Monotonie und Beschränktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Mo 26.01.2009 | | Autor: | ronja33 |
| Aufgabe | i)Man zeige: Die durch [mm] a_{0}:=1 [/mm] sowie [mm] a_{n+1}:= \bruch{6(1+a_{n})}{(7+a_{n})} [/mm] rekursiv definierte Zahlenfolge ist monoton und beschränkt.
ii)Man bestimme ihren Grenzwert. |
Hallo,
im Allgemeinen dachte ich, ich hätte verstanden, wie man Monotonie und Beschränktheit zeigt. Aber ich kann dieses Wissen leider nicht auf obigen Fall übertragen.
Zur Monotonie: ich muss ja zeigen, dass [mm] a_{n+1}kleiner [/mm] als [mm] a_{n} [/mm] ist, oder?
Wie kann ich denn das mathematisch aufschreiben?
Und wie kommt man dann auf den Grenzwert? Kann ich einfach jeden Koeffizienten durch [mm] a_{n} [/mm] teilen und dann schauen, welcher Bruch Null wird?
Vielen Dank im Voraus!!!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Mo 26.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde die explizite Folgendarstellung für die Berechnungen verwenden, da kann man dann relativ schnell zeigen, dass die einen Grenzwert besitzt, wenn man [mm] n\to\infty [/mm] laufen lässt.
Dann ist es auch einfacher, zu zeigen, dass [mm] a_{n+1}>a_{n}, [/mm] weil mann dann direkt n bzw n+1 einsetzen kann, und vergleichen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Mo 26.01.2009 | | Autor: | ronja33 |
Hallo,
meinst du so: [mm] a_{n}:= \bruch{6(1+a_n-1)}{7+a_{n-1}} [/mm] ???
Steh' grad auf dem Schlauch...
Vielen Dank für die Hilfe!!!!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Mo 26.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich meine die Expilzite Darstellung der Folge, also z.B.:
[mm] a_{n}=\bruch{1}{n}+n-1
[/mm]
Also im "Argument" kommt eben kein [mm] a_{n-1} [/mm] mehr vor.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Mo 26.01.2009 | | Autor: | ronja33 |
hallo,
nach langem Probieren komme ich leider immer noch nicht auf die explizite Darstellung der Folge....kann ich einfach n statt [mm] a_{n} [/mm] schreiben? Ich kann mich leider nicht daran erinnern, dass wir gelernt haben, wie man das macht......
liebe grüße
ronja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Mo 26.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ronja,
> hallo,
>
> nach langem Probieren komme ich leider immer noch nicht auf
> die explizite Darstellung der Folge....kann ich einfach n
> statt [mm]a_{n}[/mm] schreiben? Ich kann mich leider nicht daran
> erinnern, dass wir gelernt haben, wie man das macht......
ich gehe nun einfach mal davon aus, dass diese, von Marius genannte, explizite Darstellung der Folge stimmt (da ich sie allerdings in keiner Form überprüft habe, wäre es z.B. an Dir, sie zu überprüfen) (Edit: siehe P.S. unten; ich hatte da etwas falsch gelesen. Im Folgenden ist klar, dass das ganze nur so gemeint ist, als wenn Marius wirklich eine explizite Darstellung Deiner Folge gefunden und Dir genannt hätte.). Unter dieses Annahme kann man die dann beweisen, indem man dann einfach einen Induktionsbeweis führt. (Sollte der Induktionsbeweis nicht gelingen, wird Marius sich vermutlich vertan haben. Oder Du machst einen Fehler oder übersiehst etwas im Induktionsbeweis, aber es wäre hier z.B. Deine Aufgabe, zu überprüfen, ob sich die von Marius genannte Formel per Induktion beweisen läßt.)
Aber:
Ich bitte darum, die Aufgabe nicht auf diesem Wege zu lösen. Ich bin mir sicher, dass der Aufgabensteller hier darauf abzielt, dass man lernt, den Hauptsatz über monotone Folgen anzuwenden. Deswegen bleibe bei der nicht expliziten Darstellung und benutze auch nur diese, um die Aufgabe zu lösen.
Selbstverständlich geht das auch mit der expliziten Darstellung (sicher kann man auch damit dann die Monotonie und Beschränktheit begründen, und daraus die Konvergenz folgern; aber wozu wäre das hilfreich, wenn man aus der expl. Darstellung eh quasi sofort die Konvergenz erkennt?). Aber i.a. ist es oft nicht einfach bishin zu unmöglich, eine explizite Darstellung einer rekursiv definierten Folge anzugeben, und daher sollte man das Prinzip, wie man dennoch mit rekursiv definierten Folgen und dem Hauptsatz arbeiten kann, gelernt werden. Das ist m.E. ein wichtiger Grund, warum in der Aufgabe nichts von einer expliziten Darstellung dabei steht.
