www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Funktionen" - Monotonie bei Funktionen
Monotonie bei Funktionen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Monotonie bei Funktionen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:37 Fr 17.06.2005
Autor: rotespinne

Hallo!
Sorry dass ich heute so mit Fragen nerve aber ich schreibe bald eine Klausur und hätte vorher gerne alle Fragen geklärt :) Und der Matheraum ist nunmal eine super Hilfe :))

Also:
Ich soll die Funktion p(x)= [mm] x^2 [/mm] auf Monotonie untersuchen für [mm] x\inR. [/mm]

Ich weiß das eine Funktion streng monoton wachsend ist wenn folgendes gilt:

[mm] x1\not=x2 [/mm] ( x1 <x2 ) , --> f(x1)  <f(x2)
Und bei monoton wachsend wenn es kleiner gleich ist und bei fallend genau das Gegenteil. Aber ich weiß leider überhaupt nicht, wie ich das auf eine solche Aufgabe anwenden kann?

B


        
Bezug
Monotonie bei Funktionen: Ansatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:02 Sa 18.06.2005
Autor: Loddar

Hallo rotespinne!


> ich schreibe bald eine Klausur und hätte vorher gerne
> alle Fragen geklärt.

Das ist löblich so! [daumenhoch]


> Und der Matheraum ist nunmal eine super Hilfe

DANKE !!


> Ich soll die Funktion p(x)= [mm]x^2[/mm] auf Monotonie untersuchen
> für [mm]x \in R.[/mm]
>  
> Ich weiß das eine Funktion streng monoton wachsend ist wenn
> folgendes gilt:
>  
> [mm]x1\not=x2[/mm] ( x1 <x2 ) , --> f(x1)  <f(x2)
> Und bei monoton wachsend wenn es kleiner gleich ist und
> bei fallend genau das Gegenteil. Aber ich weiß leider
> überhaupt nicht, wie ich das auf eine solche Aufgabe
> anwenden kann?

Na, dann werden wir mal einige Ansätze bieten ...


[mm] $x_2 [/mm] \ > \ [mm] x_1$ $\gdw$ $x_2 [/mm] - [mm] x_1 [/mm] \ > \ 0$   [mm] $\Rightarrow$ $x_2 [/mm] \ = \ [mm] x_1 [/mm] + [mm] \Delta [/mm] x$ mit [mm] $\Delta [/mm] x \ > \ 0$


Betrachten wir zunächst den Bereich $0 \ < \ [mm] x_1 [/mm] \ < \ [mm] x_2$ [/mm] :

[mm] $y_2 [/mm] \ = \ [mm] p\left(x_2\right) [/mm] \ = \ [mm] x_2^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(x_1 + \Delta x\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] x_1^2 [/mm] + [mm] \underbrace{2*x_1*\Delta x}_{\blue{> \ 0, f"ur \ x_1 \ > \ 0}} [/mm] + [mm] \underbrace{\Delta x^2}_{> \ 0} [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] x_1^2 [/mm] \ = \ [mm] p\left(x_1\right) [/mm] \ = \ [mm] y_1$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Funktion streng monoton steigend für $x \ > \ 0$


Für den Bereich [mm] $x_1 [/mm] \ < \ [mm] x_2 [/mm] \ < \ 0$ geht der Nachweis der Monotonie analog.

Was erhältst Du hier?



Alternativ kann man Monotonie auch über die Steigungsfunktion (= 1. Ableitung) zeigen:

$f(x) \ > \ 0$  [mm] $\Rightarrow$ [/mm]  Funktion streng monoton steigend

$f(x) \ [mm] \ge [/mm] \ 0$  [mm] $\Rightarrow$ [/mm]  Funktion monoton steigend

"(Streng) monoton fallend" analog für $f(x) \ < \ 0$ bzw. $f(x) \ [mm] \le [/mm] \ 0$ .


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Monotonie bei Funktionen: rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:12 Sa 18.06.2005
Autor: rotespinne

oh je, da kann ich im moment gar nicht folgen :( da bin ich sofort wieder blockiert :(
Wo kommt denn urplötzlich das [mm] x2^2 [/mm] her???
Und vielleicht kannst du einmal in Worten erklären was man machen muss um eine Funktion auf Monotonie zu untersuchen? Das hilft mir meistens mehr als tausen Zahlen !
Das wäre super!

Bezug
                        
Bezug
Monotonie bei Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:38 Sa 18.06.2005
Autor: Fugre

Hallo Rotespinne!

> oh je, da kann ich im moment gar nicht folgen :( da bin ich
> sofort wieder blockiert :(
>  Wo kommt denn urplötzlich das [mm]x2^2[/mm] her???

Ist nicht wirklich wichtig, er setzt das [mm] $x_2$ [/mm] in unsere Funktion
[mm] $p(x)=x^2$ [/mm] ein und wenn er [mm] $x_2$ [/mm] einsetzt steht dort:
[mm] $p(x_2)=x_2^2$ [/mm]
genauso sieht es auch mit normalen Zahlen aus:
[mm] $p(3)=3^2$ [/mm]

> Und vielleicht kannst du einmal in Worten erklären was man
> machen muss um eine Funktion auf Monotonie zu untersuchen?
> Das hilft mir meistens mehr als tausen Zahlen !
>  Das wäre super!

Am einfachsten ist es, wenn du dir das Steigungsverhalten der
Funktion anguckst, sprich ihre erste Ableitung. Denn solange die
Steigung(, also die 1. Ableitung) größer null ist, so steigt die Funktion,
ist sie kleiner so fällt sie.

