Monotonie und Beschränktheit < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen sie die Folge [mm] a_{n} [/mm] auf Monotonie und Beschränktheit!
[mm] a_{n}=( \bruch{3}{4})^{n} [/mm] |
Ich habe diese Frage noch in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich wollte euch bitten mir zu erklären, wie ich Folgen auf Monotonie und Beschränktheit überprüfen kann. Zwar hatten wir das letzte stunde im Unterricht, aber ich verstehe es einfach nicht. Also bitte ganz einfach und für Dumme ;)
Ich bin bei dieser Aufgabe so vorgegangen:
[mm] a_{n+1}= (\bruch{3}{4})^{n+1}
[/mm]
[mm] a_{n}= (\bruch{3}{4})^{n}
[/mm]
Monotonie: [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] <=> [mm] (\bruch{3}{4})^{n+1} [/mm] - [mm] (\bruch{3}{4})^{n}
[/mm]
= [mm] (\bruch{3}{4})^{n} [/mm] * [mm] \bruch{3}{4} [/mm] - [mm] (\bruch{3}{4})^{n}
[/mm]
= [mm] (\bruch{3}{4})^{n} [/mm] * [mm] (\bruch{3}{4} [/mm] - 1)
= [mm] (\bruch{3}{4})^{n} [/mm] > 0 für n > 0
d.h. Folge [mm] a_{n} [/mm] ist streng monoton steigend.
stimmt das bis hier hin?
Beschränktheit:
[mm] a_{n} [/mm] streng monoton steigend
[mm] a_{1}=\bruch{3}{4} [/mm] < [mm] a_{n} [/mm] ( n [mm] \in \IN [/mm] )
stimmt das? und wie jetzt weiter? ich hab die Monotonie und beschränktheit jetzt so wie wirs gemacht haben gemacht, aber ich kanns eigtl nicht wirklich nachvollziehen... warum ist [mm] a_{1}=\bruch{3}{4} [/mm] < [mm] a_{n} [/mm] ??? oder wenns falsch ist, warum ist [mm] a_{1}=\bruch{3}{4} [/mm] > [mm] a_{n}? [/mm]
wäre super, wenn mir jemand das Ganze nochmal logisch erklären könnte :)
danke schonmal,
mathenullcheck
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> Untersuchen sie die Folge [mm]a_{n}[/mm] auf Monotonie und
> Beschränktheit!
>
> [mm]a_{n}=( \bruch{3}{4})^{n}[/mm]
> Ich habe diese Frage noch in
> keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> ich wollte euch bitten mir zu erklären, wie ich Folgen
> auf Monotonie und Beschränktheit überprüfen kann. Zwar
> hatten wir das letzte stunde im Unterricht, aber ich
> verstehe es einfach nicht. Also bitte ganz einfach und für
> Dumme ;)
>
> Ich bin bei dieser Aufgabe so vorgegangen:
Hallo,
als allererstes würde ich mal meinen Taschenrechner nehmen und [mm] a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7 [/mm] ausrechnen. Dann weißt Du nämlich schonmal, ob Du zeigen willst, daß die Folge steigt oder fällt, und ein Teil Deiner Fragen beantwortet sich damit.
>
> [mm]a_{n+1}= (\bruch{3}{4})^{n+1}[/mm]
> [mm]a_{n}= (\bruch{3}{4})^{n}[/mm]
>
> Monotonie: [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}[/mm] <=> [mm](\bruch{3}{4})^{n+1}[/mm] - [mm](\bruch{3}{4})^{n}[/mm]
Es muß heißen [mm] a_{n-1}-a_n\red{=}$(\bruch{3}{4})^{n+1}$ [/mm] - [mm] $(\bruch{3}{4})^{n}$.
[/mm]
> = [mm](\bruch{3}{4})^{n}[/mm] * [mm]\bruch{3}{4}[/mm] - [mm](\bruch{3}{4})^{n}[/mm]
> = [mm](\bruch{3}{4})^{n}[/mm] * [mm](\bruch{3}{4}[/mm] - 1)
> = [mm](\bruch{3}{4})^{n}[/mm] > 0
Es ist doch [mm] $(\bruch{3}{4})^{n}$ [/mm] * [mm] $(\bruch{3}{4}$ [/mm] - 1) nicht gleich [mm] $(\bruch{3}{4})^{n}$.