(Viele solcher Aufgaben sind auch so formuliert:
Sei [mm] $a_0:=...$ [/mm] und [mm] $a_{n+1}:=irgendwas(a_n).$. [/mm]
Teil a): Zeigen Sie mit dem Hauptsatz über monotone Folgen, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergiert.
Teil b): Beweisen Sie, dass [mm] $a_{n+1}=irgendwas(n).$
[/mm]
Bemerkung: Beweisen Sie Teil a), ohne Teil b) zu benutzen.)
Der Zweck ist eben, auch für "nur" rekursiv definierte Folgen zu erkennen, dass und wie sich da der Hauptsatz für monotone Folgen anwenden läßt. Und darauf zielt der Aufgabensteller auch bei Deiner Aufgabe ab, da bin ich mir ziemlich sicher!
P.S.:
Ich sehe gerade, dass die Formel von Marius sich gar nicht auf die Aufgabe bezogen hat, sondern er nur ein allgemeines Beispiel genannt hat. D.h. mit anderen Worten:
Hier müßtest Du sogar erst mal versuchen, eine explizite Formel für Deine Folge zu finden/zu raten, diese zu begründen (z.B. Induktionsbeweis) und erst dann könntest Du damit arbeiten. Das könnte dann "mehr Mühe als nötig" kosten.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Di 27.01.2009 | | Autor: | ronja33 |
Hallo,
bin gerade total am verzweifeln. Ich komme bei dieser Aufgabe einfach überhaupt nicht weiter...:-( Wie wendet man denn hier den Hauptsatz über Monotonie an??? Und wie müsste ich dann weiter machen?
Vielen Dank für jede Hilfe im Voraus!
Liebe Grüße
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> Hallo,
>
> bin gerade total am verzweifeln. Ich komme bei dieser
> Aufgabe einfach überhaupt nicht weiter...:-( Wie wendet man
> denn hier den Hauptsatz über Monotonie an??? Und wie müsste
> ich dann weiter machen?
>
> Vielen Dank für jede Hilfe im Voraus!
>
> Liebe Grüße
Hallo,
zeige erstmal (Induktion), daß Deine Folge nach oben durch die 2 beschränkt ist.
Zeige dann mithilfe der Beschränkung nach oben, daß [mm] a_{n+1}-a_n>0 [/mm] ist für alle n.
Damit hast Du: [mm] a_n [/mm] ist monoton wachsend und beschränkt, woraus ja die Konvergenz folgt.
Also gibt es ein a mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a.
[/mm]
Nun bilde bei der Rekursion $ [mm] a_{n+1}:= \bruch{6(1+a_{n})}{(7+a_{n})} [/mm] $ auf beiden Seiten den Grenzwert. Du erhältst?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 Di 27.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> zeige erstmal (Induktion), daß Deine Folge nach oben durch
> die 2 beschränkt ist.
>
> Zeige dann mithilfe der Beschränkung nach oben, daß
> [mm]a_{n+1}-a_n>0[/mm] ist für alle n.
>
> Damit hast Du: [mm]a_n[/mm] ist monoton wachsend und beschränkt,
> woraus ja die Konvergenz folgt.
>
> Also gibt es ein $a [mm] \blue{(\in \IR)}$ [/mm] mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \blue{a_n}=a.[/mm]
ich habe die [mm] $a_n$ [/mm] nach dem Limes ergänzt 
> Nun bilde bei der Rekursion [mm]a_{n+1}:= \bruch{6(1+a_{n})}{(7+a_{n})}[/mm]
> auf beiden Seiten den Grenzwert. Du erhältst?
Nur zur Ergänzung:
Hier erhält man zwei Kandidaten für [mm] $a\,,$ [/mm] aber wenn man sich klarmacht, dass offensichtlich auch [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ für alle [mm] $\,n\,$ [/mm] gilt, so ist einer dieser Kandidaten unmöglich, womit nur noch der andere der gesuchte Grenzwert sein kann und sein muss.
Gruß,
Marcel
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Hallo Angela,
> zeige erstmal (Induktion), daß Deine Folge nach oben durch
> die 2 beschränkt ist.
da habe ich zwei kleine Nebenfragen:
1.) wie kommt man auf die Vermutung, dass 2 eine
obere Schranke ist ?
