Monotonieverhalten < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich poste hier nochmal ein Teilstück meiner anderen Frage, ich glaube, das passt separat nochmal besser.
Was muss ich zur Bestimmung der Monotonie einer FUnktion wissen und berechnen? Angeblich gibt mir ja das Vorzeichen der ersten Ableitung Information darüber. Aber wie soll ich mir das vorstellen? Wie kann eine Ableitung größer oder kleiner 0 sein, wenn es ein Funktionsterm ist?
Danke!
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Hallo Englein,
> Hallo,
> ich poste hier nochmal ein Teilstück meiner anderen Frage,
> ich glaube, das passt separat nochmal besser.
>
> Was muss ich zur Bestimmung der Monotonie einer FUnktion
> wissen und berechnen? Angeblich gibt mir ja das Vorzeichen
> der ersten Ableitung Information darüber. Aber wie soll ich
> mir das vorstellen?
Nun, die Ableitung gibt dir ja die Steigung an.
Wenn diese in einem Intervall I >0 ist, so ist die Funktion in diesem Intervall I (streng) monoton steigend, wenn die Ableitung in einem Intervall J <0 ist, so ist die Funktion in dem Intervall J (streng) monoton fallend
> Wie kann eine Ableitung größer oder
> kleiner 0 sein, wenn es ein Funktionsterm ist?
Die Frage verstehe ich nicht?!
Machen wir's mal an einem Bsp. Du kennst die Normalparabel [mm] $f(x)=x^2$
[/mm]
Von der weißt du, dass sie im Intervall [mm] $(-\infty,0)$ [/mm] streng monoton fallend ist und im Intervall [mm] $(0,\infty)$ [/mm] streng monoton steigend ist
Schauen wir uns den Zusammenhang mit der Ableitung an.
Es ist $f'(x)=2x$
Nun ist [mm] $f'(x)=2x<0\gdw [/mm] x<0$ und [mm] $f'(x)=2x>0\gdw [/mm] x>0$
Passt also
> Danke!
LG
schachuzipus
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Danke soweit!
Ich habe im Moment allgemein ein Problem mit der Aussage "Ableitung größer 0". Für mich ist die Ableitung eben zB 2x von [mm] x^2. [/mm] Aber wie hast du jetzt berechnet, dass die ABleitung größer bzw kleiner 0 ist? Ich stehe da gerade auf dem Schlauch.
Genau auch wie bei der Krümmung und der 2. Ableitung.
Da heißt es ja: f ist konkav, wenn f''(x) kleiner gleich 0 ist. Aber was mache ich denn dann, wenn ich den Funktionsterm der 2. Ableitung habe?
Beispiel:
f(x)=e^(-x²)
f'(x)=-2x*e^(-x²)
f''(x) ist nach Produktregel/müsste sein: -2e^(-x²) - 2x* (-2x*e^(-x²))
Und nun? Wie bestimme ich ob das nun konkav oder konvex ist?
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Hallo Englein,
wenn Du für so eine Funktion die Fragestellung hast, ob sie wohl größer oder kleiner als Null ist, kann es verschiedene Ergebnisse geben:
[mm] x^2+1<0 [/mm] ist z.B. nie wahr, weil für alle x gilt: [mm] x^2+1\ge1
[/mm]
3x-4<0 ist wahr für [mm] x<\bruch{4}{3}
[/mm]
[mm] x^4-2x^3-5x^2+6x<0 [/mm] ist dann einfach, wenn man die Nullstellen -2,0,1,3 gefunden hat. Die Ungleichung ist also wahr für x<-2, 0<x<1 und x>3.
Du untersuchst die betreffende Funktion in ihrem gesamten Definitionsbereich auf ihre möglichen Funktionswerte.
An Deinem Beispiel:
> [mm] f(x)=e^{-x^2}
[/mm]
>
> [mm] f'(x)=-2x*e^{-x^2}
[/mm]
>
> f''(x) ist nach Produktregel/müsste sein: [mm] -2e^{-x^2} [/mm] - [mm] 2x*(-2x*e^{-x^2})
[/mm]
Alles richtig. Das sieht ganz so aus, als dürftest Du Dich darauf verlassen, dass Du die Regeln beherrschst und sicher anwendest. Du brauchst kein "müsste sein" mehr. 
