
> Wie bist du denn auf deine Werte gekommen?
>
> Gruß
Oje, oje^^
Also bis "Bis hier hin alles ok?" habe ich noch alles! Aber wo ist bei Dir die zweite Ableitung in die ich die drei Zahlen einsetzten soll?
Auf meine Werte bin ich so gekommen: Zuerst die Ableitung von [mm]f(x)=x^{4}-50x²+49[/mm] . Da kommt ja 4x³-100x raus. Da habe ich dann ein x ausgeklammert, damit nur noch x(4x²-100) da steht. Und auf die 5 bin ich in diesem Fall durch Kopfrechnen gekommen.
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Hallo!
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> Meine Frage zu "[mm]f''(0)=12*(0)²-100=-100\Rightarrow[/mm]
> HP(0|y)": ist der x-Wert dann nicht -100 anstatt 0 ?
>
Die -100 dient nur zur Überprüfung ob es sich um einen Tiefpunkt oder um einen Hochpunkt handelt. Es gilt ja f''(x)<0 [mm] \Rightarrow [/mm] Hochpunkt und f''(x)>0 [mm] \Rightarrow [/mm] Tiefpunkt. Also haben wir einen Hochpunkt bei HP(0|49)
>
> Für [mm]\pm5[/mm] habe ich dann zweimal (200/1924) rausbekommen.
> Gerechnet habe ich so:
>
> f"(x)=12x²-100
> f"(5)=12*25-100=200 (somit ist der x-Wert 200)
>
Das ist richtig aber 200 ist NICHT der x-Wert.
Wir haben f''(5)=200 [mm] \Rightarrow [/mm] Tiefpunkt bei TP(5|-576) und für f''(-5)=200 [mm] \Rightarrow [/mm] Tiefpunkt bei TP(-5|-576)
Anhand dieser rechnung kannst du erahnen wie die Monotonie aussieht. Allerdings kannst du das auch viel schneller machen so wie ich dir es eingangs versucht habe mit einem Beispiel zu erklären. Schau:
x(4x²-100)>0
Wenn x>0 und 4x²-100>0
[mm] \gdw [/mm] x>0 und [mm] x>\pm5
[/mm]
Wenn x<0 und 4x²-100<0
[mm] \gdw [/mm] x<0 und [mm] x<\pm5
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) ist streng monoton wachsend für x>5 und -5<x<0
Wenn x>0 und 4x²-100<0
[mm] \gdw [/mm] x>0 und [mm] x<\pm5
[/mm]
Wenn x<0 und 4x²-100>0
[mm] \gdw [/mm] x<0 und [mm] x>\pm5
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) ist streng monoton fallend für x<-5 und 5>x>0
Schon fertig. da muss man die Extrema nicht zwingend berechnen. 
Gruß
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Hallo!
Dann stell mal die Aufgabe hier rein. Im prinzip geht man da genau so vor. Nehmen wir mal an die Ableitung von dir würde nicht 4x³-100x lauten sondern nur 4x³-100. Dann müsstest du halt 4x³-100>0 setzten [mm] \gdw [/mm] 4x³>100 [mm] \gdw [/mm] x³>25 [mm] \gdw x>\wurzel[3]{25} [/mm] Oder du machst das so mit der Bestimmung der Extrempunkte das geht auch nur finde ich dass es mit meiner methode teilweise schneller geht.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 So 17.02.2008 | | Autor: | DerDon |
Ok, hier die Aufgabe (Aufgabenstellung ist die gleiche):
f(x) = (x-1)(x-3)³
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Hallo!
Dann berechne hier die erste ableitung und argumentiere wie vorher. entweder durch bestimmung der extrema oder so wie ich es gemacht habe. Alerdings würde ich dir ier empfehlen das mit der Methode der Extrema zu bestimmen. Die Funktion besitzt auch einen Sattelpunkt dass findest du durch eine "Kurvendiskussion" heraus!
