Monotonieverhalten & Krümmung < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Do 07.09.2006 | | Autor: | kimnhi |
Hi
Ich hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt!
Ich mache momentan mein Abi via Fernstudium nach und es fällt mir nicht gerade leicht, da ich ja auch keinen Lehrer zur Verfügung habe, den ich fragen könnte.
Folgende Aufgabe, bei der ich Schwierigkeiten habe:
Gegeben sei die Funktion [mm] 3x^4-12x^3+12x^2-3
[/mm]
Untersuchen sie das Monotonie- sowie das Krümmungsverhalten?
(wie geht das?;()
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Do 07.09.2006 | | Autor: | Fulla |
hi kimnhi!
um die monotonie einer funktion zu untersuchen, muss man erst ihre extremwerte bestimmen, denn das monotonieverhalten ändert sich dort:
[mm]f(x)=3x^4-12x^3+12x^2-3[/mm]
[mm]f'(x)=12x^3-36x^2+24x[/mm]
[mm]f'(x)=0\gdw12x^3-36x^2+24x=0[/mm]
[mm]\gdw 12x*(x^2-3x+2)=0[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]x=0\quad x=1\quad x=2[/mm]
es gibt also 4 monotonie-intervalle:
[mm]]-\infty;0[ \quad ]0;1[ \quad ]1;2[ \quad ]2;\infty[[/mm]
ob die funktion in diesen bereichen nun steigend oder fallend ist, kannst du dir anhand der art der extremwerte überlegen (zwischen einem maximum und einem minimum muss die kurve beispielsweise fallen)...
in diesem fall kannst du das aber auch an der funktion selbst ablesen:
polynome mit [mm] x^4 [/mm] als größte potenz sehen aus wie ein geschwungenes "W" (würde es heißen [mm] -3x^4... [/mm] wäre es ein "umgedrehtes" W)
es folgt also:
[mm]]-\infty;0[[/mm]: streng monoton fallend
[mm]]0;1[[/mm]: streng monoton steigend
[mm]]1;2[[/mm]: str. mon. fallend
[mm]]2;\infty[[/mm]: str. mon. steigend
für das krümmungsverhalten braucht man die wendepunkte:
[mm]f''(x)=36x^2-72x+24[/mm]
[mm]f''(x)=0\gdw x=1\pm\bruch{\wurzel{3}}{3}[/mm]
jetzt gibt es wieder intervalle:
[mm]]-\infty;1-\bruch{\sqrt{3}}{3}[\quad ]1-\bruch{\sqrt{3}}{3};1+\bruch{\sqrt{3}}{3}[\quad ]1+\bruch{\sqrt{3}}{3};\infty[[/mm]
um rauszufinden ob die funktion in diesen intervallen nun rechts oder links gekrümmt ist, schaut man, welches vorzeichen die zweite ableitung in diesen bereichen hat: [mm]f''(x)<0\gdw rechtsgekrümmt\quad f''(x)>0\gdw linksgekrümmt[/mm]
wenn du die funktion schon gezeichnet hast, oder dir zumindest vorstellen kannst wie sie aussieht, kannst du auch so vorgehen:
stell dir vor, du fährst mit dem fahrrad auf der kurve entlang (von [mm] -\infty [/mm] nach [mm] \infty)... [/mm] würdest du nach links lenken, ist die funktion dort linksgekrümmt (also [mm]f''(x)>0[/mm]), analog für rechtsgekrümmt.
anmerkung: natürlich muss man erst überprüfen, ob die extremwerte und wendepunkte auch wirklich welche sind! es könnte ja auch terrassenpunkte geben...
so, ich hoffe das hat dir weitergeholfen...
such doch auch mal bei www.wikipedia.de nach "monotonie" oder "wendepunkt"... da findest du auch recht gute erklärungen!
lieben gruß,
Fulla
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