Monotoniekriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] a_{n}:=\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^2}[/mm].
Dann ist [mm]f = (a_n[/mm]) monoton wachsend und beschränkt, also konvergent: Denn es ist [mm]a_{n+1}-a_{n} = \bruch{1}{(n+1)^2} > 0[/mm] für jedes [mm]n\in\IN[/mm] und folglich ist f monoton wachsend. Ferner haben wir bereits in 2.1.5(4) festgestellt, dass f beschränkt ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Im Skript wurde diese Folge als Beispiel genommen, um mit Hilfe des Monotoniekriteriums die Konvergenz dieser Folge zu belegen. Meine Frage ist jetzt folgende:
Mir ist klar, dass wenn [mm]a_{n+1}-a_{n} > 0[/mm] ist, die Folge monoton wachsend ist. Aber warum ist [mm]a_{n+1}-a_{n} = \bruch{1}{(n+1)^2}[/mm] ?
Müßte nicht [mm]a_{n+1}-a_{n} = \bruch{1}{(n+1)^2} - \bruch{1}{n^2}[/mm] sein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Mo 22.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo schlumpfinchen,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du vergisst wohl, dass es sich bei [mm] $\left< \ a_n \ \right>$ [/mm] um eine Reihe (also um eine Summe handelt), die man auch rekursiv formulieren kann. Betrachten wir mal das Glied [mm] $a_{n+1}$ [/mm] :
[mm] $$a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k^2} [/mm] \ = \ [mm] \red{\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2}}+\blue{\summe_{k=n+1}^{n+1}\bruch{1}{k^2}} [/mm] \ = \ [mm] \red{a_n}+\blue{\bruch{1}{(n+1)^2}}$$
[/mm]
Nun klar(er) für [mm] $a_{n+1}-a_n$ [/mm] ??
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
jetzt hab ich's soweit verstanden. Vielen Dank und viele Grüße!
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