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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Monotonie durch Induktion
Monotonie durch Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Monotonie durch Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:30 Do 10.12.2009
Autor: notinX

Ich möchte per Induktion zeigen, dass die Folge, definiert durch: [mm] $a_n:=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n}$ [/mm] monoton wachsend ist:

IA: [mm] $a_1=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}<\frac{1}{2+1}+\frac{2}{2+2}=\frac{7}{12}=a_2$ [/mm]

also gilt [mm] $a_n
Wie lautet nun die Induktionsbehauptung?
a) [mm] $a_n oder b) [mm] $a_{n+1}
und wie gehts dann weiter wie soll ich von n auf n+1 schließen?

[mm] $a_{n+1}=a_n+? [/mm]

        
Bezug
Monotonie durch Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:45 Do 10.12.2009
Autor: reverend

Hallo notinx,

> Ich möchte per Induktion zeigen, dass die Folge, definiert
> durch: [mm]a_n:=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n}[/mm]
> monoton wachsend ist:

Warum unbedingt per Induktion? Geht das direkt nicht viel leichter?

> IA:
> [mm]a_1=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}<\frac{1}{2+1}+\frac{2}{2+2}=\frac{7}{12}=a_2[/mm]
>
> also gilt [mm]a_n

Ok.

> Wie lautet nun die Induktionsbehauptung?
>  a) [mm]a_n
>  oder b) [mm]a_{n+1}

Weder noch. Zu zeigen ist doch der blaue Pfeil: [mm] a_n

> und wie gehts dann weiter wie soll ich von n auf n+1
> schließen?
>  
> [mm]$a_{n+1}=a_n+?[/mm]  

Sehr gute Frage. Deswegen wundere ich mich ja über den Ansatz.

Du brauchst ja eine Beziehung zwischen [mm] a_{n+1} [/mm] und [mm] a_n. [/mm] Diese ist wie folgt gegeben:

[mm] a_{n+1}=a_n-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2} [/mm]

Wenn Du das aber schon weißt, dann kannst Du doch gleich allgemein untersuchen, ob wirklich [mm] a_{n+1}>a_n [/mm] gilt. Wozu noch die Induktion?

Zu zeigen ist letztlich nur dies:

[mm]\bruch{1}{n+1}\ <\ \bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2}[/mm]

Ich sehe da eine quadratische Ungleichung ... immer verdächtig ... aber dann ist sie letztlich doch nicht quadratisch und stellt sich als wahr [mm] \forall\ n\in\IN [/mm] heraus.

lg
reverend

Bezug
                
Bezug
Monotonie durch Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:02 Fr 11.12.2009
Autor: notinX


>  
> Warum unbedingt per Induktion? Geht das direkt nicht viel
> leichter?
>  

mir ist nichts besseres eingefallen. Ich dachte bei natürlichen Zahlen bietet sich Induktion an.


> Du brauchst ja eine Beziehung zwischen [mm]a_{n+1}[/mm] und [mm]a_n.[/mm]
> Diese ist wie folgt gegeben:
>  
> [mm]a_{n+1}=a_n-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2}[/mm]

Wie kommst Du darauf?
  

>  
> Zu zeigen ist letztlich nur dies:
>  
> [mm]\bruch{1}{n+1}\ <\ \bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2}[/mm]
>  
> Ich sehe da eine quadratische Ungleichung ... immer
> verdächtig ... aber dann ist sie letztlich doch nicht
> quadratisch und stellt sich als wahr [mm]\forall\ n\in\IN[/mm]

Auch bei dieser Ungleichung kann ich nicht erkennen wie Du darauf kommst. Was ist eine quadratische Ungleichung? Ich sehe da nichts quadratisches.

Bezug
                        
Bezug
Monotonie durch Induktion: Editiert
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:27 Fr 11.12.2009
Autor: angela.h.b.


> > Du brauchst ja eine Beziehung zwischen [mm]a_{n+1}[/mm] und [mm]a_n.[/mm]
> > Diese ist wie folgt gegeben:
>  >  
> > [mm]a_{n+1}=a_n-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2}[/mm]
>  
> Wie kommst Du darauf?