[/mm]
Es ist [mm] $(\bruch{3}{4})^{n}$ [/mm] * [mm] $(\bruch{3}{4}$ [/mm] - [mm] 1)=$(\bruch{3}{4})^{n}$ [/mm] * [mm] $(-\bruch{1}{4}$ [/mm] < 0 für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
Welche Lehre zieht man daraus?
Gruß v. Angela
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ah das heißt, $ [mm] a_{n} [/mm] $ ist streng monoton fallend?! Danke! :)
und wie geh ich jetzt bei der Beschränktheit vor?
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> ah das heißt, [mm]a_{n}[/mm] ist streng monoton fallend?! Danke!
> :)
> und wie geh ich jetzt bei der Beschränktheit vor?
Hallo,
hast Du kapiert, was "beschränkt" bedeutet?
Kannst Du eine obere und eine untere Schranke sagen?
Gruß v. Angela
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> > ah das heißt, [mm]a_{n}[/mm] ist streng monoton fallend?! Danke!
> > :)
> > und wie geh ich jetzt bei der Beschränktheit vor?
>
> Hallo,
>
> hast Du kapiert, was "beschränkt" bedeutet?
> Kannst Du eine obere und eine untere Schranke sagen?
>
> Gruß v. Angela
>
>
> ja ansich weiß ich was damit gemeint ist: welche zahl größer bzw. kleiner als alle folgeglieder ist, aber ich weiß nicht wie ich das erkenne...
>
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Hallo mathenullcheck,
> >
> > > ah das heißt, [mm]a_{n}[/mm] ist streng monoton fallend?! Danke!
> > > :)
> > > und wie geh ich jetzt bei der Beschränktheit vor?
> >
> > Hallo,
> >
> > hast Du kapiert, was "beschränkt" bedeutet?
> > Kannst Du eine obere und eine untere Schranke sagen?
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> >
> ja ansich weiß ich was damit gemeint ist: welche zahl
> größer bzw. kleiner als alle folgeglieder ist, aber ich
> weiß nicht wie ich das erkenne...
Nochmal kurz zur Monotonie:
Anstatt [mm] $a_{n+1}-a_n\le [/mm] 0$ bzw. umgestellt [mm] $a_{n+1}\le a_n$ [/mm] u zeigen, kannst du alternativ und hier sehr schnell zielbringend zeigen, dass [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}\le [/mm] 1$ ist ... (Stelle in der leten Ungleichung mal um ...)
(Für strenges Wachstum/Fallen halt die echten Ungleichungen ...)
Zu den Schranken.
Nun, du hast ne Folge von positiven Gliedern, die monoton fallend ist, da drängt sich eine obere Schranke doch direkt auf ...
Da alle Glieder positiv sind, könnte man auf die Idee kommen, 0 als untere Schranke anzunehmen.
Zeige mal per Induktion, dass [mm] $a_n\ge [/mm] 0$ für alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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> Hallo mathenullcheck,
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> > >
> > > > ah das heißt, [mm]a_{n}[/mm] ist streng monoton fallend?! Danke!
> > > > :)
> > > > und wie geh ich jetzt bei der Beschränktheit
> vor?
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > hast Du kapiert, was "beschränkt" bedeutet?
> > > Kannst Du eine obere und eine untere Schranke
> sagen?
> > >
> > > Gruß v. Angela
> > >
> > >
>
> > ja ansich weiß ich was damit gemeint ist: welche zahl
> > größer bzw. kleiner als alle folgeglieder ist, aber ich
> > weiß nicht wie ich das erkenne...
>
> Nochmal kurz zur Monotonie:
>
> Anstatt [mm]a_{n+1}-a_n\le 0[/mm] bzw. umgestellt [mm]a_{n+1}\le a_n[/mm] u
> zeigen, kannst du alternativ und hier sehr schnell
> zielbringend zeigen, dass [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}\le 1[/mm] ist ...
> (Stelle in der leten Ungleichung mal um ...)
>
> (Für strenges Wachstum/Fallen halt die echten
> Ungleichungen ...)
>
> Zu den Schranken.
>
> Nun, du hast ne Folge von positiven Gliedern, die monoton
> fallend ist, da drängt sich eine obere Schranke doch
> direkt auf ...
>
> Da alle Glieder positiv sind, könnte man auf die Idee
> kommen, 0 als untere Schranke anzunehmen.
