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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 08:59 Sa 18.02.2006 | | Autor: | Polynomy |
Hallo, ich habe mal einige Fragen zur Optionspreisberechnung nach Monte-Carlo.
So wie ich das verstanden habe, berechnet man mehrere Aktienkurse für den Zeitpunkt T, berechnet dann damit jeweils den Optionspreis, nimmt davon den Mittelwert, diskontiert den auf den heutigen Zeitpunkt und hat so einen Wert für den heutigen Optionspreis.
Stimmt das soweit?
Jetzt kommen nämlich meine Fragen:
1) Mit welcher Methode rechnet man die Aktienkurse aus? Einfach mit einer Diskretisierung der Geom. Brownschen Bewegung? Oder mit der Binomialmethode?? Oder finite Differenzen (expl., impl, Crank-Nicolson)??
2) Welche Gleichung wird bei MC integriert? Die Black-Scholes-Gleichung bzw. die transformierte [mm] $y_{xx}=y_{\tau}$?
[/mm]
und
3) Wie berechnet man prinzipiell den Wert von AMERIKANISCHEN Optionen mit Monte-Carlo? Man bräuchte ja die early-exercise-Kurve, aber wie bekommt man die? Diese Frage interessiert mich besonders.
Also, wenn mir irgendjemand auch nur bei einer Teilfrage helfen könnte, wär ich sehr, sehr froh.
Danke schön!
Katrin.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:21 Di 21.02.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Katrin,
leider konnte dir in dem von dir vorgesehenen Fälligkeitszeitraum niemand helfen! Vielleicht hast du ja beim nächsten Mal mehr Glück! ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Viele Grüße
Astrid
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:01 Mi 22.02.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Katrin!
> Hallo, ich habe mal einige Fragen zur
> Optionspreisberechnung nach Monte-Carlo.
>
> So wie ich das verstanden habe, berechnet man mehrere
> Aktienkurse für den Zeitpunkt T, berechnet dann damit
> jeweils den Optionspreis, nimmt davon den Mittelwert,
> diskontiert den auf den heutigen Zeitpunkt und hat so einen
> Wert für den heutigen Optionspreis.
Genau. Wobei man z.B. bei asiatischen Optionen bei der Endpreisberechnung auch noch den Kursverlauf bis zu dem Zeitpunkt mitberuecksichtigt.
> Stimmt das soweit?
>
> Jetzt kommen nämlich meine Fragen:
>
> 1) Mit welcher Methode rechnet man die Aktienkurse aus?
Nun, da gibts viele  Es gibt nicht ''die'' MC-Methode zur Optionspreisberechnung, sondern eine riesige Familie von solchen mit vielen Kombinationsmoeglichkeiten von verschiedenen Verfahren.
> Einfach mit einer Diskretisierung der Geom. Brownschen
> Bewegung? Oder mit der Binomialmethode?? Oder finite
> Differenzen (expl., impl, Crank-Nicolson)??
Ja, wobei die Binomialmethode ein Spezialfall ist: Dann ist die Anzahl der Aktienkurse, die man berechnet, gleich [mm] $2^n$, [/mm] wobei $n$ die Anzahl der simulierten Schritte ist. Und es ist keine richtige MC-Methode, da hier nichts zufaelliges im Spiel ist.
> 2) Welche Gleichung wird bei MC integriert? Die
> Black-Scholes-Gleichung bzw. die transformierte
> [mm]y_{xx}=y_{\tau}[/mm]?
Wenn du den Aktienkurs wie oben berechnest, keine. Du integrierst (bzw. approximierst das Integral) die Endpreisfunktion sozusagen ueber die Menge aller moeglichen Aktienkurse (mit einer passenden Struktur als Wahrschienlichkeitsraum ausgestattet).
Anstatt den Optionspreis auf diese Art und Weise auszurechnen, kannst du auch ganz anders vorgehen:
Der Optionspreis ist die Loesung einer partiellen DGL. Und diese versuchst du nun zu loesen, mittels 'normaler' Methoden zum numerischen Loesen von pDGLn. Das ist dann keine MC-Methode im obigen Sinne mehr (kann aber sicher auch durch passende Randomisierung als MC-Methode aufgefasst werden).
