Monotonie Untersuchung < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist: f(X) = [mm] 1/3*X^3-2*X [/mm] und man soll die Montonie untersuchen sowie die Beschränktheit und Symmetrie
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Wie gehe ich vor in der Schule haben wir das ganze nur mit linearen oder quadratischen funktionen gemacht.
Mein Ansatz ist halt erstmal
XIndex1<XIndex2
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 So 08.10.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
zu allererst sollte man sich mal die Symmetrie ansehen. Da der höchste Grad 3 ist, handelt sich wahrscheinlich um eine punktsymmetrische Funktion. Dies überprüft man mit der Gleichung: f(x)=-f(-x) Ist diese Gleichung erfüllt, dann ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Der Graph muss auch nicht verschoben werden, da der Graph durch den Ursprung verläuft, was man daran sehen kann das f(0)=0 ist.
Also: [mm] \bruch{1}{3}x^{3}-2x=-(\bruch{1}{3}(-x)^{3}-2(-x))
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}x^{3}-2x=\bruch{1}{3}x^{3}-2x
[/mm]
Da auf beiden Seiten das Gleiche steht, ist die Funktion also tatsächlich punktsymmetrisch.
Nun sieht man sich den Grenzwert an für x gegen + unendlich. Es handelt sich hier um eine Funktion die zusammengesetzt ist aus zwei Termen. Der erste Term läuft gegen +unendlich für x gegen +unendlich und der zweite Term läuft durch das - vor der 2 gegen -unendlich für x gegen unendlich. Da allerdings die Potenz des 1. Terms überwiegt, da sie größer ist, läuft der Term also gegen +unendlich, da das überwiegt. Nun kann man schließen, da die Funktion punktsymmetrisch ist, das sie für x gegen -unendlich dann natürlich gegen -unendlich laufen muß. Nun hat man also die Symmetrie und auch die Beschränktheit geklärt.
Die Monotonie sieht man am besten, wenn man sich die 1. und die 2. Ableitung berechnet, dann die Extremwerte bestimmt und klärt ob es sich um Hochpunkte oder Tiefpunkte handelt oder um beides. Hier handelt es sich um einen Hochpunkt bei [mm] -\wurzel{2} [/mm] und einen Tiefpunkt bei [mm] \wurzel{2}. [/mm] Wie man diese berechnet denke ich kriegst du alleine hin. Wenn man nun weiß, das die Funktion für x gegen + unendlich gegen +unendlich läuft und man weiß, das bei [mm] \wurzel{2} [/mm] ein Tiefpunkt liegt, dann sieht man doch das die Funktion ab dem Tiefpunkt monoton wachsend sein muß. Zwischen den beiden Extremwerten muss sie natürlich monoton fallend sein, man geht nämlich immer von links nach rechts. Also vom Hochpunkt bei [mm] -\wurzel{2} [/mm] bis zum Tiefpunkt bei [mm] \wurzel{2} [/mm] ist sie monoton fallend. Und von -unendlich bis zum Hochpunkt ist sie monoton wachsend. Denn für x gegen -unendlich läuft sie ja ins -Unendliche.
Probier es doch einfach aus und mache dir eine Zeichnung des Graphen. Wenn du Probleme hast dann melde dich wieder!
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.
Gruß,
clwoe
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Erstmal danke für die schnelle hilfe!Also das mit Symmetrie und Beschränktheit hab ich verstanden, habs auch rausbekommen und anhand der zeichnung auch gesehen. Zur Monotonie hab ich jetzt das Problem, dass wir das mit der 1.Ableitung noch nicht behandelt haben.
unsere vorgehensweise war immer so: z.B. -3x+2
xindex1<xindex2 /(-3)
-3xindex1>-3xindex2 +2
-3xindex1+2>-3xindex2+2
darauf folgt f(x1)>f(x2) also streng monton fallend
das gleiche haben wir bei quad. funktionen gemacht und ham dann halt 2 Fälle bekommen. Aber die aufgabe bekomm ich wegen den 2mal vorkommenden x nicht auf die reihe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 So 08.10.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
zur symmetrie:
eine funktion ist punktsymmetrisch zum ursprung, wenn gilt
-f(x)=f(-x). es geht aber nicht darum, dass x "nur" in 3. Potenz vorkommt, sondern, diese Bedingungist immer erfüllt, wenn das Polynom nur ungerade x-Potenzen enthält. Also z.B.
f(x)= [mm] -2x^{125} [/mm] + [mm] 3x^{79} [/mm] - [mm] x^{13} [/mm] - [mm] 4,5x^7 [/mm] + [mm] 3x^5 [/mm] + [mm] 8x^3 [/mm] + 17x
gruss
wolfgang
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 17:29 So 08.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Darth
Wenn du die Fkt in linearfaktoren zerlegst also [mm] f(x)=1/3x*(x-\wurzel{6})*(x+\wurzel{6}) [/mm] geht alles viel einfacher.
bis [mm] x=-\wurzel{6} [/mm] sind alle 3 fkt negativ und steigend, das Produkt also auch negativ und steigend.
zwischen [mm] -\wurzel{6}und [/mm] 0 2negativ, 1positiv alle steigend, also positiv und fallend. zw. 0 und [mm] +\wurzel{6} [/mm] 2 pos ein negativ also noch immer fallend, ab [mm] \wurzel{6} [/mm] alle pos, alle steigend, also insgesamt steigend.