Hallo,

wie's der reverend herausgefunden hat, weiß ich natülich nicht, aber ich habe das gesehen, als ich mir mal die ersten  37 Folgenglieder aufgeschrieben habe.

Man erkennt's aber auch ohne das:

$ [mm] a_n:=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n} [/mm] $

[mm] a_{n+1}:=\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\dots+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\dots+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n} +$\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2} [/mm]

[mm] =-\frac{1}{n+1}+\green{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\dots++\frac{1}{2n}}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}= -\frac{1}{n+1}+\green{a_n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2} [/mm]


Wenn Du nun zeigen möchtest, daß [mm] a_{n+1}>a_n, [/mm] mußt Du zeigen [mm] -\frac{1}{n+1}+a_n+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}>a_n, [/mm]

und das ist äquivalent zu [mm] -\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}>0. [/mm]


>
> >  

> > Zu zeigen ist letztlich nur dies:
>  >  
> > [mm]\bruch{1}{n+1}\ <\ \bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2}[/mm]
>  >  
> > Ich sehe da eine quadratische Ungleichung ... immer
> > verdächtig ... aber dann ist sie letztlich doch nicht
> > quadratisch und stellt sich als wahr [mm]\forall\ n\in\IN[/mm]
>
> Auch bei dieser Ungleichung kann ich nicht erkennen wie Du
> darauf kommst. Was ist eine quadratische Ungleichung? Ich
> sehe da nichts quadratisches.

Naja, der reverend schaut vermutlich ein kleines bißchen in die Zukunft...
Wenn Du die Brüche wegmultiplizierst, ist's doch eine quadratische Ungleichung.
Hast Du es denn mal durchgezogen?

Gruß v. Angela





Bezug
                                
Bezug
Monotonie durch Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:01 Fr 11.12.2009
Autor: notinX


> Man erkennt's aber auch ohne das:
>  
> [mm]a_n:=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n}[/mm]
>  
> [mm]a_{n+1}:=\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\dots+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\dots+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n} +$\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}[/mm]
>
> [mm]=-\frac{1}{n+2}+\green{\frac{1}{n+2}\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\dots++\frac{1}{2n}}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}= -\frac{1}{n+2}+\green{a_n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}[/mm]
>  
>

Ich habs immer noch nicht.
Wenn [mm] $a_n:=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n}$, [/mm]
dann komme ich auf: [mm] $a_{n+1}:=\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\dots+\frac{1}{2n+2}$ [/mm]
Wo kommen denn in der zweiten Zeile die doppelten Terme her und wieso steht in der dritten Zeile ein Minus? Es handelt sich doch nur um positive Zahlen.


Bezug
                                        
Bezug
Monotonie durch Induktion: ergänzt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:41 Sa 12.12.2009
Autor: Loddar

Hallo notinX!


Der negative Term wurde ergänzt, um wiederum auf den bereits bekannten Term [mm] $a_n$ [/mm] zu kommen.


Gruß
Loddar


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Monotonie durch Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:09 Sa 12.12.2009
Autor: angela.h.b.


>  Wenn [mm]a_n:=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n}[/mm],
> dann komme ich auf:
> [mm]a_{n+1}:=\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\dots+\frac{1}{2n+2}[/mm]
>  Wo kommen denn in der zweiten Zeile die doppelten Terme
> her und wieso steht in der dritten Zeile ein Minus? Es
> handelt sich doch nur um positive Zahlen.

Hallo,

beachte, daß ich aus meiner Antwort inzwischen einen Fehler entfernt habe. Natürlich ergänzt man [mm] 0=-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+1} [/mm] und nicht, wie zuvor dastand, [mm] 0=-\bruch{1}{n+2}+\bruch{1}{n+2}. [/mm]

Also ist [mm] a_{n+1}:=-\bruch{1}{n+1}+(\bruch{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\dots+\bruch{1}{2n})+\bruch{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}. [/mm]

Gruß v. Angela


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Bezug
Monotonie durch Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:10 So 13.12.2009
Autor: notinX

Das leuchtet mir ein.
Danke euch.

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