Monton wachsend/fallend < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Di 07.11.2006 | | Autor: | MarinaW |
| Aufgabe | Es seien 0 < [mm] a_{1} [/mm] < [mm] b_{1} [/mm] und [mm] a_{n+1}= \bruch{2a_{n}b_{n}}{a_{n} + b_{n}}, b_{n+1}= \bruch{1}{2} (a_{n}+ b_{n}).
[/mm]
Zeige: [mm] (a_{n}) [/mm] ist monoton wachsend, [mm] (b_{n}) [/mm] ist monoton fallend, [mm] (a_{n}) [/mm] und [mm] (b_{n}) [/mm] konvergieren.
Berechne [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}, \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n} [/mm] |
Hallo, ich muss morgen wieder eine aufgabe vorstellen und ich habe keine ahnung wie das hier funktionieren soll/kann. kann mir das hier jemand erklären?wenn ja frag ich auch nie wieder was nach. bitte bitte lieber mathematiker 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 Di 07.11.2006 | | Autor: | Peter314 |
Hallo !
Dein [mm] a_{n+1} [/mm] ist merkwürdig definiert, denn es sieht so aus, als wenn man sofort durch [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] kürzen könnte, was hieße, dass die Folge ab [mm] a_{2} [/mm] nur noch 2 wäre. Damit ergibt sich der [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] als 2, denn außer dem ersten Element sind alle Elemente, also alle bis auf endlich viele, gleich 2.
Das wirkliche Problem ergibt sich mit [mm] b_{n} [/mm] : [mm] b_{2}=\bruch{a_{1}*b_{1}}{2}. [/mm] Dieser Bruch ist aber für [mm] a_{1}>2 [/mm] größer als [mm] b_{1} [/mm] und somit kann [mm] b_{n} [/mm] nicht monoton fallend sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Di 07.11.2006 | | Autor: | MarinaW |
hey danke du hattest recht. ich habs geändert. ich habe da ein + vergessen.
also heißt der bruch richtig: [mm] \bruch{2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}
[/mm]
kannst du mir denn nun damit helfen?wäre echt wichtig
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Di 07.11.2006 | | Autor: | MarinaW |
kann mir noch jemand helfen? ich muss das heute abend auch noch verstehen. :-(
ich bitte euch flehend an :-(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:01 Mi 08.11.2006 | | Autor: | Peter314 |
Hallo !
Ich habe Deine Folgen mal mit Excel durchrechnen lassen und habe festgestellt, dass für [mm] a_{1}=1 [/mm] und [mm] b_{1}=2 [/mm] , was den Voraussetzungen [mm] 0
Also Hilfe für Dich : Schnapp Dir eine Tabellenkalkulation und gib' die Formel für [mm] a_{n} [/mm] in die jeweils nächste Zeile ein und dann siehst Du wie der Hase läuft.
Zum Beweis der Monotonie musst du zeigen, dass [mm] a_{n+1}>a_{n} [/mm] ist oder [mm] a_{n+2}>a_{n+1} [/mm] was auf das selbe hinausläuft, aber einfacher ist, da [mm] a_{n} [/mm] nirgendwo erklärt ist. Bei [mm] a_{n+2} [/mm] setzt Du einfach in die Formel für [mm] a_{n+1} [/mm] statt "n+1" "n+2" ein und was dann herauskommt muss wieder eingesetzt werden. Dasselbe mit [mm] b_{n}. [/mm] Nur hier das Ungleichheitszeichen anders herum.
Ich hoffe, das Dir das hilft.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Mi 08.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Marina
hast du dich bei [mm] b_{n+1} [/mm] auch verschrieben? wenn es [mm] 1/"*(a-n+b_n) [/mm] hiesse wärs einfacher !
Der Weg wäre eigentlich mit vollst. Induktion :
1. [mm] a_1
und daraus dann [mm] a_n [/mm] steigend und [mm] b_n [/mm] fallend
aber wenn deine Angabe stimmt, wär der erste Teil nicht richtig!
Wenn du den Teil hast, ist die Konvergenz schon bewiesen, denn eine monoton wachsende Folge, die nach oben beschr. ist konvergiert, [mm] a_n [/mm] wäre durch b1 beschr. [mm] b_n [/mm] fallend durch a_ nach unten beschr.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Mi 08.11.2006 | | Autor: | MarinaW |
hey du hattest recht. es muss [mm] b_{n}= \bruch{1}{2}*(a_{n}+b_{n} [/mm] heißen. kannst du mir das wohl genauer erklären?
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Hallo Marina,
eine Idee wäre zunächst zu zeigen das [mm] 0
Das kannst Du ja mal probieren.
viele Grüße
mathemaduenn
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