2.) würde der weitere Beweis ebenso funktionieren,
wenn man von der oberen Schranke 3 ausgeht ?
Gruß Al
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Offenbar macht es ja eben doch Sinn, sich um
den allenfalls möglichen Grenzwert zu kümmern,
bevor man durch den Monotonie- und
Beschränktheitsbeweis nachgewiesen hat, dass
er wirklich existiert !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Di 27.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> Offenbar macht es ja eben doch Sinn, sich um
> den allenfalls möglichen Grenzwert zu kümmern,
> bevor man durch den Monotonie- und
> Beschränktheitsbeweis nachgewiesen hat, dass
> er wirklich existiert !
nicht unbedingt. Denn dann kann man das Monotonie- und Beschränktheitskriterium auch hier ganz außer Acht lassen:
Mit [mm] $a_{n+1}=\frac{6*(1+a_n)}{7+a_n}$ [/mm] kann man sich überlegen, welche Werte für [mm] $a:=\lim_{n \to \infty} a_n$ [/mm] überhaupt in Frage kommen. Deren gibt es zwei. Dann muss man sich überlegen, ob [mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] gegen einen dieser beiden Werte konvergiert. Aber das kann (und wird i.a. bei rekursiv definierten Folgen) wesentlich vom Startwert [mm] $a_0$ [/mm] abhängen.
Hier:
Wähle mal [mm] $a_0=4 [/mm] (> [mm] 2)\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] schonmal nicht monoton wachsend. Es wäre allerdings hilfreich (aufgrund obiger Rechnung), sich die Frage nach der Existenz eines $N [mm] \in \IN$ [/mm] zu stellen, dass $0 [mm] \le a_N \le [/mm] 2$ ist. Denn dann kann man mit [mm] $(a_{n+N})_{n \in \IN_0}$ [/mm] argumentieren.
Ein anderes Beispiel:
Betrachte [mm] $x_{n+1}:=x_0*x_n$ [/mm] ($n [mm] \in \IN_0$), [/mm] wobei [mm] $(x_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] Folge in [mm] $\IR$. [/mm] Falls [mm] $x_n \to [/mm] x [mm] \not=0\,,$ [/mm] so muss [mm] $x_0=1$ [/mm] sein, und falls [mm] $x_{n} \to 0\,,$ [/mm] so folgt daraus nur die Gleichung [mm] $0=x_0 *0\,.$ [/mm] Alleine aus diesen Aussagen ist es schwer, sich klarzumachen, dass [mm] $(x_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] genau für alle [mm] $x_0 \in [/mm] (-1,1]$ konvergiert.
Gruß,
Marcel
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> Hallo Al,
>
> > Offenbar macht es ja eben doch Sinn, sich um
> > den allenfalls möglichen Grenzwert zu kümmern,
> > bevor man durch den Monotonie- und
> > Beschränktheitsbeweis nachgewiesen hat, dass
> > er wirklich existiert !
>
> nicht unbedingt. Denn dann kann man das Monotonie- und
> Beschränktheitskriterium auch hier ganz außer Acht lassen:
>
> Mit [mm]a_{n+1}=\frac{6*(1+a_n)}{7+a_n}[/mm] kann man sich
> überlegen, welche Werte für [mm]a:=\lim_{n \to \infty} a_n[/mm]
> überhaupt in Frage kommen. Deren gibt es zwei.
Genau das habe ich ja auch gemeint !
> Dann muss
> man sich überlegen, ob [mm](a_n)_{n \in \IN_0}[/mm] gegen einen
> dieser beiden Werte konvergiert. Aber das kann (und wird
> i.a. bei rekursiv definierten Folgen) wesentlich von
> Startwert [mm]a_0[/mm] abhängen.
>
> Gruß,
> Marcel
Hallo Marcel,
Genau das habe ich ja auch gemeint. Als Grenzwert
(falls es denn einen gibt) kommt für die vorliegende
Rekursionsformel nur entweder 2 oder -3 in Frage.
Zusammen mit der Beobachtung, dass alle Folgen-
glieder positiv sein müssen, bleibt nur 2 übrig.
Unter der weiteren (noch zu beweisenden) Hypo-
these, dass die Folge monoton steigt, dürfen wir
jetzt (provisorisch) schliessen, dass 2 eine obere
Schranke (und zwar die kleinstmögliche!) sein
müsste. Und nach allen diesen vorläufigen Überle-
gungen kann nun das eigentliche Beweisen losgehen:
1.) Beschränktheit mit Oberschranke 2
2.) Monotonie (streng monoton steigend)
3.) Grenzwert=2
(ergibt sich dann aus den Vorüberlegungen)
Jetzt hoffe ich nur, dass wir durch unsere Diskussion
die ursprüngliche Fragestellerin Ronja nicht "überfahren"
haben
LG Al-Chwarizmi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Di 27.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> Hallo Angela,
>
>
> > zeige erstmal (Induktion), daß Deine Folge nach oben durch
> > die 2 beschränkt ist.