Willst du also wissen in welchen Intervallen die Funktion $f(x)$ steigt,
so erstellst du die Ungleichung:
$f'(x)>0$

In unserem konkreten Fall sieht es so aus:
[mm] $p(x)=x^2 \to [/mm] p'(x)=2x$
Die folgende Ungleichung:
$2x>0$
Hat als Lösung alle $x$, die größer null sind.
Wir können also schreiben $p(x)$ ist für alle
$x [mm] \in [/mm] ]0; [mm] \infty [/mm] [$ streng monoton steigend.

Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein,
so frag bitte nach.

Liebe Grüße
Fugre

[]Monotonie

Bezug
                
Bezug
Monotonie bei Funktionen: wichtige rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:37 So 19.06.2005
Autor: rotespinne

hallo!

ich versuche die ganze zeit nun für den bereich x1<x2<o die monotonie zu prüfen aber ich tu mich damit so schwer :(
hier ist doch dann auch wieder x2 >x1 ,  aber x2-x1  <0 stimmt ja dann nicht?
und hier weiß ich schon nicht weiter.
ich fänd es nett wenn es mir auch mal jemand für diesen fall vorführem könnte, damit ich ein beispiel habe. vielen dank :)

Bezug
                        
Bezug
Monotonie bei Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:17 Mo 20.06.2005
Autor: Stefan

Hallo rotespinne!

> ich versuche die ganze zeit nun für den bereich x1<x2<o die
> monotonie zu prüfen aber ich tu mich damit so schwer :(
>  hier ist doch dann auch wieder x2 >x1 ,  aber x2-x1  <0
> stimmt ja dann nicht?

Nein, aber [mm] $\Delta x:=x_1-x_2<0$. [/mm] Man kann den Beweis von Loddar (Thorsten) praktisch komplett übernehmen und muss ihn nur an wenigen Stellen verändern. Er läuft dann so:

[mm] $y_1 [/mm] \ = \ [mm] p\left(x_1\right) [/mm] \ = \ [mm] x_1^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(x_2 + \Delta x\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] x_2^2 [/mm] + [mm] \underbrace{2*x_2*\Delta x}_{\blue{> \ 0, f"ur \ x_2 \ < \ 0}} [/mm] + [mm] \underbrace{\Delta x^2}_{> \ 0} [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] x_2^2 [/mm] \ = \ [mm] p\left(x_2\right) [/mm] \ = \ [mm] y_2$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Funktion streng monoton fallend für $x \ < \ 0$

Viele Grüße
Stefan

Bezug
                                
Bezug
Monotonie bei Funktionen: andere aufgabe lösung richtig
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:44 Mo 20.06.2005
Autor: rotespinne

nun habe ich die Funktion :
[mm] p(x)=x^2 [/mm] , x  [mm] \in R^{+} [/mm]


Hier ist ja dann nun [mm] x_{1}, x_{2} \in R^{+}, x_{1} \not=x_{2} [/mm]

[mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{1} [/mm] =  [mm] \Delta [/mm] x

Und dann das selbe Spiel wieder von vorne, oder?
Aber : Die Funktion kann doch nur monoton oder streng monoton wachsend sein, da es sich doch um Zahlen aus  [mm] R^{2+} [/mm] handelt und es niemals zu < oder  [mm] \le [/mm] kommen kann, oder doch????

DANKE :)

Bezug
                                        
Bezug
Monotonie bei Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:52 Mo 20.06.2005
Autor: Stefan

Hallo!

Die Aufgabe haben wir doch bereits gelöst! [kopfkratz3]

Wir haben doch bereits gezeigt, dass die Funktion [mm] $p(x)=x^2$ [/mm] auf [mm] $\IR^+$ [/mm] streng monoton wachsend ist (das hat Loddar gezeigt) und dass die Funktion [mm] $p(x)=x^2$ [/mm] auf [mm] $\IR^-$ [/mm] streng monoton fallend ist (das habe ich gezeigt). Dazu folgte, dass [mm] $p(x)=x^2$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] weder monoton steigend noch monoton fallend ist. Aber [mm] $p(x)=x^2$, [/mm] ist halt, wie gesagt, wenn man es auf [mm] $\IR^+$ [/mm] einschränkt, schon streng monoton steigend, schau dir den Beweis von Loddar bitte noch einmal an; das ist die Lösung zu dieser Aufgabe hier.

Für den ersten Teil der Frage, ob [mm] $p(x)=x^2$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] monoton ist, hätte es einfach genügt zu sagen: Nein, denn $-2<1$, $p(-2)=4>1=p(1)$ (d.h. $p$ ist nicht monoton wachsend) und $0<1$, $p(0)=0<1=p(1)$ (d.h. $p$ ist auch nicht monoton fallend).  Vielleicht hat es dich ja verwirrt, dass Loddar dort bereits die Lösung zu dieser Aufgabe hier gegeben hat und nicht einfach nur ein Gegenbeispiel.

Viele Grüße
Stefan

Bezug
                                                
Bezug
Monotonie bei Funktionen: rückmeldung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:57 Mo 20.06.2005
Autor: rotespinne

Hallo!

Genau das hat mich verwirrt :( Aber nun gut, ich habe es für  [mm] R^{+} [/mm] und  [mm] R^{-} [/mm] nun nochmal selbst versucht :) Das schadet ja auch nichts!c Aber danke :)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de