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 So 17.02.2008 | | Autor: | DerDon |
Wir haben leider noch nicht gelernt, wie man die Ableitung von so etwas wie dieser Aufgabe bestimmt, also muss ich zuerst ausrechnen:
f(x) ist bei mir dann ausgerechnet:
[mm] x^4-10x³+36x²-45x+27
[/mm]
f'(x) = 4x³-20x²+72x-45
Dann nach Deiner Variante müsste es doch so aussehen 4x³-20x²+72x-45>0
Naja, ich bin Dir wirklich unglaublich dankbar für Deine Mühe und Deine Hilfe, aber mein Kopf braucht jetzt mal Ruhe, ganz besonders von Mathe! Ich werde habe mir Deine Lösung für die erste Aufgabe mal aufgeschrieben und werde sie morgen meinem Mathelehrer zeigen und ihn fragen, wieso er uns das nicht gleich so gezeigt hat^^
Vielen Dank nochmal!!!
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Hallo!
Ich habe etwas anderes heraus. Ich habe [mm] f(x)=x^{4}-10x³+45x²-63x+27. [/mm] Als Ableitung demanch 4x³-30x²+90x-63.> >
> Naja, ich bin Dir wirklich unglaublich dankbar für Deine
> Mühe und Deine Hilfe, aber mein Kopf braucht jetzt mal
> Ruhe, ganz besonders von Mathe! Ich werde habe mir Deine
> Lösung für die erste Aufgabe mal aufgeschrieben und werde
> sie morgen meinem Mathelehrer zeigen und ihn fragen, wieso
> er uns das nicht gleich so gezeigt hat^^
>
Wie gesagt dass war nur ein Tipp von mir wie man das auch machen kann. Wenn dein Lehrer das über die Bestimmung der Extrema wissen will dann musst du das natürlich auch so machen. Dann würde ich dir empfehlen von dieser Funkton die Extrema zu bestimmen und dann zu schauen wo die fkt fällt bzw steigt. Darf ich fragen in welcher Klasse du bist. Vielleicht kommt ja meine Methode noch später und ihr musst vielleicht noch die "Kurvendiskussion" tranieren, deshalb der längere Weg
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 So 17.02.2008 | | Autor: | DerDon |
Bin jetzt in der elften Klasse Gymnasium. Hab jetzt alle mit der Berechnung der Extrema gelöst, bzw. versucht zu lösen.
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Hallo!
Dann erzähl mal, was ist dein Tiefpunkt
Gruß
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Hallo!
Ich denke so weit bis zu den Extrempunkten brauch man gar nicht zu gehen.
Das Monotonieverhalten besagt das f(x) smw [mm] \gdw [/mm] f'(x)>0 und f(x) smf [mm] \gdw [/mm] f'(x)<0.
Beispeil:
f(x)=x²-2x
Nun untersuchen wir auf Monotonie und formen die funktion etwas um-
x²-2x=x(x-2)
Streng monotin wachsend:
wenn x>0 UND x-2>0
[mm] \gdw [/mm] x>0 UND x>2
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Funktion ist für x>2 streng monoton wachsend.
wenn x<0 UND x-2<0
[mm] \gdw [/mm] x<0 UND x<2
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Funktion ist für x<0 streng monoton wachsend.
Nun sterng monoton fallend:
wenn x<0 UND x-2>0
[mm] \gdw [/mm] x<0 UND x>2
[mm] \Rightarrow [/mm] Das funktioniert nicht denn x kann nicht <0 und gleichzeitig >2 sein.
wenn x>0 UND x-2<0
[mm] \gdw [/mm] x>0 UND x<2
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Funktion ist im Intervall 0>x<2 streng monoton fallend
Ich hoffe du weisst warum ich bei jeder untersuchung 2 fälle betrachtet habe, denn minus mal minus ergibt plus
Und das ganze jetzt für deine Funktion.
Gruß
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