>
> da habe ich zwei kleine Nebenfragen:
>
> 1.) wie kommt man auf die Vermutung, dass 2 eine
> obere Schranke ist ?
Folgender Ansatz:
Wir hätten gerne (vll. durch Vermutung nach Berechnung von ein paar ersten Folgenglieder), dass für alle $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] auch
[mm] $$a_{n+1} \ge a_n$$
[/mm]
gilt. Nun gilt sicher (weil man leicht [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ für alle [mm] $\,n\,$ [/mm] einsieht):
[mm] $$a_{n+1} \ge a_n$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \frac{6*(1+a_n)}{7+a_n} \ge a_n$$
[/mm]
[mm] $$\gdw 6+6a_n \ge 7a_n+a_n^2$$
[/mm]
[mm] $$\gdw a_n^2+a_n [/mm] -6 [mm] \le 0\,.$$
[/mm]
Daraus folgt insbesondere, dass, wenn [mm] $(a_n)_n$ [/mm] monoton wachsend ist, dann auch für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] dann [mm] $a_n \le [/mm] 2$ gelten muss.
> 2.) würde der weitere Beweis ebenso funktionieren,
> wenn man von der oberen Schranke 3 ausgeht ?
Um nachzuweisen, dass [mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] monoton wachsend ist, würde es nicht reichen, siehe obige Rechnung. Wohl aber könnte man dann durchaus auch die Beschränktheit von [mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] nach oben (durch $3$) per Induktion zeigen.
Gruß,
Marcel
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> i)Man zeige: Die durch [mm]a_{0}:=1[/mm] sowie [mm]a_{n+1}:= \bruch{6(1+a_{n})}{(7+a_{n})}[/mm]
> rekursiv definierte Zahlenfolge ist monoton und
> beschränkt.
>
> ii)Man bestimme ihren Grenzwert.
> im Allgemeinen dachte ich, ich hätte verstanden, wie man
> Monotonie und Beschränktheit zeigt. Aber ich kann dieses
> Wissen leider nicht auf obigen Fall übertragen.
> Zur Monotonie: ich muss ja zeigen, dass [mm]a_{n+1}[/mm] kleiner als
> [mm]a_{n}[/mm] ist, oder?
> Wie kann ich denn das mathematisch aufschreiben?
> Und wie kommt man dann auf den Grenzwert? Kann ich einfach
> jeden Koeffizienten durch [mm]a_{n}[/mm] teilen und dann schauen,
> welcher Bruch Null wird?
Hallo Ronja,
eine explizite Formel für diese Folge aufzustellen,
wie Marius vorschlägt, ist eben hier wohl gar nicht
so leicht - du kannst ja wohl kaum zum Prof gehen
und verlangen, dass er diese angibt
Um die Monotonie nachzuweisen, musst du zuerst
herausfinden, ob die Folge steigt oder fällt. Dazu
vergleichst du einfach mal die Glieder [mm] a_0 [/mm] und [mm] a_1.
[/mm]
Es lohnt sich wohl auch, ein paar weitere Glieder zu
berechnen (am besten in Bruchform !) - vielleicht
wird ja damit schon eine Gesetzmässigkeit sichtbar.
Im vorliegenden Fall ist [mm] a_1>a_0, [/mm] also muss die Folge
offenbar monoton steigend sein. Um dies zu beweisen,
kannst du versuchen nachzuweisen, dass [mm] a_{n+1}-a_n \ge [/mm] 0 ist
für alle n. Sollte dies nicht gehen, kannst du vielleicht
zeigen, dass alle Quotienten [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] grösser oder gleich
Eins sind. Mit [mm] a_0=1 [/mm] zusammen ergibt sich daraus auch
ein Beweis.
Wenn du dann Monotonie und Beschränktheit
nachgewiesen hast, muss ja ein endlicher Grenzwert g
existieren. Er ist leicht zu berechnen, da
$\ [mm] g=\limes_{n\to\infty}a_n=\limes_{n\to\infty}a_{n+1}$
[/mm]
Mit der Rekursionsformel zusammen führt dies
auf eine Gleichung für g.
LG
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