(das kannst du natürlich auch für die einzelnen teile mit x1<x2 folgt... usw machen, wenn du die Ungleichungen unter beachtung des Vorzeichens multiplizierst!)
Gruss leduart
Gruss leduart
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wie kommst du auf [mm] \wurzel{6} [/mm] ? Wenn ich die Funktion zeichne komme ich auf - und + [mm] \wurzel{2} [/mm] als grenzen. So wie es der Kollege bei der ersten Antwort auch löste
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 So 08.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast recht, ich hab nen Fehler gemacht.
Gruss leduart
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Hi, DarthVader,
> wie kommst du auf [mm]\wurzel{6}[/mm] ? Wenn ich die Funktion
> zeichne komme ich auf - und + [mm]\wurzel{2}[/mm] als grenzen. So
> wie es der Kollege bei der ersten Antwort auch löste
leduart hat die Linearfaktorzerlegung gebildet und versucht, die Monotonie über das Vorzeichenverhalten der Funktion rauszukriegen.
Insgesamt versteh' ich ihr Vorgehen aber auch nicht ganz!
mfG!
Zwerglein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Fr 20.10.2006 | | Autor: | Mikel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das Monotonieverhalten lässt sich hier recht einfach bestimmen. Zunächst mal sei die hier schon gegebene Funktion gegeben:
f(x)= $ 1/3\cdot{}x^3-2\cdot{}X $
Dann ableiten, also:
f'(x)= $x^2-2$
Folgende Fälle seien nun angeführt.
Für f'(x) > 0 ist der Graf momoton steigend:
$x^2-2 > 0$ \gdw $x^2 > 2$ \gdw $x > \wurzel{2}\red{\ \vee\ x < -\wurzel{2}}$
Für f'(x) < 0 ist der Graf momoton fallend:
$x^2-2 < 0$ \gdw $x^2 < 2$ \gdw $x < \wurzel{2}}\red{\ \wedge\ x > -\wurzel{2} \gdw -\wurzel{2} <x< \wurzel{2}}$
(Rote Ergänzungen durch dreisten Moderator  )[/red]
Am nachstehenden Graphen kann man das gut erkennen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:56 Fr 20.10.2006 | | Autor: | Mikel |
Berichtigung!
Zu:
f(x)= $ [mm] 1/3\cdot{}x^3-2\cdot{}X [/mm] $
f'(x)= [mm] $x^2-2$
[/mm]
Es gilt natürlich für
f'(x)= < 0
$x < [mm] -\wurzel{2}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:44 Sa 21.10.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Mikel,
Deine erste Variante war schon zutreffend.
Aber unvollständig: Du hattest übersehen, dass beim Wurzel Ziehen sich ja zwei Lösungen ergeben:
[mm] $x^2=2 \gdw x=\pm \wurzel{2}$ [/mm] und sich bei Ungleichungen die Ungleichheitszeichen entsprechend teilweise umdrehen.
War so dreist, das einfach mal ein Deiner Antwort zu ergänzen...
Schöne Grüße,
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 Sa 21.10.2006 | | Autor: | Mikel |
Vielen Dank für die Ergänzung ardik. In Monotonie muss ich mich noch üben. So, und da hätte ich auch schon die nächste Aufgabe, die ich gestern versucht habe, mit meiner Schulkollegin zu lösen, ohne Erfolg. Ich stelle sie jetzt schon mal hier rein, und versuche sie trotzdem erst mal selber zu lösen, mal sehen, wie weit ich komme:
f(x) = (x²-1)²
In die Normalform gebracht und man erhält:
f(x) = [mm] x^4-2x^2+1
[/mm]
Ableiten
f'(x)= [mm] 4x^3-4x
[/mm]
Faktorisieren ergibt:
[mm] (4x^2+4x)(x-1)
[/mm]
Jetzt Monotonie feststellen:
1. Fall für f'(x) = > 0
4x²+4x > 0 [mm] \wedge [/mm] x-1 > 0
4x(x+1) > 0 [mm] \wedge [/mm] x-1 > 0
x+1 > 0 [mm] \wedge [/mm] x-1 > 0
x > -1 [mm] \wedge [/mm] x > 1 also der Form nach -1 > x > 1
2. Fall für f'(x) = < 0
4x²+4x < 0 [mm] \wedge [/mm] x-1 < 0
4x(x+1) < 0 [mm] \wedge [/mm] x-1 < 0
x+1 < 0 [mm] \wedge [/mm] x-1 < 0
x < -1 [mm] \wedge [/mm] x < 1 also der Form nach -1 > x < 1
Am nachstehenden Graphen ist das gut zu erkennen. Könnt ihr mir sagen, ob ich das formell so richtig gemacht habe?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: ,c) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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Hallo!
Man kann sogar sagen, dass der Graph streng monoton steigend ist, wenn f'(x)>0. Die Aussage gilt für den Graphenabschnitt bzw. das Intervall, bis ein lokales Extremum auftaucht, also f'(x)=0 ist. Analog für das Fallen des Grafen.
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