>
> Zeige mal per Induktion, dass [mm]a_n\ge 0[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
jetzt bin ich verwirrt... meinst du jetzt die obere oder die untere schranke? du sagst es drängt sich eine obere schranke auf, schreibst dann aber:Da alle Glieder positiv sind, könnte man auf die Idee
kommen, 0 als untere Schranke anzunehmen. ???
mit induktion ist doch immer der nächste schritt gemeint oder? also n+1
oje, ich verstehs nicht :(
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Hallo nochmal,
> > Hallo mathenullcheck,
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> > > > > ah das heißt, [mm]a_{n}[/mm] ist streng monoton fallend?! Danke!
> > > > > :)
> > > > > und wie geh ich jetzt bei der Beschränktheit
> > vor?
> > > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > hast Du kapiert, was "beschränkt" bedeutet?
> > > > Kannst Du eine obere und eine untere Schranke
> > sagen?
> > > >
> > > > Gruß v. Angela
> > > >
> > > >
> >
> > > ja ansich weiß ich was damit gemeint ist: welche zahl
> > > größer bzw. kleiner als alle folgeglieder ist, aber ich
> > > weiß nicht wie ich das erkenne...
> >
> > Nochmal kurz zur Monotonie:
> >
> > Anstatt [mm]a_{n+1}-a_n\le 0[/mm] bzw. umgestellt [mm]a_{n+1}\le a_n[/mm] u
> > zeigen, kannst du alternativ und hier sehr schnell
> > zielbringend zeigen, dass [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}\le 1[/mm] ist ...
> > (Stelle in der leten Ungleichung mal um ...)
> >
> > (Für strenges Wachstum/Fallen halt die echten
> > Ungleichungen ...)
> >
> > Zu den Schranken.
> >
> > Nun, du hast ne Folge von positiven Gliedern, die monoton
> > fallend ist, da drängt sich eine obere Schranke doch
> > direkt auf ...
> >
> > Da alle Glieder positiv sind, könnte man auf die Idee
> > kommen, 0 als untere Schranke anzunehmen.
> >
> > Zeige mal per Induktion, dass [mm]a_n\ge 0[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
> >
> jetzt bin ich verwirrt... meinst du jetzt die obere oder
> die untere schranke? du sagst es drängt sich eine obere
> schranke auf, schreibst dann aber:Da alle Glieder positiv
> sind, könnte man auf die Idee
> kommen, 0 als untere Schranke anzunehmen. ???
Ja, die Lücke ... oben solltest du füllen.
Wenn die Folge monoton fallend ist, ist doch offensichtlich das erste Folgenglied das größte. Also tut es [mm]a_1=\frac{3}{4}[/mm] als obere Schranke (jede andere größere Zahl tut es natürlich auch)
Was die (eine) untere Schranke angeht, so "sieht" man doch auf einen Blick relativ offensichtlich, dass alle Folgenglieder positiv sind.
Jedes der [mm]a_n[/mm] entsteht durch wiederholtes Potenzieren, ausgehend von [mm]a_1=\frac{3}{4}[/mm], also [mm]a_2=\left(\frac{3}{4}\right)^2, a_3=\left(\frac{3}{4}\right)^3, ...[/mm]
Das steuert immer weiter auf 0 zu.
Versuche mal, diese Offensichtlichkeit etwas im Detail zu begründen, dass also für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt: [mm]a_n\ge 0[/mm]
Dass also 0 untere Schranke ist.
Im Endeffekt läuft es darauf hinaus, dass 0 der Grenzwert [mm]\lim\limits_{n\to\infty}a_n[/mm] ist.
Es gibt da einen Satz, der besagt: "eine monoton fallende, nach unten beschränkte Folge (reeller Zahlen) ist konvergent"
> mit induktion ist doch immer der nächste schritt gemeint
> oder? also n+1
Dass 0 untere Schranke ist, zeigt man formal (üblicherweise) mit vollst. Induktion.
Hattet ihr das?
Dann schlage das Prinzip nach!
Der Beweis ist hier relativ kurz und unkompliziert.
Aber dazu musst du das Schema/Prinzip der VI zuerst verstanden haben ...
> oje, ich verstehs nicht :(
Wie gesagt: Hattet ihr das?
Falls nicht, müssen wir etwas anderes überlegen, falls ja, ziehe dir zuerst das Prinzip der Vollst. Ind. auf die Platte, sonst bringt ein Weitermachen nix.
Gruß
schachuzipus
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