Ein Tipp zwischendurch: wenn Du das Argument einer Funktion wie [mm] e^x [/mm] hier nicht in normale, sondern in geschweifte Klammern einfasst, erkennt der Editor, dass es sich um das Argument handelt, auch wenn es ein längerer Ausdruck ist. Versuch mal die Funktion "Vorschau" (ein Button links unter dem Eingabefeld), dann kannst Du schon vor dem Absenden probieren, wie Dein Beitrag aussehen wird. Ich habe fast nur die Klammern geändert, und schon sind Deine Formeln wunderhübsch, findest Du nicht?
> Und nun? Wie bestimme ich ob das nun konkav oder konvex
> ist?
[mm] f''(x)=-2e^{-x^2}-2x*(-2x*e^{-x^2})=-2*e^{-x^2}*(1-2x^2)
[/mm]
Das ist zu untersuchen. Ich habe den Funktionsterm einmal etwas umgeschrieben, so dass man drei Faktoren betrachten kann:
1) -2 ist immer kleiner als 0.
2) [mm] e^{-x^2} [/mm] ist immer größer als 0.
3) [mm] (1-2x^2) [/mm] ist eine nach unten offene Parabel... Die Nullstellen liegen bei [mm] x_{1/2}=\pm\bruch{1}{2}\wurzel{2}
[/mm]
Das Vorzeichen des Produkts dieser drei Faktoren, egal wie es sich dann als Zahl darstellt, lässt sich also gut bestimmen:
[mm] f''(x)=-2*e^{-x^2}*(1+2x^2)\red{>0} [/mm] für [mm] x<-\bruch{1}{2}\wurzel{2} [/mm] und [mm] x>\bruch{1}{2}\wurzel{2}
[/mm]
[mm] f''(x)=-2*e^{-x^2}*(1+2x^2)\red{<0} [/mm] für [mm] -\bruch{1}{2}\wurzel{2}
Dann weißt Du zugleich mehr darüber, wo die Funktion konvex oder konkav ist, und übrigens auch die genaue Lage der Wendepunkte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Englein89 |
Danke für die liebe Antwort! :o) Ich werde versuchen, die Terme in Zukunft besser zu schreiben, aber manchmal bin ich mit der Schreibweise hier noch etwas überfordert.
Vielen Dank für die Hilfe hier - ich bin schon so lange dabei und diesem Forum immer treu - selbst ich als Mathe-Unbegabte habe durch euch (und eure Geduld) so einiges gelernt! Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 Sa 27.12.2008 | | Autor: | reverend |
Hallo Englein!
Wer auch immer Dir eingeredet hat, dass Du in Mathe "unbegabt" bist, war ein Idiot. Tut mir leid, wenn ich damit Eltern, Geschwister, Lehrer oder Freunde beleidigen sollte, aber irgend jemand muss das mal sagen.
Bloß, weil Du nicht alles sofort verstehst oder manchmal eine Antwort bekommst, die die Frage nachträglich als geradezu lächerlich einfach entlarvt, kannst Du Deine Aussage daraus nicht folgern. Mir geht das z.B. alles ganz genauso, nur haben mir verschiedene Leute (Kategorien siehe oben) eingeimpft, dass ich in Mathe "begabt" sei.
Einen großen Unterschied kann ich dabei nicht erkennen, außer dass ich mich schon seit viel mehr Jahren mit dem Fach herumstreite und das immer noch spannend und manchmal sogar beglückend finde. Im "Mathematikum" in Gießen (wirklich besuchenswert!) kann man T-Shirts mit dem Aufdruck "Mathe macht glücklich" kaufen. Auf keine Botschaft auf meinem sonst wenig werbetauglichen Brustkorb bin ich so oft angesprochen worden wie auf diese...
Deine Fragen hier sprechen jedenfalls eine andere Sprache als die einer "Unbegabtheit". Du arbeitest einfach an Mathe, und manchmal bleibst Du dabei irgendwo hängen. Das ist normal. Wahrscheinlich bist du kein Mathe-Genie. Na und? Das dürfte für mindestens 99% der Nutzer dieses Matheforums gelten, und das ist ja schon eine ziemliche Auswahl aus der Durchschnittsbevölkerung.
Vielleicht brauchst Du andere Freunde/Freundinnen oder meinetwegen eine Zeitlang gute psychologische Unterstützung (wenn ich mal Werbung für eine verkannte Berufsgruppe machen darf ), um zu erkennen, dass Du Dir ein gutes Selbstbewusstsein leisten darfst. Du hast doch Grund genug dazu.
Liebe Grüße,
reverend
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