> und
>
> 3) Wie berechnet man prinzipiell den Wert von
> AMERIKANISCHEN Optionen mit Monte-Carlo? Man bräuchte ja
> die early-exercise-Kurve, aber wie bekommt man die? Diese
> Frage interessiert mich besonders.
Ich kann mich nur noch ganz grob dran erinnern (Stichwort 'glatter Einlauf'). Vielleicht helfen dir die Vorlesungsnotizen von ![[]](/images/popup.gif) Knut Petras weiter zu der Vorlesung 'Numerische Methoden in der Finanzmathematik'. Da findest du auch zu den anderen Punkten mehr Infos (Simulation der BB, numerische Loesung von pDGLn, allgemeines ueber MC-Methoden, etc.).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:09 Sa 25.02.2006 | | Autor: | Polynomy |
Ok, danke! Das hat mir schon sehr weitergeholfen.
Schönen Karneval euch allen!
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> So wie ich das verstanden habe, berechnet man mehrere
> Aktienkurse für den Zeitpunkt T, berechnet dann damit
> jeweils den Optionspreis, nimmt davon den Mittelwert,
> diskontiert den auf den heutigen Zeitpunkt und hat so einen
> Wert für den heutigen Optionspreis.
Eine ganz kleine Bemerkung dazu: Formal diskontierst Du zuerst jeden Optionspayout ab und bildest dann den Mittelwert. In einem Modell wo der Diskontfaktor nicht stochastisch ist (also z.B. Black-Scholes mit exp(-rt)) kannst Du den Diskontfaktor (Numeraire) natürlich vor den Erwartungswert ziehen. Aber das ist ein Spezialfall und das sollte man sich schon früh vor Augen halten.
> Jetzt kommen nämlich meine Fragen:
>
> 1) Mit welcher Methode rechnet man die Aktienkurse aus?
> Einfach mit einer Diskretisierung der Geom. Brownschen
> Bewegung? Oder mit der Binomialmethode?? Oder finite
> Differenzen (expl., impl, Crank-Nicolson)??
Unter Monte-Carlo versteht man normalerweise die Simulation der Pfade, vorwärts Zeitdiskretisiert mit einem Schema (z.B. Euler Schema). Binominalbaum und Finite Differenzen diskretierieren in der Zeit rückwärts.
> 2) Welche Gleichung wird bei MC integriert? Die
> Black-Scholes-Gleichung bzw. die transformierte
> [mm]y_{xx}=y_{\tau}[/mm]?
Bei dem was i.A. unter Monte-Carlo Simulation verstanden wird, wird die Stochastiche DGL Simuliert.
[mm]S(t+\Delta t) = S(t) + \mu(t) S(t) \Delta t + \sigma(t) S(t) \Delta W(t)[/mm]
bzw. als Log-Euler Schema
[mm]S(t+\Delta t) = S(t) \cdot \exp((\mu(t)-\frac{1}{2} \sigma^2(t)) \Delta t + \sigma(t) \Delta W(t))[/mm]
In der PDE ist die Stochastik ja schon ausintegriert.
> 3) Wie berechnet man prinzipiell den Wert von
> AMERIKANISCHEN Optionen mit Monte-Carlo? Man bräuchte ja
> die early-exercise-Kurve, aber wie bekommt man die? Diese
> Frage interessiert mich besonders.
Zur Bestimmung der Early-Exercise Boundary müssen normalerweise Erwartungswerte geschätzt werden. Hierzu können z.B. Regressionsmethoden verwendet werden. Das firmiert oft unter dem Namen Longstaff & Schwartz, obwohl die beiden Herren nicht die ersten waren, die das gemacht haben.
Insbesondere zu dem letzten Thema, aber auch zu den anderen, siehe z.B.
http://www.christian-fries.de/finmath/book/ (Kapitel 14).
Christian
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