Monotonieverhalten < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Sa 28.05.2005 | | Autor: | Bounty |
Hallo,
ich hab ein kleines Problem in Mathematik, das Monotonieverhalten. Ich bin auf der Wirtschaftsfos und die Abschlussprüfung steht in 2 Wochen an. Unser Mathelehrer hat bis jetzt noch nicht viel darüber erwähnt, und ich komme mit den Lösungswegen darüber im roten Buch überhaupt nicht klar.
Ich bräuchte nur eine kurze Erklärung in Worten über ein Lösungsweg.
Dass ist eine Aufgabe aus dem Jahr 2001 Analysis I:
Funktion Fk (x)= 1/4x³-kx+4
Aufgabe: Ermitteln Sie in Abhängigkeit von k die maximalen Intervalle, in denen die Fuktion fk echt monoton zunehmen ist.
Des wäre echt super wenn ihr mir da helfen könntet.
Gruß
Bounty
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Sa 28.05.2005 | | Autor: | zwaem |
Hi,
ich kenne solche Aufgabenstellungen schon von meinem Lehrer, die sind nur zur verwirrung da.
So wie ich diese Aufgabe verstehe sollst du einfach die Extrema berechnen. Das einzige komplizierte an der Aufgabe ist, dass du den Parameter k beachten musst.
Ich hoffe dir sei hiermit geholfen. Oder brauchst du wirklich noch die Lösungswege.
MfG Zwaem
"Gibt mir einen festen Punkt und ich werde die Erde aus ihren Angeln heben" - Archiemedis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Sa 28.05.2005 | | Autor: | Mehmet |
Hallo Bounty,
Bei der Untersuchung des Monotonieverhaltens einer Funktion geht es ja im Allgemeinen um die Steigung einer Funktion, und die Steigung einer Funkton hat ja bekanntermaßen mit der Ableitungsfunktion zu tun.
Wir bilden sie also:
[mm] f(x)=\bruch{1}{4} x^{3}-kx+4
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{3}{4}x^{2}-k
[/mm]
Bei deiner Aufgabenstellung wollen die ja wissen, wo diese Funktion echt monoton steigend ist also, soweit ich weiß heißt "echt" soviel wie "streng"???
Sie wollen also wissen wann die Steigung deiner Funktoin positiv ist.
Mathematisch ausgedrückt:
f'(x)>0
Also wir bilden:
[mm] \bruch{3}{4}x^{2}-k>0
[/mm]
Nun löst du nach x auf und erhälst den x-Wert, für welchen deine Funktion eine positive Steigung hat.
Und dann kannst du deine Intervalle bilden, hoffentlich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Sa 28.05.2005 | | Autor: | Mehmet |
Hallo bounty
> [mm]\bruch{3}{4}x^{2}-k>0[/mm]
> Nun löst du nach x auf und erhälst den x-Wert, für welchen
Natürlich erhälst du wegen der Ungleichung dann DIE x-WertE!
Schönen Abend noch!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:15 So 29.05.2005 | | Autor: | Bounty |
Hallo,
also ersteinmal danke dass ihr mir so schnell geantwortet habt. Dass schaut schon alles mal viel einsichtiger aus als in meiner Seitenlangen Lösung.
Also im Grunde genommen wenn ich des Monotonieverhalten haben will, immer die Ableitung größer Null und dann kleiner Null setzen.
Kann ich auch wenn ich die Extremwerte kenne und dann ne Ahnung hab wie die Funktion ausschaut die Monotonie berechnen indem ich einfach zwei X-Werte links und zwei rechts vom jeweiligen Extremwert einsetze?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 So 29.05.2005 | | Autor: | Fugre |
> Hallo,
> also ersteinmal danke dass ihr mir so schnell geantwortet
> habt. Dass schaut schon alles mal viel einsichtiger aus als
> in meiner Seitenlangen Lösung.
>
> Also im Grunde genommen wenn ich des Monotonieverhalten
> haben will, immer die Ableitung größer Null und dann
> kleiner Null setzen.
>
> Kann ich auch wenn ich die Extremwerte kenne und dann ne
> Ahnung hab wie die Funktion ausschaut die Monotonie
> berechnen indem ich einfach zwei X-Werte links und zwei
> rechts vom jeweiligen Extremwert einsetze?
Hallo Bounty,
genau, du guckst einfach in welchem Intervall der Graph der
ersten Ableitung oberhalb der x-Achse verläuft. Die Idee mit
den Extremwerten funktioniert auch, denn eine "normale"
Funktion kann nur an einem Extrempunkt das Vorzeichen der
Ableitung, also die Monotonie ändern. Sprich du nimmst zwei
benachbarte Extremstellen als Intervallgrenzen.
Ich weiß allerdings nicht warum du 2 Werte links und rechts vom
Extrema nehmen willst.
Liebe Grüße
Fugre
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Hi, Bounty,
> Also im Grunde genommen wenn ich des Monotonieverhalten
> haben will, immer die Ableitung größer Null und dann
> kleiner Null setzen.
Stimmt! Aber vergiss' bei der Angabe der Monotonie-Intervalle nicht, dass
die Ränder (naturlich außer [mm] \pm\infty) [/mm] dazugehören!
>
> Kann ich auch wenn ich die Extremwerte kenne und dann ne
> Ahnung hab wie die Funktion ausschaut die Monotonie
> berechnen indem ich einfach zwei X-Werte links und zwei
> rechts vom jeweiligen Extremwert einsetze?
Das kannst Du tun! Man gibt das Ergebnis im allgemeinen in Form einer Vorzeichentabelle an.
Bei Deiner Aufgabe (AI von 2001) geht's aber ja eigentlich nur um das Intervall bzw. die Intervalle, in denen der Graph der Funktion STEIGT. Der Rest ist hier icht gefragt!
Nun: f'(x) = [mm] \bruch{3}{4}x^{2} [/mm] - k.
f'(x) = 0 <=> [mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \pm\wurzel{\bruch{4k}{3}}
[/mm]
(Du hast übrigens vergessen, zu schreiben, dass k [mm] \ge [/mm] 0 sein soll!!!
Parametergrundmengen sind WICHTIG, da man sich hierdurch evtl. Fallunterscheidungen sparen kann. In Deiner Aufgabe entfällt daher der Fall k<0.)
Der Fall k=0 ist natürlich ein Sonderfall, weil's hier nur eine Lösung gibt: [mm] x_{1/2}=0. [/mm] Hier liegt also keine Extremstelle vor sondern eine Terrassenstelle. Für k=0 ist der Graph in ganz [mm] \IR [/mm] echt monoton steigend bzw. die Funktion [mm] f_{o} [/mm] ist echt monoton zunehmend.
Falls k>0 ist, gibt's 2 verschiedene Lösungen und die Vorzeichentabelle sieht etwa so aus:
................. [mm] -\wurzel{\bruch{4k}{3}} [/mm] ................ [mm] +\wurzel{\bruch{4k}{3}} [/mm] ...........................
f'(x) >0 <0 >0
Daraus ergeben sich dann die beiden Intervalle, in denen die Funktion echt monoton zunimmt:
] [mm] -\infty; -\wurzel{\bruch{4k}{3}} [/mm] ] sowie [ [mm] +\wurzel{\bruch{4k}{3}}; +\infty [/mm] [
(Beachte die Klammersetzung!)
Noch Fragen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:50 So 29.05.2005 | | Autor: | Bounty |
ähm nein ich habe keine Fragen mehr. Ich habe nun dass verstanden was ich schon seit den Ferien versuche zu verstehen 
Danke an euch alle, auch über eure super schnellen Antworten
mfg
bounty
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